不等式的解法

車樹勤

本部分內(nèi)容由解一元一次不等式、一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、絕對值不等式組成. 客觀題主要考查以上不等式的基本解法，或已知二次函數(shù)零點(diǎn)的分布考查參數(shù)的取值范圍;主觀題常把對不等式的考查與其他知識相結(jié)合，比如考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用為主的試題中，解不等式在判斷函數(shù)單調(diào)性方面起到了關(guān)鍵作用.

重點(diǎn)：對于以上各種類型，一要熟練掌握它們各自的典型解法;二要注重提升運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

難點(diǎn)：含參不等式要做到正確分類，以做到各種情況不重不漏.

1. 一元一次不等式、一元二次不等式的解法

（1）解一元一次不等式時要考慮x項的系數(shù)是否為零，以及正負(fù)情況.

（2）解一元二次不等式先將二次項系數(shù)化正，再借助對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象寫出解集. 對于含參數(shù)不等式，由于參數(shù)的取值不確定，所以往往需要進(jìn)行分類討論.

2. 高次不等式、分式不等式的解法

？搖（1）解高次不等式時，把不等式化為一邊是0，另一邊可分解為關(guān)于x的一次或二次因式的積或商的形式，用“序軸標(biāo)根法”求解. 注意每個因式中x的系數(shù)要為正，且穿根時“奇穿偶回”.

（2）解分式不等式時不能隨意去分母，只有在確切地判定了分母的符號的情況下，才可以考慮去分母;在用穿根法（序軸標(biāo)根法）解題時，要注意區(qū)分“空心點(diǎn)”和“實(shí)心點(diǎn)”，不能隨意畫. 分式不等式的常見解法：>0或<0？圳p（x）·q（x）>0（或p（x）q（x）<0）;≥0或≤0？圳p（x）q（x）≥0，q（x）≠0或p（x）q（x）≤0，q（x）≠0..

3. 絕對值不等式的解法

解含絕對值的不等式的思路是：將含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解. 解題的過程仍是轉(zhuǎn)換、化歸、化簡的過程. 化去絕對值符號的常用方法有：定義化簡法、區(qū)間化簡法、平方化簡法、分類討論法等.

解含有兩個或兩個以上絕對值符號，并且其形式是和或差的不等式可用零點(diǎn)分段法來分段討論求解，但在求解過程中，注意不要忘記對區(qū)間端點(diǎn)的討論.

4. 指、對數(shù)不等式

（1）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式①af（x）>ag（x）（a>1）？圳f（x）>g（x）;af（x）>ag（x）（0b（a>0，b>0）？圳f（x）·lga>lgb.

（2）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式①logaf（x）>logag（x）（a>1）？圳f（x）>0，g（x）>0，f（x）>g（x）;logaf（x）>logag（x）（00，g（x）>0，f（x）

5. 無理不等式的解法

無理不等式的常見類型及等價形式：

（1）>？圳

f（x）≥0g（x）≥0？搖？圯定義域，f（x）>g（x）;

（2）>g（x）？圳

f（x）≥0，g（x）≥0，f（x）>[g（x）]2，或f（x）≥0，g（x）<0;

（3）

f（x）≥0，g（x）>0，f（x）<[g（x）]2.

1. 一元一次不等式、一元二次不等式

例1 ?解關(guān)于x的不等式a（x-ab）>b（x+ab）.

思考 ?對原不等式進(jìn)行展開，移項整理成cx>d的形式;在把c除到右邊之前要考慮c的取值情況，分c>0，c=0，c<0三種情況進(jìn)行討論，特別是當(dāng)c=0時要根據(jù)d的正負(fù)來確定.

破解 ?將原不等式展開，整理得（a-b）x>ab（a+b），當(dāng)a>b時，x>;當(dāng)a=b時，若a=b≥0時x∈，若a=b<0時x∈R;當(dāng)a

例2 ?（1）關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為xx<-2或x>-，求關(guān)于x的不等式ax2-bx+c>0的解集.

（2）解關(guān)于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0，其中a>0.

思考 ?（1）根據(jù)不等式的解集可以知道a應(yīng)該為負(fù)數(shù)，可知不等式ax2-bx+c>0的解集的結(jié)果應(yīng)該是取中間. 但是兩個條件三個未知數(shù)，不可能解出a，b，c的值，觀察兩個不等式的特征可以對不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為已知的不等式來解，根據(jù)方程根的情況寫出解集. （2）這是一個含有參數(shù)的一元二次不等式，在求解時可以對其進(jìn)行因式分解，求出方程的兩個根，當(dāng)然有一個根是含有參數(shù)a的，所以要比較兩個根的大小，則須按照a的取值大小進(jìn)行分類，兩個根相等的情況不能遺漏.

