對運籌學課程中百分之一百法則的進一步思考

陳士成，何麗紅，李橋興，羅云中

（蘭州大學 管理學院，甘肅 蘭州 730000）

對運籌學課程中百分之一百法則的進一步思考

陳士成，何麗紅，李橋興，羅云中

（蘭州大學 管理學院，甘肅 蘭州 730000）

目前，運籌學課程的線性規劃靈敏度分析的表述中，都只給出了判斷條件不超過100%時，決策方案中的關鍵決策量不會改變，而超過100%時就不能確定關鍵決策量是否會發生改變，只能重新求解。在教學過程中，師生都認為這種表述不盡完整，若能對判斷值超過100%時也能更明晰的表述，可更進一步提高決策方法的可操作性。為此，我們總結了一部分判斷條件超過了100%，但決策方案中的關鍵決策量仍然不會改變。補充了原百分一百法則的表述。

運籌學課程；線性規劃；百分之一百法則

一、問題的提出

運籌學課程的線性規劃靈敏度分析中，有兩個百分之一百法則：對多個價值系數同時變化判斷最優解是否變化的百分之一百法則；以及對多個常數項同時變化判斷對偶價格是否變化的百分之一百法則。這兩個判斷法則的具體表述為[1，2]：

定理1.1如果多個價值系數（cj）同時變動，計算出每一個系數變動量占該系數允許變動量（允許增加量或允許增加量）的百分比，然后將各個系數的變動百分比相加，所得的和不超過100%，則最優解不會改變；如果超過100%，則不能確定原最優解（xj）是否改變，只能通過重新進行規劃求解來判斷。

定理1.2如果多個常數項（bi）同時變動，計算出每一個常數項變動量占該常數項允許變動量（允許增加量或允許增加量）的百分比，如果所有常數項的變動百分比之和不超過100%，則對偶然價格（di）不會改變（仍然有效）；如果所有變動百分比之和超過了100%，那就無法確定原對偶價格是否效，只能通過重新進行規劃求解來判斷。

在上述定理所給出的判斷準則中，只給出了判斷值不超100%的充分條件，而當百分比之和超過100%時，就無法確定最優解或對偶價格是否會發生變化，只能重新求解才能得知具體值。而在筆者多年的教學過程中，對線性規劃應用做了多方面研究[3，4]，同時我們發現在線性規劃模型求解的靈敏度分析討論中，確實存在百分比之和超過100%但可以確定原最優解或原對偶價格不變的條件。由此，本文給出如下結論。

二、百分之一百法則的補充

定理2若多個價值系數（cj）按當前值同比例增減，不論百分比之和是否超過100%，則最優解（xj）一定不變。

證明：假設一般線性規劃模型如下所示：

假設cj同比例增加（或減少）p%，則目標函數可以改寫為：max（min） z’=（1±p%）（clxl+c2x2+…+cnxn），因為p%為正數，為不改變目標函數值的正負數屬性，暫設減少的比例p%＜1。這時max（min） z’必然與max（min） z同解，所以，最優解不變。

定理3若多個常數項（bi）按當前值同比例增減，不論百分比之和是否超過100%，則對偶價格（di）一定不變。

證明：在由線性規劃數學模型的約束條件構成的可行域中，若各約束條件的常數項同比例增減，可使可行域的每個邊界同比例擴張或收縮，無論改變量有多大，都始終使可行域發生相似形的變化，因此只改變形狀，不會改變可行域的結構。根據對偶價格變化的判定條件（可行域的結構改變導致對偶價格改變，可行域形狀變化不會影響對偶價格）[2]。所以原對偶價格不會發生改變。

三、實例驗證

假設某廠利用2種原料A、B生產甲、乙、丙3種產品，生產單位產品所需原料數（公斤）、單位利潤（元/單位）及有關數據如下表：

該決策問題的線性規劃數學模型：

運用作者開發設計的運籌學求解軟件[2]，得到該模型的決策結果如圖1所示：

（1）假設，價值系數同比例增加50%，即三個產品的單位利潤都增加50%，則應該怎么決策？

（2）假設，兩種原材料同比例增加10%，各對偶價格將會怎么變化？

圖1 原模型的求解結果

對問題1，價值系數的實際增加量Δcl=250、Δc2=230、Δc3=180，而允許的增量分別為638-500=138、720-460=260和613.333-360=253.333。按百分一百法則，其判定值為：

遠大于100%。而用計算機求解的結果如圖2：

圖2 增加價值系數后的求解結果

最優解并沒發生變化。

對于問題2，常數項的實際增加量Δbl=55、Δb2=36，而允許的增量分別為1440-550=890和366.6667-360=6.6667：此時百分一百法則的判定值為：

遠大于100%。而用計算機求解驗證對偶價格并沒發生變化。如圖3：

圖3 常數項變化后的求解結果

四、本問題研究的用途

對上述的實例分析，若其它企業愿意分別以45元/公斤的價格出售原料A和原料B，該廠應不應該購進而擴大生產？

對于該問題，原材料B對應約束條件的對偶價格76遠大于市場購進價格，而原材料A對應約束打傷的對偶價格26遠小于市場購進價格，所以應該大量購進原材料B以擴大生產獲取較高的利潤，但原材料B對應約束對偶價格不變總量上限為366.667公斤，從總體比例上看，只購進6.667公斤（占當前值的1.85%）擴大生產并沒有實際意義。因此必須考慮在保持對偶價格不變的前提下找到大量購進原材料以擴大生產，用于對資源利用效果做出盈虧核算的客觀條件。這就可以用到定理3的判斷準則：

如仍按兩種原材料當前值同時增加10%的比例購進，既然對偶價格不會發生變化，我們就可以直接用原對偶價格來進行原材料利用效果的盈虧核算。即核算原材料的價值與價格貢獻的差值（目標函數的凈增加值）：

目標函數的凈增加值大于0，說明可以按這個比例購進原材料而擴大生產。這里就用到了約束條件各常數項的增加的值導致百分之一百法則判定值大于100%，但對偶價格仍然不變的判定結果。這樣就可用原對偶價格進行核算，完全可以避免由于常數項的變化而重新建模，重新求解的過程。這也是對線性規劃靈敏度分析用途的一種拓展。

五、結論

運籌學課程中，雖然線性規劃中百分之一百法則強調的是關鍵決策量變化的充分條件而非必要條件，但能對法則中明確部分必要條件也能為決策應用帶來很大的方便。本文針對在運籌學教學過程和線性規劃運用實踐中總結了某類參數同比例增減變化時，雖然判斷條件值已大于100%，但相應的決策量并不會發生變化的規律性特征，是對百分之一百法則中關鍵決策時變化必要條件的研究嘗試。并且在教學和運用實踐中可能還會有其它的條件有待于繼續研究。

[1]葉向.實用運籌學[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[2]陳士成.實用管理運籌學——基于Excel[M].北京：清華大學出版社，2011.

[3]何麗紅，陳士成.管理運籌學課程的教學改革與實踐[J].教育教學論壇，2011，（12）上旬刊：21-23.

[4]陳士成，何麗紅，何麗紅.大學《運籌學》課程分層教學目標研究[J].教育教學論壇，2013，（9）：70-71.

G642.4

A

1674-9324（2014）30-0203-03

蘭州大學教學研究項目（201203）資助，蘭州大學管理學院管理教育研究專項資金資助（13SMJXYJ001）。

陳士成（1957—），男，河南省鎮平縣人，經濟學碩士，副教授，研究方向：企業管理與系統分析。