想說“等你”不容易

利用基本不等式求最值時，“=”號能否成立，是同學們平時容易忽略和比較棘手的問題.對于簡單的情形，很容易判斷等號是否成立，但對于較復雜的問題，為了保證等號成立，還需要對原式進行適當的變形和處理.另外，當此類問題與離散型變量相結合時，更應關注等號能否成立，否則就會出現科學性錯誤.正是基于這種考慮，筆者在高三進行了一次 “應用基本不等式求最值”的研究性學習.

例1 ?已知a>0，b>0，求的最小值.

對于初始問題，同學們解決起來并不困難，但它卻是將本節課引向縱深的一個“導火索”. 我們由基本不等式可知：a2+b2≥2ab，所以≥2（當且僅當a=b時，“=”成立），所以min=2.

初始問題解決后，筆者讓同學們體會應用基本不等式求最值的一般方法及步驟，并著重強調驗證“=”能否成立！如果說，初始問題只是“小試牛刀”，那么，接下來的變式問題，則會將學習引向深入.

變式1 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

對于變式1，僅僅是將字母從兩個增加為三個，問題的本質并未發生改變. 我們自然會想到：為了創造利用基本不等式求最值的條件，更為了保證“=”成立，必須將原式分子中的三項等分為兩項之和的形式.

由已知可得，==≥=1，可以驗證：當且僅當a=b=c時，“=”成立，從而可得min=1.

變式2 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

變式2與變式1的不同，在于分母中的變化.我們注意到分母中，只含有ab及bc項，所以只需將分子中的b2項進行拆分，又注意到ab與bc前的系數都是1，所以考慮將b2項進行等分！

因為a2+b2+c2=a2+b2+b2+c2≥2+2=（ab+bc），所以原式≥. 可以驗證：當且僅當a=c=時，“=”成立. 所以min=.

變式3 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

變式3與變式2盡管分母中都只含有ab及bc項，但前面的系數不同.我們可能會想到利用基本不等式來解題，但對于分子如何進行拆項，卻無從下手. 在變式2中，我們將b2項進行等分，也許是“跟著感覺走”，但這里均拆法已經行不通，如果逐個進行嘗試，既費時，又比較盲目！這時我們應采用待定系數法來進行拆項，既快捷，又方便！

設a2+b2+c2=a2+（xb2+yb2）+c2=（a2+xb2）+（yb2+c2）≥2ab+2bc（其中x+y=1），為了使得原式取得最小值，必須使得2ab+2bc與ab+2bc的商是一個定值，于是可設：2ab+2bc=k（ab+2bc），因此，2=k，2=2k，x+y=1，解得：x=，y=，k=.于是，原式≥.當且僅當a=b，c=b時，“=”成立. 故min=.

通過變式3，我們應熟練掌握利用待定系數法進行拆項的方法和技巧. 在解決了上述問題以后，有些同學會誤以為利用基本不等式求最值是萬能的，這時我們再來看看變式4，經過對它的錯誤解法進行探究，從而樹立對這一問題的正確認識！

變式4 ?求sin2x+的最小值.

對于此題，有些同學可能會出現下面的典型性錯解：sin2x+≥2=4，所以y=4.

對于這種錯解，我們必須從“=”能否成立入手進行探究.這里要使得“=”成立，必須sin2x=，即sin2x=2，這顯然不可能！如果想通過拆項的方法，創造等號成立的條件，是非常困難的！因此，對于本題，只能改用函數的單調性來求最值. 正確的解題過程如下：設sin2x=t（0

在完成了例1及變式的探究后，考慮到同學們對利用待定系數法進行拆項還不是很熟悉，接下來，筆者又給出具有挑戰性的拓展問題，讓大家進一步探究，從而加深對方法的理解和應用.

例2 ?若x是非負實數，求函數y=+的最大值.

