例談“分數解決問題”的解題策略

劉東平

鄉村小學數學教師常常困擾于教學中遇到的一些問題，也因這些困惑一直得不到有效解決而苦惱，久而久之這些問題便成為“教師難教，學生難學”的問題，尤其是分數（含百分數）“解決問題”這部分內容最為突出。“國培計劃——送教下鄉”培訓活動搭建了專家與教師面對面交流的平臺，為這些難題的破解創造了條件和機會。以下“解題策略”即是在送教過程中對分數解決問題展開研討的成果。

策略一：“特例法”，變一般為具體，化神奇為自然

例1 填空：（1）甲比乙多，則乙比甲少（ ）；

（2）乙是甲的，則甲是乙的（ ）；甲是總數的（ ），乙是總數的（ ）。

（3）水結成冰后體積增加，那么冰化成水體積減少（ ）。

以上問題由于沒有具體的數字可供計算和比較，學生只能胡亂猜測。教師的處理常常只是用一個具體的數字為例加以分析后得出答案，忽略了向學生解釋“為什么可以這樣”以及“怎樣選取這個數字”，讓學生感覺這個數字像“帽子里掏出的兔子”（波利亞語）一樣玄乎，難以把握。再次碰到類似的問題時仍然出錯，教師自身困惑不已。事實上，教師在此使用的是小學數學中常用的“特例法”。為此，教師需要向學生解釋“特例法”的原理。至于舉例所用的數字，不難看出，可以是分母的正整數倍（分母本身最簡單）。如：（1）中取“乙=5”；（2）中取“甲=3”；（3）中取“水的體積=11”。這樣一來，學生就能更好地理解和掌握，遇到類似的問題時不再出錯。

策略二：“逐步翻譯”，變文字語言為數學語言，化繁為簡

學會把文字語言準確“翻譯”成數學語言，常能化繁為簡，幫助學生準確理解題意，進而正確解答問題。例如“學校食堂運進540千克大米，正好比運進的面粉多。食堂運進多少千克面粉？”此題可按：“…比…”→“…是…”→“… =…”的格式“逐步翻譯”如下：“大米比面粉多”→“大米是面粉的（1+）”→“540是面粉的（1+）”→“面粉=540÷（1+）”。應用此策略可幫助學生正確解答分數解決問題中幾個極容易混淆的問題。

例2 填空，并列式計算：學校有足球120個， 。問籃球有多少個？

（1）籃球是足球的；（2）足球是籃球的；（3）籃球比足球多；（4）足球比籃球多；（5）籃球比足球少；（6）足球比籃球少。

本題中，學生極容易混淆“該加還是減”“120該乘還是除”，老是出錯。若應用上述“逐步翻譯”策略，則可較好地解決此問題。例如選擇填（3），則可“逐步翻譯”如下：“籃球比足球多”→“籃球是足球的（1+）”→“籃球是120的（1+）”→“籃球=120×（1+）=160”。選擇填寫其他各項，均可按此策略獲得解決。

策略三：“去情境”，回歸基本問題，化難為易

鄉村小學的數學教師們在新授課時，常“創設問題情境”以幫助學生理解數學知識和方法，然而，也常忽視“去掉問題情境”回歸數學知識本身，致使學生對數學知識或方法的理解過于情境化，很難形成有效遷移。事實上，“去情境”也是解決問題的策略之一。許多分數問題，看似復雜，如果去掉具體情境后就可簡化成基本問題，求解自然不再困難。眾所周知，小學數學中分數的三個最基本的問題是：1.求一個數是另一個數的幾分之幾？2.求一個數的幾分之幾是多少？3.已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。

例3 在通常情況下，體積相等的水的質量比冰的質量多。現有質量50千克的水，如果有一塊冰的體積與這些水的體積相等，這塊冰的質量是多少千克？

此問題曾令不少學生望而生畏！其實，該問題看似復雜，更多的卻是關于情境和條件的描述；如果去掉問題情境和條件，就可回歸為基本問題3。可運用上述“逐步翻譯”策略“去情境”如下：“水的質量比冰的質量多”→“水的質量是冰的質量的（1+）”→“50是冰的質量的（1+）”即“已知冰的質量（一個數）的（1+）是50，求冰的質量（這個數）”。于此可得冰的質量（這個數）= 50÷（1+）=45千克。

