數列求和
2014-12-13 19:23:09鄭燦基
數學教學通訊·初中版 2014年11期
鄭燦基
重點：掌握等差數列、等比數列的求和公式;掌握特殊的非等差、等比數列求和的幾種常見方法.
難點：通過分析數列的通項，能快速選擇適當的方法進行數列求和;分類討論思想和轉化思想的運用.
1. 公式法
利用以下常用的求和公式求和是數列求和的最基本、最重要的方法.
（1）等差數列的前n項和公式：Sn==na1+.
（2）等比數列的前n項和公式：Sn=na1，q=1，=，q≠1.
（3）幾個常用的數列求和公式：Sn=k=n（n+1），Sn=k2=n·（n+1）（2n+1），Sn=k3=n（n+1）2.
2.分組求和法
一個數列的通項公式由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可進行拆分，分別用常用的求和公式求和后相加減，例如求{n+2n}的前n項和.
3. 倒序相加法
若將一個數列{an}的前n項倒過來排序，它與{an}的前n項分別對應“配對”相加時，若每對的和相等或等于同一個常數，則求{an}的前n項和可用倒序相加法. 例如等差數列{an}的前n項和公式即是用此法推導的.
4.錯位相減法
若數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法. 一般是和式兩邊同乘等比數列{bn}的公比（若公比為參數，應分公比為1和不為1兩類討論），然后作差求解. 例如求{n·2n}的前n項和. 注意在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確寫出表達式.
5.并項求和法
數列{an}的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的性質，因此可以幾項結合求和，再求Sn，則稱之為并項求和. 形如an=（-1）nf（n）的類型，可以采用相鄰兩項合并求解;如周期為4的數列求其前n項和，可以采用相鄰四項合并求解.
6.裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，求和過程中能夠前后相互抵消，從而求得其和. 本法常適用于通項的結構中含有的前n項求和. 分裂通項時，應注意通項是否恰好等于相應的兩項之差;在求和時還要注意，抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也可能是前面剩兩項，后面也剩兩項，例如求的前n項和.
常見的拆項公式有：
（1）=-;（2）=-;
（3）=-（其中{an}是一個公差d不為0的等差數列）;
（4）=-;
（5）=-;
（6）=-;（7）=-.
例1 ?（2014年高考湖南卷）已知數列{an}的前n項和Sn=，n∈N？鄢.
（1）求數列{an}的通項公式;？搖
（2）設bn=2+（-1）nan，求數列{bn}的前2n項和.
？搖 思索 ?本題主要考查數列前n項和Sn與通項an的關系，等差數列和等比數列的前n項和公式以及分組求和法與并項求和法. 對于（1），已知Sn求an，應分兩種情況，靈活運用結論an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2 來求解數列的通項公式. 對于（2），將（1）得到的通項公式代入，可得bn由2n和（-1）nn相加，所以求{bn}的前2n項和要用分組求和法，而（-1）nn的求和則需要用到并項求和法.
？搖破解 ?（1）當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-=n. 當n=1時，a1=S1=1，滿足上式，故an=n（n∈N？鄢）.
（2）由（1）知，bn=2n+（-1）nn. 記數列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n=（21+22+…+22n）+[-1+2-3+4-…-（2n-1）+2n]=+（1+1+…+1）=22n+1+n-2. 故數列{bn}的前2n項和為22n+1+n-2.
例2 ?（2014年高考全國大綱卷）等差數列{an}的前n項和為Sn. 已知a1=10，a2為整數，且Sn≤S4.
（1）求{an}的通項公式;？搖
（2）設bn=，求數列{bn}的前n項和Tn.
思索 ?本題主要考查等差數列的概念與性質、等差數列的通項公式和前n項和公式，以及裂項相消法，重點考查運算求解能力和轉化化歸能力. 對于（1），目標就是求出{an}的公差d. 由a1=10和a2為整數，可知公差d是整數. 由Sn≤S4可知當n=4時，Sn取得最大值，所以d<0，a4≥0，a5≤0，建立不等式組可以求出整數d. 也可以直接由Sn≤S4得到S3≤S4，S5≤S4， 即不等式組3a1+3d≤4a1+6d，5a1+10d≤4a1+6d，求出整數d. 對于（2），由于{an}是等差數列，可以拆分=-，采用裂項相消法求和.
破解 ?（1）由a1=10，a2為整數知，等差數列{an}的公差d是整數. 由Sn≤S4可知，當n=4時，Sn取得最大值，所以d<0，a4≥0，a5≤0. 所以a1+3d≥0且a1+4d≤0，即10+3d≥0且10+4d≤0，解得-≤d≤-. 所以d=-3. 故數列{an}的通項公式an=10-3（n-1）=13-3n.
（2）bn===
--，所以Tn=b1+b2+
…+bn=--+--+…+--=
--+-+…+-=--=.