對于本題，我們可能想到利用導數來求它的最值，但嘗試以后，發現運算較繁. 于是，筆者引導同學們利用基本不等式來尋求它的最值. 首先，為溝通解析式右邊兩部分之間的聯系，應利用基本不等式對4+x2進行放縮. 因為4+x2≥，所以≤，所以≤，所以y≤+=+. 接下來，還需對進行放縮，從而為利用基本不等式求最值創造條件，怎樣放縮？由于有上題的解題經驗，同學們自然會想到用待定系數法來實現. 設+n≥2（？鄢），這時，一方面2=1？圯mn= ①;另一方面，由（？鄢）式，可得：≤+n，于是可得：y≤++n=+n，要使得此式為一定值，必須= ②. 由①②解得：m=，n=. 將m，n的值代入（？鄢）式，從而可得≤+=·+，因此y≤+=. 要使得這里的“=”成立，必須滿足x=2，=n，即x=2時，“=”成立. 故y=.

以上通過基本不等式求出函數的最值，盡管解題過程較簡潔，但對變形技巧的要求較高，特別是對放縮法和待定系數法要運用嫻熟！

通過以上問題的研究性學習，同學們已能準確地利用基本不等式解決最值問題.但為了進一步強化“應用基本不等式求最值時，必須保證等號成立”的思想，筆者展示了以前某市高三調研測試卷上的一道錯題，讓大家進行探究. 一方面，再次讓同學們認識到保證等號成立的重要性;另一方面，也讓同學們明白，就是老師在編制基本不等式求最值的問題時，也應充分考慮等號能否取到，特別是當此類問題與離散型變量結合時，更應慎之又慎，否則就會犯科學性錯誤！

例3 ?（2013年某市高三調研測試卷）數列{an}滿足a1>1，an+1-1=an（an-1）（n∈N？鄢），且++…+=2，則a2013-4a1的最小值為________.

筆者首先呈現命題者給出的解答：

由題意可知，-=，即-=，在此式中令n=1，2，…，2012，將所得式子相加得：-=++…+.

又++…+=2，所以-=2. 設a1-1=x，a2013-1=y，所以-=2，則a2013-4a1=y-4x-3=（y-4x）--3=-1-4++-3≥-.

當且僅當=，-=2時，即x=，y=時，“=”成立. 此時a1=，a2013=.

（下轉39頁）

所以（a2013-4a）=-.

接下來，讓同學們探究最小值

-能否取到，也就是要判斷“=”能否成立. 有些同學可能會意識到答案有問題，但又不能斷定“=”能否成立，因為從以上的解答來看，似乎無懈可擊，但這是一道有科學性錯誤的試題.

具體原因如下：

因為an+1=a-an+1，所以an+1-an=a-2an+1=（an-1）2>0，所以{an}是一個遞增數列，所以對an（1≤n≤2013），都有：

a1≤an≤a2013，所以≥=，所以≥2012×>2.

這顯然與已知矛盾！endprint

利用基本不等式求最值時，“=”號能否成立，是同學們平時容易忽略和比較棘手的問題.對于簡單的情形，很容易判斷等號是否成立，但對于較復雜的問題，為了保證等號成立，還需要對原式進行適當的變形和處理.另外，當此類問題與離散型變量相結合時，更應關注等號能否成立，否則就會出現科學性錯誤.正是基于這種考慮，筆者在高三進行了一次 “應用基本不等式求最值”的研究性學習.

例1 ?已知a>0，b>0，求的最小值.

對于初始問題，同學們解決起來并不困難，但它卻是將本節課引向縱深的一個“導火索”. 我們由基本不等式可知：a2+b2≥2ab，所以≥2（當且僅當a=b時，“=”成立），所以min=2.

初始問題解決后，筆者讓同學們體會應用基本不等式求最值的一般方法及步驟，并著重強調驗證“=”能否成立！如果說，初始問題只是“小試牛刀”，那么，接下來的變式問題，則會將學習引向深入.

變式1 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

對于變式1，僅僅是將字母從兩個增加為三個，問題的本質并未發生改變. 我們自然會想到：為了創造利用基本不等式求最值的條件，更為了保證“=”成立，必須將原式分子中的三項等分為兩項之和的形式.

由已知可得，==≥=1，可以驗證：當且僅當a=b=c時，“=”成立，從而可得min=1.