策略四：“善轉換”，因勢利導，在變化中培養思維的靈活性

例4 張大伯家的雞和鴨一共養了300只。其中鴨的只數是雞的。張大伯家的雞和鴨各養了多少只？

這類問題的求解，鄉村小學的數學教師們常常是就題講題，不善于進行變式教學，結果往往事倍功半，影響學生對數學的綜合理解和思維靈活性的培養。事實上，這里的條件“鴨的只數是雞的”至少還有以下7種與之等價的不同的表述：（1）雞的只數是鴨的；（2）雞︰鴨=3︰2；（3）鴨︰雞=2︰3；（4）鴨的只數比雞少；（5）雞的只數比鴨多；（6）鴨的只數是總數的；（7）雞的只數是總數的。上述每一種表述都對應著一種解法（算式）。例如對應原條件的算式是：雞的只數=300÷（1+）=180（只）。這類問題需要教師在學生理解每一種表述及其對應算式的基礎上，通過拓展練習，讓學生能根據不同的表述自主做出恰當的轉換，培養思維的靈活性。

策略五：“常比較”，發現不同，在與整數的比較中理解分數

例5 兩袋大米，第一袋重20千克，如果從第二袋中取出放入第一袋中，兩袋就同樣重。第二袋大米原來重多少千克？

此題不少學生會把題意理解成“第二袋比第一袋多2個”，于是得出算式：20×（1+2×）= 36（千克）。類似的問題教師的處理常常是：1.指出其算法是錯誤的；2.給出正確算式：20÷（1-2×）=100（千克）。對此學生難以接受，想不通自己的解答為什么是錯的。細致分析學生的解法，有一定的合理成分即第二袋確實比第一袋多；其錯誤在于把“分數當成整數”來理解。為此，教師需要幫助學生理解分數不同于整數的特征，以期形成正確的分數概念。就此題而言，教師可引導學生做如下比較：1.比較“第一袋比第二袋少2個”與“第二袋比第一袋多2個”是否一樣？為什么？本題正確的理解應該是前者還是后者？2.補充一道整數的例題：“兩袋大米，甲袋是乙袋的2倍。如果從甲袋中取出10千克裝入乙袋，兩袋就一樣重了。原來兩袋大米各重多少千克？”在此題中，仍做比較“甲袋比乙袋多2個10千克”和“乙袋比甲袋少2個10千克”是否一樣？為什么？3.把原題和補充例題再作比較，注意體會分數和整數的區別。正如區分孿生兄弟最好的辦法是讓兩人在一起找出其不同特征一樣，理解易混淆的概念或方法最好的策略就是做比較，在比較中找出二者的差異。

策略六：“用方程”，變逆向思考為順向思考，學習新思維

例6 列式計算：甲數是60，比乙數的少20，乙數是多少？

看似很簡單的一道題，學生仍然經常出錯。原因在于算術解法需要逆向思考，不少學生還是會在“20應+還是-”“該×還是÷”上犯糊涂，常出現如下3種錯誤：（1）（60-20）÷=100；（2）（60-20）×=16；（3）（60+20）×=32。遺憾的是，教師的處理常常是僅給出正確的解法：（60+20）÷=200。有的學生由于不能真正理解，碰到類似的題會一錯再錯，成為頑疾。解決這一問題的策略，一是可運用上述“逐步翻譯”的策略加以解決；二是用方程的方法，變逆向思維為順向思維：設乙數為x，列方程：x-20=60， 解方程得：x=200。由于方程是順向思維，學生容易理解和接受，也就不容易出錯。上述各例（例2除外），若用方程來思考和解答，都更容易理解和接受，由此可見方程思維的優勢。

需要指出的是，上述所說的各種策略并不是孤立的，常需要綜合考慮和靈活運用。另外，上述針對分數討論的策略，適用于百分數解決問題的內容。