破解 ?（1）由題可知，a<0且-=

-，=1，從而ax2-bx+c>0可以變形為x2-x+<0，即x2-x+1<0 ，所以

（2）由一元二次方程ax2-（a+1）x+1=0的根為x1=1，x2=知，

①當(dāng)>1，即0

②當(dāng)0<<1，即a>1時，不等式ax2-（a+1）x+1<0的解集為，1.

③當(dāng)=1，即a=1時，不等式ax2-（a+1）x+1<0的解集為.

2. 高次不等式、分式不等式endprint

例3 ?解不等式

思考 ?看似一個簡單的分式不等式，但是有的同學(xué)在解的時候，常會直接把分母乘到右邊，而忽視了分母的正負(fù)性.

破解1 ?當(dāng)x-1>0時，16<（x-1）2，解得x>5;當(dāng)x-1<0時，16>（x-1）2，解得-35}.

破解2 ?原不等式化為>0，轉(zhuǎn)化為（x-5）（x+3）>0x-1>0，或（x-5）（x+3）<0，x-1<0， 所以原不等式的解為{x-35}.

破解3 ?原不等式等價于（x-5）·（x+3）（x-1）>0，用標(biāo)根法可得原不等式的解為{x-35}.

3. 絕對值不等式

例4 ?已知不等式x-2-x-3>m，（1）若不等式有解;（2）若不等式的解集為R;（3）若不等式的解集為，分別求m的取值范圍.

思考 ?首先，得到式子x-2-x-3的取值范圍;其次，若不等式有解，則m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集為R，則m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集為，則m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1 ?令f（x）=x-2-x-3，則得分段函數(shù)f（x）=-1，x≤2，2x-5，2

破解2 ?因為x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1，所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3 ?把x-2-x-3看做是數(shù)軸上的點(diǎn)x到2與3兩點(diǎn)的距離之差，能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

（1）若不等式有解，則m比x-2-x-3的最大值小，所以m<1.

（2）若不等式的解集為R，即不等式恒成立，則m比x-2-x-3的最小值小，所以m<-1.

（3）若不等式的解集為，則m不小于x-2-x-3的最大值，所以m≥1.

4. 指、對數(shù)不等式

例5 ?解不等式：（1）2<3（x-1）;（2）logx-3（x-1）≥2.

思考 ?利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及換元法，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解.必須注意底數(shù)是大于1，還是小于1且大于0. 若底數(shù)不能確定，則需分類討論. 解對數(shù)不等式時，可以把對數(shù)兩邊換成同底，利用單調(diào)性來比較真數(shù)的大小，同時還要注意真數(shù)為R+的條件.

破解 ?（1）原不等式可化為2<2-3（x-1），因為底數(shù)2>1，所以x2-2x-3<-3（x-1），整理得x2+x-6<0. 解之得-3

？搖？搖 （2）由已知，原不等式等價于x-1>0，x-3>1，x-1≥（x-3）2或x-1>0，0

5. 無理不等式

例6 ?解不等式>4-3x.

思考 ?對于無理不等式，通常是進(jìn)行平方求解，但是平方的前提條件是要求不等式的兩邊都是正數(shù).本題的不等式右邊不能判斷其正負(fù)，當(dāng)右邊為正數(shù)時兩邊才可以同時平方，同時還要保證被開方數(shù)大于或等于零;當(dāng)右邊小于零，則在被開方數(shù)大于或等于零時不等式恒成立.

破解 ?原不等式等價于下列兩個不等式組的解集的并集：

（1）4-3x≥0，-x2+3x-2≥0，-x2+3x-2>（4-3x）2;（2）-x2+3x-2≥0，4-3x<0.解（1）：x≤，1≤x≤2，

1. 若函數(shù)f（x）=x+1+2x+a的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為（ ? ?）

A. 5或8？搖 B. -1或5？搖

C. -1或-4？搖 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解關(guān)于x的不等式>1+logax.

6. 解關(guān)于x的不等式 23x-2x

參考答案

1. D 當(dāng)a≥2時， 由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-1，x+a-1，-≤x≤-1，-3x-a-1，x<-， 當(dāng)x=-時， f（x）min=f-=-1=3，得a=8. 當(dāng)a<2時，由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-，-x-a+1，-1≤x≤-，-3x-a-1，x<-1，當(dāng)x=-時， f（x）min=f-=-+1=3，可得a=-4.綜上可知，a的值為-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a，0

6. 原不等式可化為24x-（1+m）·22x+m<0，即（22x-1）（22x-m）<0？搖①.

（1）當(dāng)m>1時，由①得1<22x

（2）當(dāng)m=1時，由①得（22x-1）2<0，所以x∈;

（3）當(dāng)0

（4）當(dāng)m≤0時，由①得22x<1，所以x<0.