變式2 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

變式2與變式1的不同，在于分母中的變化.我們注意到分母中，只含有ab及bc項，所以只需將分子中的b2項進行拆分，又注意到ab與bc前的系數都是1，所以考慮將b2項進行等分！

因為a2+b2+c2=a2+b2+b2+c2≥2+2=（ab+bc），所以原式≥. 可以驗證：當且僅當a=c=時，“=”成立. 所以min=.

變式3 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

變式3與變式2盡管分母中都只含有ab及bc項，但前面的系數不同.我們可能會想到利用基本不等式來解題，但對于分子如何進行拆項，卻無從下手. 在變式2中，我們將b2項進行等分，也許是“跟著感覺走”，但這里均拆法已經行不通，如果逐個進行嘗試，既費時，又比較盲目！這時我們應采用待定系數法來進行拆項，既快捷，又方便！

設a2+b2+c2=a2+（xb2+yb2）+c2=（a2+xb2）+（yb2+c2）≥2ab+2bc（其中x+y=1），為了使得原式取得最小值，必須使得2ab+2bc與ab+2bc的商是一個定值，于是可設：2ab+2bc=k（ab+2bc），因此，2=k，2=2k，x+y=1，解得：x=，y=，k=.于是，原式≥.當且僅當a=b，c=b時，“=”成立. 故min=.

通過變式3，我們應熟練掌握利用待定系數法進行拆項的方法和技巧. 在解決了上述問題以后，有些同學會誤以為利用基本不等式求最值是萬能的，這時我們再來看看變式4，經過對它的錯誤解法進行探究，從而樹立對這一問題的正確認識！

變式4 ?求sin2x+的最小值.

對于此題，有些同學可能會出現下面的典型性錯解：sin2x+≥2=4，所以y=4.

對于這種錯解，我們必須從“=”能否成立入手進行探究.這里要使得“=”成立，必須sin2x=，即sin2x=2，這顯然不可能！如果想通過拆項的方法，創造等號成立的條件，是非常困難的！因此，對于本題，只能改用函數的單調性來求最值. 正確的解題過程如下：設sin2x=t（0

在完成了例1及變式的探究后，考慮到同學們對利用待定系數法進行拆項還不是很熟悉，接下來，筆者又給出具有挑戰性的拓展問題，讓大家進一步探究，從而加深對方法的理解和應用.

例2 ?若x是非負實數，求函數y=+的最大值.

對于本題，我們可能想到利用導數來求它的最值，但嘗試以后，發現運算較繁. 于是，筆者引導同學們利用基本不等式來尋求它的最值. 首先，為溝通解析式右邊兩部分之間的聯系，應利用基本不等式對4+x2進行放縮. 因為4+x2≥，所以≤，所以≤，所以y≤+=+. 接下來，還需對進行放縮，從而為利用基本不等式求最值創造條件，怎樣放縮？由于有上題的解題經驗，同學們自然會想到用待定系數法來實現. 設+n≥2（？鄢），這時，一方面2=1？圯mn= ①;另一方面，由（？鄢）式，可得：≤+n，于是可得：y≤++n=+n，要使得此式為一定值，必須= ②. 由①②解得：m=，n=. 將m，n的值代入（？鄢）式，從而可得≤+=·+，因此y≤+=. 要使得這里的“=”成立，必須滿足x=2，=n，即x=2時，“=”成立. 故y=.

以上通過基本不等式求出函數的最值，盡管解題過程較簡潔，但對變形技巧的要求較高，特別是對放縮法和待定系數法要運用嫻熟！

通過以上問題的研究性學習，同學們已能準確地利用基本不等式解決最值問題.但為了進一步強化“應用基本不等式求最值時，必須保證等號成立”的思想，筆者展示了以前某市高三調研測試卷上的一道錯題，讓大家進行探究. 一方面，再次讓同學們認識到保證等號成立的重要性;另一方面，也讓同學們明白，就是老師在編制基本不等式求最值的問題時，也應充分考慮等號能否取到，特別是當此類問題與離散型變量結合時，更應慎之又慎，否則就會犯科學性錯誤！

例3 ?（2013年某市高三調研測試卷）數列{an}滿足a1>1，an+1-1=an（an-1）（n∈N？鄢），且++…+=2，則a2013-4a1的最小值為________.