例3 ?（2014年高考四川卷）設等差數列{an}的公差為d，點（an，bn）在函數f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢）.
（1）若a1=-2，點（a8，4b7）在函數f（x）的圖象上，求數列{an}的前n項和Sn;endprint
（2）若a1=1，函數f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2-，求數列的前n項和Tn.
思索 ?本題將數列、函數與導數有機結合在一起，考查等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式，錯位相減法以及導數的幾何意義;重點考查運算求解能力和分析處理綜合問題的能力.對于（1），不難得bn=2，4b7=2，由于所求目標是an，所以應將兩個條件進行化簡，消去bn得到關于an的式子，再利用a1，d這兩個基本量代入求解得d，最后利用等差數列的前n項和公式求出Sn. 對于（2），求出f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線，令y=0求出x的值，結合x=2-和b2=2兩式可求得a2=2，從而求得an=n，由于<，應考慮錯位相減法求和.
破解 ?（1）因為點（an，bn）在函數f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢），所以bn=2，所以b=2. 又因為點（a8，4b7）在函數f（x）的圖象上，所以4b7=2，所以4·2=2，即a+2=a，所以等差數列{an}的公差d=a8-a7=2. 所以{an}的前n項和Sn=n×（-2）+×2=n2-3n.
（2）因為f（x）=2x，所以f ′（x）=2xln2，所以函數f（x）=2x在點（a2，b2）處的切線方程為y-b2=（2ln2）（x-a2）. 令y=0，得x=a2-. 因為b2=2，所以x=a2-. 因為x=2-，所以a2=2，由a1=1可得公差d=1，所以an=n. 又因為bn=2，所以bn=2n，所以==n·n.因為Tn=+2·2+3·3+…+（n-1）·n-1+n·n，所以Tn=2+2·3+3·4+
…+（n-1）·n+n·n+1，兩式相減得：Tn=+2+3+4+
…+n-n·n+1=-n·n+1=1--，所以Tn=21--=2-.
1. 數列2，2，3，4，…，n+，…的前n項和為（ ? ?）
A. +2-
B. +1-
C. -
D. -
2. 已知函數f（x）對任意x∈R，都有f（x）+f（1-x）=，則f（0）+f+f+…+f+f（1）=________.
3. 已知{an}是首項為1、公差為2的等差數列，S表示{an}的前n項和.{bn}是首項為2的等比數列，公比q滿足q2-（a4+1）q+S4=0，則{bn}的前n項和Tn=________.
4. （2014年高考新課標卷I）已知{an}是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
（1）求{an}的通項公式;（2）求數列的前n項和.
5. 正項數列{an}的前項和Sn滿足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.
（1）求數列{an}的通項公式an;
（2）令bn=，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N？鄢，都有Tn<.
參考答案
1. C ? ?2. 504？搖 ? 3. （4n-1）
4. （1）an=n+1.
（2）設的前n項和為Sn，由（1）可得==，則Sn=++…++，則Sn=++
…++，兩式相減可得Sn=++…+-=+-=+1--，所以Sn=2-.
5. （1）由S-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0. 由于{an}是正項數列，所以Sn>0，Sn=n2+n. 于是a1=S1=2，n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 綜上，數列{an}的通項an=2n.
（2）由于an=2n，bn=，所以bn==-，Tn=1-+-+-+…+-+-=1+--<1+=.endprint
（2）若a1=1，函數f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2-，求數列的前n項和Tn.
思索 ?本題將數列、函數與導數有機結合在一起，考查等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式，錯位相減法以及導數的幾何意義;重點考查運算求解能力和分析處理綜合問題的能力.對于（1），不難得bn=2，4b7=2，由于所求目標是an，所以應將兩個條件進行化簡，消去bn得到關于an的式子，再利用a1，d這兩個基本量代入求解得d，最后利用等差數列的前n項和公式求出Sn. 對于（2），求出f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線，令y=0求出x的值，結合x=2-和b2=2兩式可求得a2=2，從而求得an=n，由于<，應考慮錯位相減法求和.
破解 ?（1）因為點（an，bn）在函數f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢），所以bn=2，所以b=2. 又因為點（a8，4b7）在函數f（x）的圖象上，所以4b7=2，所以4·2=2，即a+2=a，所以等差數列{an}的公差d=a8-a7=2. 所以{an}的前n項和Sn=n×（-2）+×2=n2-3n.
（2）因為f（x）=2x，所以f ′（x）=2xln2，所以函數f（x）=2x在點（a2，b2）處的切線方程為y-b2=（2ln2）（x-a2）. 令y=0，得x=a2-. 因為b2=2，所以x=a2-. 因為x=2-，所以a2=2，由a1=1可得公差d=1，所以an=n. 又因為bn=2，所以bn=2n，所以==n·n.因為Tn=+2·2+3·3+…+（n-1）·n-1+n·n，所以Tn=2+2·3+3·4+
…+（n-1）·n+n·n+1，兩式相減得：Tn=+2+3+4+
…+n-n·n+1=-n·n+1=1--，所以Tn=21--=2-.
