機械能守恒定律的應用

石文筆

摘要：

本文探討了機械能守恒的條件、判斷方法和表達形式，為學生正確掌握和運用機械能守恒定律提供實踐依據和理論指導，加深學生對物理基本體系的理解，掌握研究物理問題的方法，提高解決物理問題的能力。

關鍵詞：機械能守恒定律;守恒與轉化;綜合運用

機械能守恒定律的內容是在只有重力和彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發生互相轉化，但機械能的總量保持不變.

一、機械能守恒的條件

機械能守恒的條件是只有重力（或彈力）做功。可以從以下兩個方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功.例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒.

二、判斷機械能守恒的方法

（一利用機械能的定義判斷（直接判斷）：若物體在水平面上勻速運動，其動能、勢能均不變，機械能不變.若一個物體沿斜面勻速下滑，其動能不變，重力勢能減少，其機械能減少.

（二）用做功判斷：若物體或系統只有重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒.

（三）用能量轉化來判斷：若物體系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系統機械能守恒.

（四）對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒.

例：如圖1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面頂端有一物體由靜止開始沿斜面下滑;在物體下滑過程中，下列說法正確的有：

（A）物體的重力勢能減少，動能增加。

（B）斜面的機械能不變。

（C）物體的機械能減少。

（D）物體及斜面組成的系統機械能守恒。

[分析]物體在下滑過程中對斜面有垂直于該斜面的壓力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必將向右產生加速度;其動能及其機械能增加。所以（B）項錯誤。物體一方面克服斜面對它的壓力做功：機械能減少;另一方面由于它的重力做功，重力勢能減少，動能增加，因此選項（A）（C）正確。對于物體與斜面組成的物體系;只有物體重力做功，沒有與系統外物體發生能量的轉化或轉移，機械能守恒，故（D）項正確。

答案為：（A、C、D）

三、機械能守恒定律的三種表達形式

1.守恒觀點

①表達式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能.

③注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉化觀點

①表達式：ΔEk=-ΔEp.

②意義：系統（或物體）的機械能守恒時，系統增加（或減少）的動能等于系統減少（或增加）的重力勢能.

③注意問題：要明確重力勢能的增加或減少量，即重力勢能的變化，可以不選取零勢能參考平面.

3.轉移觀點

①表達式：ΔEA增=ΔEB減.

②意義：若系統由A、B兩部分組成，當系統的機械能守恒時，則A部分物體機械能的增加量等于B部分物體機械能的減少量.

③注意問題：A部分機械能的增加量等于A末狀態的機械能減初狀態的機械能，而B部分機械能的減少量等于B初狀態的機械能減末狀態的機械能.

例題3.一根均勻的鐵鏈全長為L，其中58平放在光滑水平面上，其余38懸垂于桌邊如圖2所示，如果由圖示位置無初速釋放鐵鏈，則當鐵鏈剛掛直時速度多大？

[思路點撥] ?以鐵鏈和地球組成的系統為對象，鐵鏈僅受兩個力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在鐵鏈運動過程中，N與運動速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系統機械能守恒.鐵鏈釋放前只有重力勢能，但由于平放在桌面上與懸吊著兩部分位置不同，計算重力勢能時要分段計算.選鐵鏈掛直時的下端點為重力勢能的零標準，應用機械能守恒定律即可求解.

[解題過程] ?初始狀態：平放在桌面上的部分鐵鏈具有的重力勢能

Ep1=58mg·L.懸吊在桌邊部分的重力勢能為

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

當整條鐵鏈掛直（即最后一環剛離開桌邊）時，既有動能Ek2=12mv2

又有重力勢能

Ep2=mg·L2.

根據機械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如圖3所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB

是半徑為R=15?m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，

BDO是直徑為15?m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g=10?m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由.

[解題過程]

（1）小球從H高處落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力F（大小等于小球對軌道的壓力）是它做圓周運動的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球從P點落下直到沿光滑軌道運動到D點的過程中，機械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10?m.

?（2）設小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少應從HC高處落下，由-△Ep=△Ek有?mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通過O點.