綜上所述：當(dāng)m>1時，原不等式的解集為0，log2m;當(dāng)m=1時，原不等式的解集為;當(dāng)0

例3 ?解不等式

思考 ?看似一個簡單的分式不等式，但是有的同學(xué)在解的時候，常會直接把分母乘到右邊，而忽視了分母的正負(fù)性.

破解1 ?當(dāng)x-1>0時，16<（x-1）2，解得x>5;當(dāng)x-1<0時，16>（x-1）2，解得-35}.

破解2 ?原不等式化為>0，轉(zhuǎn)化為（x-5）（x+3）>0x-1>0，或（x-5）（x+3）<0，x-1<0， 所以原不等式的解為{x-35}.

破解3 ?原不等式等價于（x-5）·（x+3）（x-1）>0，用標(biāo)根法可得原不等式的解為{x-35}.

3. 絕對值不等式

例4 ?已知不等式x-2-x-3>m，（1）若不等式有解;（2）若不等式的解集為R;（3）若不等式的解集為，分別求m的取值范圍.

思考 ?首先，得到式子x-2-x-3的取值范圍;其次，若不等式有解，則m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集為R，則m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集為，則m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1 ?令f（x）=x-2-x-3，則得分段函數(shù)f（x）=-1，x≤2，2x-5，2

破解2 ?因為x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1，所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3 ?把x-2-x-3看做是數(shù)軸上的點(diǎn)x到2與3兩點(diǎn)的距離之差，能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

（1）若不等式有解，則m比x-2-x-3的最大值小，所以m<1.

（2）若不等式的解集為R，即不等式恒成立，則m比x-2-x-3的最小值小，所以m<-1.

（3）若不等式的解集為，則m不小于x-2-x-3的最大值，所以m≥1.

4. 指、對數(shù)不等式

例5 ?解不等式：（1）2<3（x-1）;（2）logx-3（x-1）≥2.

思考 ?利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及換元法，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解.必須注意底數(shù)是大于1，還是小于1且大于0. 若底數(shù)不能確定，則需分類討論. 解對數(shù)不等式時，可以把對數(shù)兩邊換成同底，利用單調(diào)性來比較真數(shù)的大小，同時還要注意真數(shù)為R+的條件.

破解 ?（1）原不等式可化為2<2-3（x-1），因為底數(shù)2>1，所以x2-2x-3<-3（x-1），整理得x2+x-6<0. 解之得-3

？搖？搖 （2）由已知，原不等式等價于x-1>0，x-3>1，x-1≥（x-3）2或x-1>0，0

5. 無理不等式

例6 ?解不等式>4-3x.

思考 ?對于無理不等式，通常是進(jìn)行平方求解，但是平方的前提條件是要求不等式的兩邊都是正數(shù).本題的不等式右邊不能判斷其正負(fù)，當(dāng)右邊為正數(shù)時兩邊才可以同時平方，同時還要保證被開方數(shù)大于或等于零;當(dāng)右邊小于零，則在被開方數(shù)大于或等于零時不等式恒成立.

破解 ?原不等式等價于下列兩個不等式組的解集的并集：

（1）4-3x≥0，-x2+3x-2≥0，-x2+3x-2>（4-3x）2;（2）-x2+3x-2≥0，4-3x<0.解（1）：x≤，1≤x≤2，

1. 若函數(shù)f（x）=x+1+2x+a的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為（ ? ?）

A. 5或8？搖 B. -1或5？搖

C. -1或-4？搖 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解關(guān)于x的不等式>1+logax.

6. 解關(guān)于x的不等式 23x-2x

參考答案

1. D 當(dāng)a≥2時， 由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-1，x+a-1，-≤x≤-1，-3x-a-1，x<-， 當(dāng)x=-時， f（x）min=f-=-1=3，得a=8. 當(dāng)a<2時，由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-，-x-a+1，-1≤x≤-，-3x-a-1，x<-1，當(dāng)x=-時， f（x）min=f-=-+1=3，可得a=-4.綜上可知，a的值為-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a，0

6. 原不等式可化為24x-（1+m）·22x+m<0，即（22x-1）（22x-m）<0？搖①.

（1）當(dāng)m>1時，由①得1<22x

（2）當(dāng)m=1時，由①得（22x-1）2<0，所以x∈;

（3）當(dāng)0

（4）當(dāng)m≤0時，由①得22x<1，所以x<0.

綜上所述：當(dāng)m>1時，原不等式的解集為0，log2m;當(dāng)m=1時，原不等式的解集為;當(dāng)0

例3 ?解不等式

思考 ?看似一個簡單的分式不等式，但是有的同學(xué)在解的時候，常會直接把分母乘到右邊，而忽視了分母的正負(fù)性.