筆者首先呈現命題者給出的解答：

由題意可知，-=，即-=，在此式中令n=1，2，…，2012，將所得式子相加得：-=++…+.

又++…+=2，所以-=2. 設a1-1=x，a2013-1=y，所以-=2，則a2013-4a1=y-4x-3=（y-4x）--3=-1-4++-3≥-.

當且僅當=，-=2時，即x=，y=時，“=”成立. 此時a1=，a2013=.

（下轉39頁）

所以（a2013-4a）=-.

接下來，讓同學們探究最小值

-能否取到，也就是要判斷“=”能否成立. 有些同學可能會意識到答案有問題，但又不能斷定“=”能否成立，因為從以上的解答來看，似乎無懈可擊，但這是一道有科學性錯誤的試題.

具體原因如下：

因為an+1=a-an+1，所以an+1-an=a-2an+1=（an-1）2>0，所以{an}是一個遞增數列，所以對an（1≤n≤2013），都有：

a1≤an≤a2013，所以≥=，所以≥2012×>2.

這顯然與已知矛盾！endprint

利用基本不等式求最值時，“=”號能否成立，是同學們平時容易忽略和比較棘手的問題.對于簡單的情形，很容易判斷等號是否成立，但對于較復雜的問題，為了保證等號成立，還需要對原式進行適當的變形和處理.另外，當此類問題與離散型變量相結合時，更應關注等號能否成立，否則就會出現科學性錯誤.正是基于這種考慮，筆者在高三進行了一次 “應用基本不等式求最值”的研究性學習.

例1 ?已知a>0，b>0，求的最小值.

對于初始問題，同學們解決起來并不困難，但它卻是將本節課引向縱深的一個“導火索”. 我們由基本不等式可知：a2+b2≥2ab，所以≥2（當且僅當a=b時，“=”成立），所以min=2.

初始問題解決后，筆者讓同學們體會應用基本不等式求最值的一般方法及步驟，并著重強調驗證“=”能否成立！如果說，初始問題只是“小試牛刀”，那么，接下來的變式問題，則會將學習引向深入.

變式1 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

對于變式1，僅僅是將字母從兩個增加為三個，問題的本質并未發生改變. 我們自然會想到：為了創造利用基本不等式求最值的條件，更為了保證“=”成立，必須將原式分子中的三項等分為兩項之和的形式.

由已知可得，==≥=1，可以驗證：當且僅當a=b=c時，“=”成立，從而可得min=1.

變式2 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

變式2與變式1的不同，在于分母中的變化.我們注意到分母中，只含有ab及bc項，所以只需將分子中的b2項進行拆分，又注意到ab與bc前的系數都是1，所以考慮將b2項進行等分！

因為a2+b2+c2=a2+b2+b2+c2≥2+2=（ab+bc），所以原式≥. 可以驗證：當且僅當a=c=時，“=”成立. 所以min=.

變式3 ?已知a>0，b>0，c>0，求的最小值.

變式3與變式2盡管分母中都只含有ab及bc項，但前面的系數不同.我們可能會想到利用基本不等式來解題，但對于分子如何進行拆項，卻無從下手. 在變式2中，我們將b2項進行等分，也許是“跟著感覺走”，但這里均拆法已經行不通，如果逐個進行嘗試，既費時，又比較盲目！這時我們應采用待定系數法來進行拆項，既快捷，又方便！

設a2+b2+c2=a2+（xb2+yb2）+c2=（a2+xb2）+（yb2+c2）≥2ab+2bc（其中x+y=1），為了使得原式取得最小值，必須使得2ab+2bc與ab+2bc的商是一個定值，于是可設：2ab+2bc=k（ab+2bc），因此，2=k，2=2k，x+y=1，解得：x=，y=，k=.于是，原式≥.當且僅當a=b，c=b時，“=”成立. 故min=.