（作者單位：甘肅省臨洮縣文峰中學，甘肅?定西?730500）

摘要：

本文探討了機械能守恒的條件、判斷方法和表達形式，為學生正確掌握和運用機械能守恒定律提供實踐依據和理論指導，加深學生對物理基本體系的理解，掌握研究物理問題的方法，提高解決物理問題的能力。

關鍵詞：機械能守恒定律;守恒與轉化;綜合運用

機械能守恒定律的內容是在只有重力和彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發生互相轉化，但機械能的總量保持不變.

一、機械能守恒的條件

機械能守恒的條件是只有重力（或彈力）做功。可以從以下兩個方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功.例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒.

二、判斷機械能守恒的方法

（一利用機械能的定義判斷（直接判斷）：若物體在水平面上勻速運動，其動能、勢能均不變，機械能不變.若一個物體沿斜面勻速下滑，其動能不變，重力勢能減少，其機械能減少.

（二）用做功判斷：若物體或系統只有重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒.

（三）用能量轉化來判斷：若物體系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系統機械能守恒.

（四）對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒.

例：如圖1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面頂端有一物體由靜止開始沿斜面下滑;在物體下滑過程中，下列說法正確的有：

（A）物體的重力勢能減少，動能增加。

（B）斜面的機械能不變。

（C）物體的機械能減少。

（D）物體及斜面組成的系統機械能守恒。

[分析]物體在下滑過程中對斜面有垂直于該斜面的壓力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必將向右產生加速度;其動能及其機械能增加。所以（B）項錯誤。物體一方面克服斜面對它的壓力做功：機械能減少;另一方面由于它的重力做功，重力勢能減少，動能增加，因此選項（A）（C）正確。對于物體與斜面組成的物體系;只有物體重力做功，沒有與系統外物體發生能量的轉化或轉移，機械能守恒，故（D）項正確。

答案為：（A、C、D）

三、機械能守恒定律的三種表達形式

1.守恒觀點

①表達式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能.

③注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉化觀點

①表達式：ΔEk=-ΔEp.

②意義：系統（或物體）的機械能守恒時，系統增加（或減少）的動能等于系統減少（或增加）的重力勢能.

③注意問題：要明確重力勢能的增加或減少量，即重力勢能的變化，可以不選取零勢能參考平面.

3.轉移觀點

①表達式：ΔEA增=ΔEB減.

②意義：若系統由A、B兩部分組成，當系統的機械能守恒時，則A部分物體機械能的增加量等于B部分物體機械能的減少量.

③注意問題：A部分機械能的增加量等于A末狀態的機械能減初狀態的機械能，而B部分機械能的減少量等于B初狀態的機械能減末狀態的機械能.

例題3.一根均勻的鐵鏈全長為L，其中58平放在光滑水平面上，其余38懸垂于桌邊如圖2所示，如果由圖示位置無初速釋放鐵鏈，則當鐵鏈剛掛直時速度多大？

[思路點撥] ?以鐵鏈和地球組成的系統為對象，鐵鏈僅受兩個力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在鐵鏈運動過程中，N與運動速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系統機械能守恒.鐵鏈釋放前只有重力勢能，但由于平放在桌面上與懸吊著兩部分位置不同，計算重力勢能時要分段計算.選鐵鏈掛直時的下端點為重力勢能的零標準，應用機械能守恒定律即可求解.

[解題過程] ?初始狀態：平放在桌面上的部分鐵鏈具有的重力勢能

Ep1=58mg·L.懸吊在桌邊部分的重力勢能為

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

當整條鐵鏈掛直（即最后一環剛離開桌邊）時，既有動能Ek2=12mv2

又有重力勢能

Ep2=mg·L2.

根據機械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如圖3所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB

是半徑為R=15?m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，

BDO是直徑為15?m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g=10?m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由.

[解題過程]

（1）小球從H高處落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力F（大小等于小球對軌道的壓力）是它做圓周運動的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球從P點落下直到沿光滑軌道運動到D點的過程中，機械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10?m.

?（2）設小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少應從HC高處落下，由-△Ep=△Ek有?mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通過O點.

（作者單位：甘肅省臨洮縣文峰中學，甘肅?定西?730500）

摘要：

本文探討了機械能守恒的條件、判斷方法和表達形式，為學生正確掌握和運用機械能守恒定律提供實踐依據和理論指導，加深學生對物理基本體系的理解，掌握研究物理問題的方法，提高解決物理問題的能力。

關鍵詞：機械能守恒定律;守恒與轉化;綜合運用

機械能守恒定律的內容是在只有重力和彈力做功的情形下，物體的動能和勢能發生互相轉化，但機械能的總量保持不變.

