大學(xué)課堂數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)方法研究

胡正菊

當前，大學(xué)中的數(shù)學(xué)課堂主要是以傳授課本上的理論知識為主，雖然也十分注重培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力，但主要是解題能力，很少涉及到解決實際問題的能力，存在著嚴重的“重理論、輕應(yīng)用”的思想現(xiàn)象。事實上，現(xiàn)實生活中的諸多社會科學(xué)和自然科學(xué)問題，并不是以一個簡單的數(shù)學(xué)問題的形式呈現(xiàn)出來的，需要學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模的方式發(fā)揮數(shù)學(xué)概念、方法和理論的實際應(yīng)用價值，因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在將理論知識轉(zhuǎn)化為實際應(yīng)用過程中發(fā)揮著重要作用。

數(shù)學(xué)建模的概念與基本過程

本德（E.A.Bender）認為：“數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)實世界中的部分問題抽象、簡化為一定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，由此達到運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的目的。”也即是進行抽象、簡化、假設(shè)、引進變量等一系列的處理之后，通過建立的數(shù)學(xué)模型來表達實際問題，隨后再運用數(shù)學(xué)理論、計算方法以及先進的計算機技術(shù)進行求解，從而順利地解決實際問題。

數(shù)學(xué)建模往往要經(jīng)歷以下幾個步驟：（1）調(diào)查研究。建模者需要對實際問題的內(nèi)在機理和產(chǎn)生背景進行全面、深刻的了解。（2）抽象簡化。建模者需要掌握實際問題中的核心因素并理清各因素之間的關(guān)系，提出合理的假設(shè)，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。（3）建立模型，也就是將實際問題轉(zhuǎn)變成某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（4）求解模型。建模者不僅要具備數(shù)學(xué)上的解題能力；而且還要能夠熟練應(yīng)用Mathtype、Matlab、Spss等軟件。（5）分析模型，也即是從數(shù)學(xué)理論和實際意義的角度來分析所求出的解。（6）檢驗?zāi)Ｐ汀＿\用求解結(jié)果來檢驗所建立的模型是否能夠真實反映實際問題。（7）修改模型。對諸如變量取舍、變量類型、已知條件進行調(diào)整，從而使模型中的因素配置更加合理。（8）應(yīng)用模型。建模者需要運用求解結(jié)果來指導(dǎo)實際工作或者是對未來進行預(yù)測和估計。

由此看出，數(shù)學(xué)建模是一項系統(tǒng)工程，既需要深厚的數(shù)學(xué)理論知識，同時也需要一定的靈活運用知識的能力和創(chuàng)新能力，尤其是要掌握豐富的建模方法和技巧，由此提高建模質(zhì)量和效率，增強學(xué)生的知識應(yīng)用能力。

當前高校數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題

首先，在授課內(nèi)容上，我國高等院校的數(shù)學(xué)課程主要立足于數(shù)學(xué)內(nèi)部的理論結(jié)構(gòu)及其之間的邏輯關(guān)系，重點培養(yǎng)學(xué)生對特定數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)公式的掌握、應(yīng)用及其推導(dǎo)能力，存在明顯的重理論、輕應(yīng)用，重經(jīng)典、輕現(xiàn)代，重運算技巧、輕數(shù)學(xué)方法，重分析、輕數(shù)值計算的傾向。

其次，在教學(xué)方法上，當前的數(shù)學(xué)教學(xué)活動變得越來越形式化，往往通過頻繁的解題活動，鍛煉學(xué)生的理論應(yīng)用能力和邏輯思維能力等。這雖然使學(xué)生具備了豐富的理論知識和高水平的解題能力，但面臨實際問題的時候，卻無從下手，不知如何將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，由此運用已有的數(shù)學(xué)知識達到求解的目的。

第三，在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面，也僅僅停留在古典幾何和物理上，忽視了實際工程或者是日常生活中的諸多數(shù)學(xué)問題，致使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識與實際應(yīng)用之間存在嚴重的脫節(jié)，不僅無法培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力，而且也無法與自身的專業(yè)課形成有效的銜接，從而大大降低了學(xué)習(xí)質(zhì)量。