破解1 ?當(dāng)x-1>0時，16<（x-1）2，解得x>5;當(dāng)x-1<0時，16>（x-1）2，解得-35}.

破解2 ?原不等式化為>0，轉(zhuǎn)化為（x-5）（x+3）>0x-1>0，或（x-5）（x+3）<0，x-1<0， 所以原不等式的解為{x-35}.

破解3 ?原不等式等價于（x-5）·（x+3）（x-1）>0，用標(biāo)根法可得原不等式的解為{x-35}.

3. 絕對值不等式

例4 ?已知不等式x-2-x-3>m，（1）若不等式有解;（2）若不等式的解集為R;（3）若不等式的解集為，分別求m的取值范圍.

思考 ?首先，得到式子x-2-x-3的取值范圍;其次，若不等式有解，則m比x-2-x-3的最大值小;若不等式的解集為R，則m比x-2-x-3的最小值小;若不等式的解集為，則m不小于x-2-x-3的最大值.

破解1 ?令f（x）=x-2-x-3，則得分段函數(shù)f（x）=-1，x≤2，2x-5，2

破解2 ?因為x-2-x-3=2-x-x-3≤2-x+x-3=1，所以-1≤x-2-x-3≤1.

破解3 ?把x-2-x-3看做是數(shù)軸上的點(diǎn)x到2與3兩點(diǎn)的距離之差，能迅速得到-1≤x-2-x-3≤1.

（1）若不等式有解，則m比x-2-x-3的最大值小，所以m<1.

（2）若不等式的解集為R，即不等式恒成立，則m比x-2-x-3的最小值小，所以m<-1.

（3）若不等式的解集為，則m不小于x-2-x-3的最大值，所以m≥1.

4. 指、對數(shù)不等式

例5 ?解不等式：（1）2<3（x-1）;（2）logx-3（x-1）≥2.

思考 ?利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及換元法，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解.必須注意底數(shù)是大于1，還是小于1且大于0. 若底數(shù)不能確定，則需分類討論. 解對數(shù)不等式時，可以把對數(shù)兩邊換成同底，利用單調(diào)性來比較真數(shù)的大小，同時還要注意真數(shù)為R+的條件.

破解 ?（1）原不等式可化為2<2-3（x-1），因為底數(shù)2>1，所以x2-2x-3<-3（x-1），整理得x2+x-6<0. 解之得-3

？搖？搖 （2）由已知，原不等式等價于x-1>0，x-3>1，x-1≥（x-3）2或x-1>0，0

5. 無理不等式

例6 ?解不等式>4-3x.

思考 ?對于無理不等式，通常是進(jìn)行平方求解，但是平方的前提條件是要求不等式的兩邊都是正數(shù).本題的不等式右邊不能判斷其正負(fù)，當(dāng)右邊為正數(shù)時兩邊才可以同時平方，同時還要保證被開方數(shù)大于或等于零;當(dāng)右邊小于零，則在被開方數(shù)大于或等于零時不等式恒成立.

破解 ?原不等式等價于下列兩個不等式組的解集的并集：

（1）4-3x≥0，-x2+3x-2≥0，-x2+3x-2>（4-3x）2;（2）-x2+3x-2≥0，4-3x<0.解（1）：x≤，1≤x≤2，

1. 若函數(shù)f（x）=x+1+2x+a的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為（ ? ?）

A. 5或8？搖 B. -1或5？搖

C. -1或-4？搖 D. -4或8

2. 解不等式3x+1+18·3-x>29.

3. 解不等式>-1.

4. 解不等式<0.

5. 解關(guān)于x的不等式>1+logax.

6. 解關(guān)于x的不等式 23x-2x

參考答案

1. D 當(dāng)a≥2時， 由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-1，x+a-1，-≤x≤-1，-3x-a-1，x<-， 當(dāng)x=-時， f（x）min=f-=-1=3，得a=8. 當(dāng)a<2時，由已知可得f（x）=3x+a+1，x>-，-x-a+1，-1≤x≤-，-3x-a-1，x<-1，當(dāng)x=-時， f（x）min=f-=-+1=3，可得a=-4.綜上可知，a的值為-4或8.

2. xx>2或x

3. xx≥-.

4. {x-1

5. {x01}或{xx>a，0

6. 原不等式可化為24x-（1+m）·22x+m<0，即（22x-1）（22x-m）<0？搖①.

（1）當(dāng)m>1時，由①得1<22x

（2）當(dāng)m=1時，由①得（22x-1）2<0，所以x∈;

（3）當(dāng)0

（4）當(dāng)m≤0時，由①得22x<1，所以x<0.

綜上所述：當(dāng)m>1時，原不等式的解集為0，log2m;當(dāng)m=1時，原不等式的解集為;當(dāng)0