一、機械能守恒的條件

機械能守恒的條件是只有重力（或彈力）做功。可以從以下兩個方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考慮空氣阻力的情況下的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或彈力做功.例如物體沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物體的機械能守恒.

二、判斷機械能守恒的方法

（一利用機械能的定義判斷（直接判斷）：若物體在水平面上勻速運動，其動能、勢能均不變，機械能不變.若一個物體沿斜面勻速下滑，其動能不變，重力勢能減少，其機械能減少.

（二）用做功判斷：若物體或系統只有重力（或彈簧的彈力）做功，雖受其他力，但其他力不做功，機械能守恒.

（三）用能量轉化來判斷：若物體系統中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系統機械能守恒.

（四）對一些繩子突然繃緊、物體間非彈性碰撞等，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒.

例：如圖1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面頂端有一物體由靜止開始沿斜面下滑;在物體下滑過程中，下列說法正確的有：

（A）物體的重力勢能減少，動能增加。

（B）斜面的機械能不變。

（C）物體的機械能減少。

（D）物體及斜面組成的系統機械能守恒。

[分析]物體在下滑過程中對斜面有垂直于該斜面的壓力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必將向右產生加速度;其動能及其機械能增加。所以（B）項錯誤。物體一方面克服斜面對它的壓力做功：機械能減少;另一方面由于它的重力做功，重力勢能減少，動能增加，因此選項（A）（C）正確。對于物體與斜面組成的物體系;只有物體重力做功，沒有與系統外物體發生能量的轉化或轉移，機械能守恒，故（D）項正確。

答案為：（A、C、D）

三、機械能守恒定律的三種表達形式

1.守恒觀點

①表達式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意義：系統初狀態的機械能等于末狀態的機械能.

③注意問題：要先選取零勢能參考平面，并且在整個過程中必須選取同一個零勢能參考平面.

2.轉化觀點

①表達式：ΔEk=-ΔEp.

②意義：系統（或物體）的機械能守恒時，系統增加（或減少）的動能等于系統減少（或增加）的重力勢能.

③注意問題：要明確重力勢能的增加或減少量，即重力勢能的變化，可以不選取零勢能參考平面.

3.轉移觀點

①表達式：ΔEA增=ΔEB減.

②意義：若系統由A、B兩部分組成，當系統的機械能守恒時，則A部分物體機械能的增加量等于B部分物體機械能的減少量.

③注意問題：A部分機械能的增加量等于A末狀態的機械能減初狀態的機械能，而B部分機械能的減少量等于B初狀態的機械能減末狀態的機械能.

例題3.一根均勻的鐵鏈全長為L，其中58平放在光滑水平面上，其余38懸垂于桌邊如圖2所示，如果由圖示位置無初速釋放鐵鏈，則當鐵鏈剛掛直時速度多大？

[思路點撥] ?以鐵鏈和地球組成的系統為對象，鐵鏈僅受兩個力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在鐵鏈運動過程中，N與運動速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系統機械能守恒.鐵鏈釋放前只有重力勢能，但由于平放在桌面上與懸吊著兩部分位置不同，計算重力勢能時要分段計算.選鐵鏈掛直時的下端點為重力勢能的零標準，應用機械能守恒定律即可求解.

[解題過程] ?初始狀態：平放在桌面上的部分鐵鏈具有的重力勢能

Ep1=58mg·L.懸吊在桌邊部分的重力勢能為

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

當整條鐵鏈掛直（即最后一環剛離開桌邊）時，既有動能Ek2=12mv2

又有重力勢能

Ep2=mg·L2.

根據機械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如圖3所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB

是半徑為R=15?m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，

BDO是直徑為15?m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，取g=10?m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由.

[解題過程]

（1）小球從H高處落下，進入軌道，沿BDO軌道做圓周運動，小球受重力和軌道的支持力.設小球通過D點的速度為v，通過D點時軌道對小球的支持力F（大小等于小球對軌道的壓力）是它做圓周運動的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球從P點落下直到沿光滑軌道運動到D點的過程中，機械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10?m.

?（2）設小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少應從HC高處落下，由-△Ep=△Ek有?mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通過O點.

（作者單位：甘肅省臨洮縣文峰中學，甘肅?定西?730500）