通過變式3，我們應熟練掌握利用待定系數法進行拆項的方法和技巧. 在解決了上述問題以后，有些同學會誤以為利用基本不等式求最值是萬能的，這時我們再來看看變式4，經過對它的錯誤解法進行探究，從而樹立對這一問題的正確認識！

變式4 ?求sin2x+的最小值.

對于此題，有些同學可能會出現下面的典型性錯解：sin2x+≥2=4，所以y=4.

對于這種錯解，我們必須從“=”能否成立入手進行探究.這里要使得“=”成立，必須sin2x=，即sin2x=2，這顯然不可能！如果想通過拆項的方法，創造等號成立的條件，是非常困難的！因此，對于本題，只能改用函數的單調性來求最值. 正確的解題過程如下：設sin2x=t（0

在完成了例1及變式的探究后，考慮到同學們對利用待定系數法進行拆項還不是很熟悉，接下來，筆者又給出具有挑戰性的拓展問題，讓大家進一步探究，從而加深對方法的理解和應用.

例2 ?若x是非負實數，求函數y=+的最大值.

對于本題，我們可能想到利用導數來求它的最值，但嘗試以后，發現運算較繁. 于是，筆者引導同學們利用基本不等式來尋求它的最值. 首先，為溝通解析式右邊兩部分之間的聯系，應利用基本不等式對4+x2進行放縮. 因為4+x2≥，所以≤，所以≤，所以y≤+=+. 接下來，還需對進行放縮，從而為利用基本不等式求最值創造條件，怎樣放縮？由于有上題的解題經驗，同學們自然會想到用待定系數法來實現. 設+n≥2（？鄢），這時，一方面2=1？圯mn= ①;另一方面，由（？鄢）式，可得：≤+n，于是可得：y≤++n=+n，要使得此式為一定值，必須= ②. 由①②解得：m=，n=. 將m，n的值代入（？鄢）式，從而可得≤+=·+，因此y≤+=. 要使得這里的“=”成立，必須滿足x=2，=n，即x=2時，“=”成立. 故y=.

以上通過基本不等式求出函數的最值，盡管解題過程較簡潔，但對變形技巧的要求較高，特別是對放縮法和待定系數法要運用嫻熟！

通過以上問題的研究性學習，同學們已能準確地利用基本不等式解決最值問題.但為了進一步強化“應用基本不等式求最值時，必須保證等號成立”的思想，筆者展示了以前某市高三調研測試卷上的一道錯題，讓大家進行探究. 一方面，再次讓同學們認識到保證等號成立的重要性;另一方面，也讓同學們明白，就是老師在編制基本不等式求最值的問題時，也應充分考慮等號能否取到，特別是當此類問題與離散型變量結合時，更應慎之又慎，否則就會犯科學性錯誤！

例3 ?（2013年某市高三調研測試卷）數列{an}滿足a1>1，an+1-1=an（an-1）（n∈N？鄢），且++…+=2，則a2013-4a1的最小值為________.

筆者首先呈現命題者給出的解答：

由題意可知，-=，即-=，在此式中令n=1，2，…，2012，將所得式子相加得：-=++…+.

又++…+=2，所以-=2. 設a1-1=x，a2013-1=y，所以-=2，則a2013-4a1=y-4x-3=（y-4x）--3=-1-4++-3≥-.

當且僅當=，-=2時，即x=，y=時，“=”成立. 此時a1=，a2013=.

（下轉39頁）

所以（a2013-4a）=-.

接下來，讓同學們探究最小值

-能否取到，也就是要判斷“=”能否成立. 有些同學可能會意識到答案有問題，但又不能斷定“=”能否成立，因為從以上的解答來看，似乎無懈可擊，但這是一道有科學性錯誤的試題.

具體原因如下：

因為an+1=a-an+1，所以an+1-an=a-2an+1=（an-1）2>0，所以{an}是一個遞增數列，所以對an（1≤n≤2013），都有：

a1≤an≤a2013，所以≥=，所以≥2012×>2.

這顯然與已知矛盾！endprint