基本不等式

湯小梅

重點：掌握基本不等式，會用基本不等式求最大（小）值、證明不等式問題;能應用基本不等式解決實際問題，以及基本不等式與其他知識相交匯問題.

難點：應用基本不等式時對取等號條件的識別;應用基本不等式解決實際問題時的模型構建;處理基本不等式與其他知識相交匯的思維切入點.

1. 技巧開門，請君入甕

運用基本不等式解題時，既要掌握基本不等式的“正用”技巧，也要注意基本不等式的逆用技巧，如≥（a，b>0），逆用就是ab≤2（a，b>0）.

2. 變形開門，信息傳送

明晰以下兩種變形應用，可加快解題速度：①≥2≥ab（a，b∈R，當且僅當a=b時取等號）;②≥≥≥（a>0，b>0，當且僅當a=b時取等號）.

3. 警鐘開門，引以為戒

（1）使用基本不等式求最值時，要注意：一是正數條件，即a和b都是正數;二是定值條件，即和是定值或積是定值;三是相等條件，即a=b時取等號，簡稱“一正、二定、三相等”，這三個條件缺一不可.

（2）在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件.

（3）若連續兩次（或兩次以上）使用基本不等式求最值，必須使兩次（或兩次以上）等號成立的條件一致，否則最值取不到.

1.？搖利用基本不等式比較大小

例1 ?若正數x，y滿足x2+3xy-1=0，則x+y，x2+2xy的大小關系為________.

思索 ?要比較x+y與x2+2xy的大小，先利用已知條件，把式子x2+2xy轉化成，并把式子x+y轉化為只含一個未知元的代數式;再利用基本不等式，即可得結論.

破解 ?因為正數x，y滿足x2+3xy-1=0，所以x2+2xy=（x2+3xy）=，且y=-x，所以x+y=x+-x=+≥2=（當且僅當=，即x=時，等號成立），故應填：x+y≥x2+2xy.

小結 ?破解比較大小試題的兩步曲：一是會“轉化”，即把二元代數式，利用已知條件轉化為一元代數式或常數;二是懂“應用”，即利用基本不等式比較大小.

2.？搖利用基本不等式求最值

例2 ?（2014年高考重慶卷）若log4（3a+4b）=log2，則a+b的最小值是（ ? ?）

A. 6+2？搖？搖？搖 B. 7+2？搖？搖

C. 6+4？搖？搖？搖 D. 7+4

思索 ?利用對數運算法則，得正數a，b的關系式，再利用基本不等式，注意“配”的技巧，即可求得a+b的最小值.

破解 ?因為log4（3a+4b）=log2，所以=，且a>0，b>0，所以3a+4b=ab，所以+=1，所以a+b=+（a+b）=7++≥7+2=7+4. 當且僅當=，3a+4b=ab，即a=2+4，b=2+3 時，等號成立. 故選D.

例3 ?若點A（m，n）在第一象限，且在直線+=1上，則mn的最大值為________.

思索 ?把點A的坐標代入直線方程中，和為定值，利用基本不等式，可求出積的最大值.

破解 ?因為點A（m，n）在第一象限，且在直線+=1上，所以m，n∈R？鄢，且+=1，所以·≤2（當且僅當==，即m=，n=2時，等號成立），所以·≤2=，即mn≤3，所以mn的最大值為3.

小結 ?基本不等式具有將“積（和）式”轉化為“和（積）式”的功能，即和為定值，積有最大值;積為定值，和有最小值.

3.？搖利用基本不等式證明不等式

例4 ?（2014年高考新課標卷Ⅱ）設函數f（x）=x++x-a（a>0），證明： f（x）≥2.

思索 ?先利用絕對值三角形不等式，消去未知元，再利用基本不等式，即可得結論.

破解 ?因為f（x）=x++x-a≥x+-（x-a）=+a. 又因為a>0，所以+a≥2=2（當且僅當a=1時等號成立），所以f（x）≥2.

小結 ?利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種類型，其證明關鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”，其逐步推理，實質上是尋找已知的必要條件，借助基本不等式和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證明的問題.

4.？搖利用基本不等式解決恒成立問題

例5 ?已知正實數x，y滿足x+y+3=xy，若對任意滿足條件的x，y，都有（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，則實數a的取值范圍為________.

思索 ?先根據x+y+3=xy求出x+y的取值范圍，再求出（x+y）+的最小值，要使得a≤（x+y）+恒成立，只要（x+y）+的最小值大于或等于a即可.