最后，在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師往往采用注入式的教學(xué)方法，單純注重知識講授和重復(fù)性的訓(xùn)練，師生之間缺乏必要的溝通和交流。這既不利于培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，更不利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識的培養(yǎng)途徑

1.將建模思想融入數(shù)學(xué)概念

諸多數(shù)學(xué)概念是基于現(xiàn)實需要而產(chǎn)生的，是其他理論和實際應(yīng)用的基礎(chǔ)，因此，在數(shù)學(xué)課堂上，應(yīng)從實際問題出發(fā)，說明數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生背景與產(chǎn)生原因，使學(xué)生從抽象模型中認識到數(shù)學(xué)概念是因?qū)嶋H應(yīng)用的需要而產(chǎn)生的，由此增強其數(shù)學(xué)建模意識，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決實際問題的能力。劉徽對于“割圓術(shù)”理論的描述為：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”除此之外，我們可以采用求曲邊梯形面積“直”與“曲”可以相互轉(zhuǎn)化的思想作為原型來解釋定積分概念，即“化整為零取近似，聚整為零求極限”。

2.將建模思想融入實際應(yīng)用

從某種程度上來說，在大學(xué)課堂中引入數(shù)學(xué)建模思想并不是打破傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容或者是教學(xué)秩序，而是在講解數(shù)學(xué)知識的過程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)學(xué)生積極、主動的建模意識，由此提高知識的實際應(yīng)用能力。比如在講解微分方程的時候，我們可以采用以下案例：假設(shè)某地區(qū)大面積流行傳染病，總?cè)藬?shù)為N，其中x（t）為攜帶病毒人群，y（t）為健康人群，并假設(shè)在特定的時間內(nèi)，一個病人傳染的人數(shù)與健康人數(shù)量成正比，并且比例系數(shù)為K，因此:

這一抽象模型正好與Verhulst阻滯增長模型十分類似，通過可分離變量法求解微分方程可以得到：

由此可以發(fā)現(xiàn)，攜帶病毒人群x（t）隨t單調(diào)增加。如圖1所示，當其趨向于無限大時為該地區(qū)總?cè)藬?shù)N，也即是所有人都會被感染病毒。這是最惡劣的病毒傳播現(xiàn)象，實際上感染者不會達到環(huán)境所允許的最大容量，但卻能夠最大程度接近N。

圖1 單位時間內(nèi)感染人數(shù)的變化曲線

圖2 感染者的增長速度曲線

由dx/dt=kx（t）[N-x（t）]可以看出，右邊的公式是x（t）的二次函數(shù)，基于dx/dt=-[x（t）-N/2]2+kN2/4，因此，當x（t）為N/2的時候，dx/dt的最大值取kN2/4。如圖2所示，這表明該地區(qū)病毒感染人數(shù)的增長速度在N/2的時候達到最大值。

3.將建模思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)方法

在解決實際問題的過程中，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課中所講解的一些數(shù)學(xué)方法仍然呈現(xiàn)出重要的實際應(yīng)用價值，因此，將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)方法講授的過程，同樣能夠極大地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，由此形成利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的良好習(xí)慣。比如利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)曲線在特定位置的曲率，利用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)求特定函數(shù)模型的極值等，都呈現(xiàn)出重要的實際應(yīng)用價值。在講授積分上限函數(shù)的過程中，應(yīng)當補充 這樣的函數(shù)模型，因為類似的函數(shù)求導(dǎo)問題往往會應(yīng)用于報童的策略模型之中。在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，數(shù)學(xué)教師不僅需要系統(tǒng)介紹各種方法的應(yīng)用方式和應(yīng)用環(huán)境,而且還要分析其解決實際問題的方式與策略，由此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識，增強學(xué)生解決實際問題的能力。

結(jié) 語

數(shù)學(xué)建模既體現(xiàn)著學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，同時也是將數(shù)學(xué)理論轉(zhuǎn)變?yōu)橛行У膽?yīng)用工具的重要途徑，在學(xué)生專業(yè)課學(xué)習(xí)以及社會發(fā)展過程中發(fā)揮著重要作用，基于此，我們要從不同的角度來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和建模能力，實現(xiàn)預(yù)期的人才培養(yǎng)目標。

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