1. 數列2，2，3，4，…，n+，…的前n項和為（ ? ?）
A. +2-
B. +1-
C. -
D. -
2. 已知函數f（x）對任意x∈R，都有f（x）+f（1-x）=，則f（0）+f+f+…+f+f（1）=________.
3. 已知{an}是首項為1、公差為2的等差數列，S表示{an}的前n項和.{bn}是首項為2的等比數列，公比q滿足q2-（a4+1）q+S4=0，則{bn}的前n項和Tn=________.
4. （2014年高考新課標卷I）已知{an}是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
（1）求{an}的通項公式;（2）求數列的前n項和.
5. 正項數列{an}的前項和Sn滿足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.
（1）求數列{an}的通項公式an;
（2）令bn=，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N？鄢，都有Tn<.
參考答案
1. C ? ?2. 504？搖 ? 3. （4n-1）
4. （1）an=n+1.
（2）設的前n項和為Sn，由（1）可得==，則Sn=++…++，則Sn=++
…++，兩式相減可得Sn=++…+-=+-=+1--，所以Sn=2-.
5. （1）由S-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0. 由于{an}是正項數列，所以Sn>0，Sn=n2+n. 于是a1=S1=2，n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 綜上，數列{an}的通項an=2n.
（2）由于an=2n，bn=，所以bn==-，Tn=1-+-+-+…+-+-=1+--<1+=.endprint
（2）若a1=1，函數f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線在x軸上的截距為2-，求數列的前n項和Tn.
思索 ?本題將數列、函數與導數有機結合在一起，考查等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式，錯位相減法以及導數的幾何意義;重點考查運算求解能力和分析處理綜合問題的能力.對于（1），不難得bn=2，4b7=2，由于所求目標是an，所以應將兩個條件進行化簡，消去bn得到關于an的式子，再利用a1，d這兩個基本量代入求解得d，最后利用等差數列的前n項和公式求出Sn. 對于（2），求出f（x）的圖象在點（a2，b2）處的切線，令y=0求出x的值，結合x=2-和b2=2兩式可求得a2=2，從而求得an=n，由于<，應考慮錯位相減法求和.
破解 ?（1）因為點（an，bn）在函數f（x）=2x的圖象上（n∈N？鄢），所以bn=2，所以b=2. 又因為點（a8，4b7）在函數f（x）的圖象上，所以4b7=2，所以4·2=2，即a+2=a，所以等差數列{an}的公差d=a8-a7=2. 所以{an}的前n項和Sn=n×（-2）+×2=n2-3n.
（2）因為f（x）=2x，所以f ′（x）=2xln2，所以函數f（x）=2x在點（a2，b2）處的切線方程為y-b2=（2ln2）（x-a2）. 令y=0，得x=a2-. 因為b2=2，所以x=a2-. 因為x=2-，所以a2=2，由a1=1可得公差d=1，所以an=n. 又因為bn=2，所以bn=2n，所以==n·n.因為Tn=+2·2+3·3+…+（n-1）·n-1+n·n，所以Tn=2+2·3+3·4+
…+（n-1）·n+n·n+1，兩式相減得：Tn=+2+3+4+
…+n-n·n+1=-n·n+1=1--，所以Tn=21--=2-.
1. 數列2，2，3，4，…，n+，…的前n項和為（ ? ?）
A. +2-
B. +1-
C. -
D. -
2. 已知函數f（x）對任意x∈R，都有f（x）+f（1-x）=，則f（0）+f+f+…+f+f（1）=________.
3. 已知{an}是首項為1、公差為2的等差數列，S表示{an}的前n項和.{bn}是首項為2的等比數列，公比q滿足q2-（a4+1）q+S4=0，則{bn}的前n項和Tn=________.
4. （2014年高考新課標卷I）已知{an}是遞增的等差數列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根.
（1）求{an}的通項公式;（2）求數列的前n項和.
5. 正項數列{an}的前項和Sn滿足：S2n-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0.
（1）求數列{an}的通項公式an;
（2）令bn=，數列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N？鄢，都有Tn<.
參考答案
1. C ? ?2. 504？搖 ? 3. （4n-1）
4. （1）an=n+1.
（2）設的前n項和為Sn，由（1）可得==，則Sn=++…++，則Sn=++
…++，兩式相減可得Sn=++…+-=+-=+1--，所以Sn=2-.
5. （1）由S-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0，得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0. 由于{an}是正項數列，所以Sn>0，Sn=n2+n. 于是a1=S1=2，n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n. 綜上，數列{an}的通項an=2n.
（2）由于an=2n，bn=，所以bn==-，Tn=1-+-+-+…+-+-=1+--<1+=.endprint