破解 ?要使（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，則有（x+y）2+1≥a（x+y），即a≤（x+y）+恒成立. 由x+y+3=xy得x+y+3=xy≤，即（x+y）2-4（x+y）-12≥0，解得x+y≥6或x+y≤-2（舍去）. 設t=x+y，則t≥6，函數y=（x+y）+=t+，在t≥6時，函數單調遞增，所以y=t+的最小值為6+=，所以a≤，即實數a的取值范圍是-∞，.

小結 ?當不等式一邊的函數（或代數式）的最值較易求出時，可直接求出這個最值（最值可能含有參數），然后建立關于參數的不等式求解.

5.？搖應用基本不等式解實際應用問題endprint

例6 ?（2014年高考湖北卷）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/小時）與車流速度v（假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關，其公式為F=.

（1）如果不限定車型，l=6.05，則最大車流量為________輛/小時;

（2）如果限定車型，l=5， 則最大車流量比（1）中的最大車流量增加________輛/小時.

思索 ?（1）把l=6.05代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大車流量;（2）把l=5代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大車流量，再與（1）的最大車流量比較，即可得結論.

破解 ?（1）因為l=6.05，所以F===≤=1900. 所以不限定車型，l=6.05時，最大車流量為1900輛/小時.

（2）因為l=5，所以由已知可得F===≤=2000.所以l=5時，最大車流量為2000輛/小時.因為2000-1900=100，所以限定車型，l=5，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加100輛/小時.

6. 基本不等式與其他知識相交匯

例7 ?（2014年高考四川卷）設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則PA·PB的最大值是________.

思索 ?依題意，先求出定點A，B的坐標，再判斷已知兩動直線的位置關系，從而可求出PA2+PB2的值;再利用基本不等式，即可求出PA·PB的最大值.

破解 ?因為動直線x+my=0過定點A（0，0），動直線mx-y-m+3=0過定點B（1，3），依題意知PA⊥PB，所以PA2+PB2=AB2=10，故PA·PB≤=5（當且僅當PA=PB=時，等號成立），所以PA·PB的最大值是5.

小結 ?破解此類交匯題的關鍵：一是“動中求靜”，即分別求出兩動直線所經過的定點的坐標;二是“靜中有動”，即判斷兩定點與兩動直線的交點P的位置關系;三是活用公式，由于基本不等式具有將“積式”轉化為“和式”的功能，因此，應活用此公式求最值.

1. 已知正數a，b滿足4a+b=30，使得+取最小值的實數對（a，b）是（ ? ?）

A. （5，10） B. （6，6）？搖？搖？搖？搖？搖？搖

C. （10，5） D. （7，2）

2. 設e1，e2是平面內兩個不共線的向量，=（a-1）e1+e2，=be1-2e2（a>0，b>0）. 若A，B，C三點共線，則+的最小值是（ ? ?）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

3. 若x，y∈（0，2]，且xy=2，不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，則實數a的取值范圍為（ ? ?）

A. a≤ B. a≤2

C. a≥2？搖 D. a≥

4. 為了迎接2014年11月11日“雙11”購物節的到來，某廠家舉行了促銷活動，經測算，某產品的銷售量P萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P=3-，已知生產該產品還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為4+元/萬件. 促銷費用投入（ ? ?）萬元時，廠家的利潤最大.

A. 1 ? B. 1.5 ? C. 2 ? D. 3

5. 設正數x，y滿足2x+y=2，則+，4x2+4xy+y2的大小關系為________.

參考答案

1. A ? ?2. B

3. D ? ?4. A

5. +≥4x2+4xy+y2endprint

例6 ?（2014年高考湖北卷）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/小時）與車流速度v（假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關，其公式為F=.

（1）如果不限定車型，l=6.05，則最大車流量為________輛/小時;

（2）如果限定車型，l=5， 則最大車流量比（1）中的最大車流量增加________輛/小時.

思索 ?（1）把l=6.05代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大車流量;（2）把l=5代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大車流量，再與（1）的最大車流量比較，即可得結論.

破解 ?（1）因為l=6.05，所以F===≤=1900. 所以不限定車型，l=6.05時，最大車流量為1900輛/小時.

（2）因為l=5，所以由已知可得F===≤=2000.所以l=5時，最大車流量為2000輛/小時.因為2000-1900=100，所以限定車型，l=5，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加100輛/小時.

6. 基本不等式與其他知識相交匯

例7 ?（2014年高考四川卷）設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則PA·PB的最大值是________.

思索 ?依題意，先求出定點A，B的坐標，再判斷已知兩動直線的位置關系，從而可求出PA2+PB2的值;再利用基本不等式，即可求出PA·PB的最大值.

破解 ?因為動直線x+my=0過定點A（0，0），動直線mx-y-m+3=0過定點B（1，3），依題意知PA⊥PB，所以PA2+PB2=AB2=10，故PA·PB≤=5（當且僅當PA=PB=時，等號成立），所以PA·PB的最大值是5.

小結 ?破解此類交匯題的關鍵：一是“動中求靜”，即分別求出兩動直線所經過的定點的坐標;二是“靜中有動”，即判斷兩定點與兩動直線的交點P的位置關系;三是活用公式，由于基本不等式具有將“積式”轉化為“和式”的功能，因此，應活用此公式求最值.

1. 已知正數a，b滿足4a+b=30，使得+取最小值的實數對（a，b）是（ ? ?）

A. （5，10） B. （6，6）？搖？搖？搖？搖？搖？搖

C. （10，5） D. （7，2）

2. 設e1，e2是平面內兩個不共線的向量，=（a-1）e1+e2，=be1-2e2（a>0，b>0）. 若A，B，C三點共線，則+的最小值是（ ? ?）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

3. 若x，y∈（0，2]，且xy=2，不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，則實數a的取值范圍為（ ? ?）

A. a≤ B. a≤2

C. a≥2？搖 D. a≥

4. 為了迎接2014年11月11日“雙11”購物節的到來，某廠家舉行了促銷活動，經測算，某產品的銷售量P萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P=3-，已知生產該產品還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為4+元/萬件. 促銷費用投入（ ? ?）萬元時，廠家的利潤最大.

A. 1 ? B. 1.5 ? C. 2 ? D. 3

5. 設正數x，y滿足2x+y=2，則+，4x2+4xy+y2的大小關系為________.

參考答案

1. A ? ?2. B

3. D ? ?4. A

5. +≥4x2+4xy+y2endprint

例6 ?（2014年高考湖北卷）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內經過測量點的車輛數，單位：輛/小時）與車流速度v（假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關，其公式為F=.

（1）如果不限定車型，l=6.05，則最大車流量為________輛/小時;

（2）如果限定車型，l=5， 則最大車流量比（1）中的最大車流量增加________輛/小時.

思索 ?（1）把l=6.05代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大車流量;（2）把l=5代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大車流量，再與（1）的最大車流量比較，即可得結論.

破解 ?（1）因為l=6.05，所以F===≤=1900. 所以不限定車型，l=6.05時，最大車流量為1900輛/小時.

（2）因為l=5，所以由已知可得F===≤=2000.所以l=5時，最大車流量為2000輛/小時.因為2000-1900=100，所以限定車型，l=5，則最大車流量比（1）中的最大車流量增加100輛/小時.

6. 基本不等式與其他知識相交匯

例7 ?（2014年高考四川卷）設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），則PA·PB的最大值是________.

思索 ?依題意，先求出定點A，B的坐標，再判斷已知兩動直線的位置關系，從而可求出PA2+PB2的值;再利用基本不等式，即可求出PA·PB的最大值.

破解 ?因為動直線x+my=0過定點A（0，0），動直線mx-y-m+3=0過定點B（1，3），依題意知PA⊥PB，所以PA2+PB2=AB2=10，故PA·PB≤=5（當且僅當PA=PB=時，等號成立），所以PA·PB的最大值是5.

小結 ?破解此類交匯題的關鍵：一是“動中求靜”，即分別求出兩動直線所經過的定點的坐標;二是“靜中有動”，即判斷兩定點與兩動直線的交點P的位置關系;三是活用公式，由于基本不等式具有將“積式”轉化為“和式”的功能，因此，應活用此公式求最值.

1. 已知正數a，b滿足4a+b=30，使得+取最小值的實數對（a，b）是（ ? ?）

A. （5，10） B. （6，6）？搖？搖？搖？搖？搖？搖

C. （10，5） D. （7，2）

2. 設e1，e2是平面內兩個不共線的向量，=（a-1）e1+e2，=be1-2e2（a>0，b>0）. 若A，B，C三點共線，則+的最小值是（ ? ?）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

3. 若x，y∈（0，2]，且xy=2，不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，則實數a的取值范圍為（ ? ?）

A. a≤ B. a≤2

C. a≥2？搖 D. a≥

4. 為了迎接2014年11月11日“雙11”購物節的到來，某廠家舉行了促銷活動，經測算，某產品的銷售量P萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P=3-，已知生產該產品還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為4+元/萬件. 促銷費用投入（ ? ?）萬元時，廠家的利潤最大.

A. 1 ? B. 1.5 ? C. 2 ? D. 3

5. 設正數x，y滿足2x+y=2，則+，4x2+4xy+y2的大小關系為________.

參考答案

1. A ? ?2. B

3. D ? ?4. A

5. +≥4x2+4xy+y2endprint