數列的概念與簡單表示法

黃邦活

重點：數列的通項公式;數列的函數性質;數列的通項an與前幾項和Sn的關系.

難點：求數列的最大項和最小項;由數列的遞推關系式求數列的通項公式.

1. 觀察—歸納—推理

根據數列的前幾項求它的一個通項公式，通常運用觀察法，即觀察分式中分子與分母的特征、相鄰項的變化特征、拆項后的特征、各項符號和絕對值的特征等，綜合得出項與項數n之間的關系. 若關系不明顯時，還應將部分項作適當的變形，統一成相同的形式，讓規律凸現出來. 對于正負符號的變化，可用（-1）n或（-1）n+1來調整，轉化為一些常見數列的通項公式求解. 但是，根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是利用“從特殊到一般”的數學思想，是不完全歸納法，因此得出的通項不一定可靠，要注意代值檢驗.

2. 數列與函數

數列可以看做是一類特殊的函數，數列的單調性、周期性、最大（小）項可以運用函數的知識及思想方法來解決，但要特別注意：數列中自變量的取值是不連續的，只能取正整數.

3. 數列單調性

有關數列最大項、最小項、有界性問題，主要根據數列的單調性求解，也可以通過轉化為函數的最值問題或結合函數圖象等方法來求解. 在求數列中的最大（?。╉棔r，應注意數列中的項可以是相同的，故不應漏掉等號.

（1）求數列中最大項的方法：設an為最大項，則有an≥an-1，an≥an+1;

（2）求數列中最小項的方法：設an？搖為最小項，則有an≤an-1，an≤an+1.

4. 由數列的前n項和求數列的通項

第一步，令n=1，由Sn=f（an）求出a1;

第二步，令n≥2，構造an=Sn-Sn-1，用an代換Sn-Sn-1（或用Sn-Sn-1代換an，這要結合題目的特點具體安排），由遞推關系求通項;

第三步，驗證n=1時的結論是否符合n≥2時的結論，如果符合，那么統一“合寫”;如果不符合，那么應分段表示.

5. 由數列遞推公式求通項公式的方法

？搖？搖由a1和遞推關系求通項公式，可把每相鄰兩項的關系列出來，抓住它們的特點進行恰當處理，借助拆分或取倒數等方法，利用“化歸”“累加”“累乘”來求解.

（1）對于形如“an+1=an+f（n）”的遞推關系式，只要f（n）可求和，便可利用累加的方法求通項公式.

（2）對于形如“=g（n）”的遞推關系式，只要g（n）可求積，便可利用累乘或迭代的方法求通項公式.

（3）對于形如“an+1=Aan+B（A≠0且A≠1）”的遞推關系，可用迭代法或構造等比數列法求通項公式.

例1 ?已知數列{an}的通項公式是an=，則數列中的正整數項有（ ? ?）

A. 1項？搖？搖 B. 2項？搖？搖

C. 3項？搖？搖 D. 4項

思索 ?由于是求數列{an}中的正整數項，因此>0且4n+31能整除2n-1. 根據通項公式是一個分子、分母都是含n的一次式，可以先對通項公式進行變行，將分子變成“常數”，然后再由正整數的整除性進行求解.

破解 ?因為an==2+，所以當an為整數時，33能整除2n-1，則2n-1=1，3，11，33，即n=1，2，6，17，此時an>0，故數列{an}中的正整數項共有4項，故答案選D.

例2 ?數列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式為（ ? ?）

A. an=（-1）n（1-2n） ？搖

B. an=2n-1？搖

C. an=（-1）n（2n-1）？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

D. an=（-1）n（2n+1）

思索1 ?觀察各項符號及數值的變化，歸納出項與項數的關系式即為所求的一個通項公式.

思索2 ?根據數列{an}通項公式的定義知，an是數列中第n項與序號n之間的一個式子，可以用n=1，2，3，…代入驗證，進行排除.

破解1（觀察法） ?數列中的奇數項為正數，偶數項為負數，符號可用（-1）n-1來表示;又從第二項起，每一項的絕對值都比前一項的絕對值大2，故其一個通項公式為an=（-1）n-1.（2n-1）=（-1）n（1-2n）.

破解2（排除法） ?當n=1時，數列的首項a1=1，將n=1代入A中得a1=1，代入B中得a1=1;代入C中得a1=-1;代入D中得a1=-3.因此可排除C、D.又當n=2時，a2=-3，將n=2代入A中得a2=-3，代入B中得a2=3，據此排除B. 綜上所述，答案應選A.

例3 ?（2014年高考新課標卷Ⅱ）數列{an}滿足an+1=，a8=2，則a1=________.

思索 ?根據a的值及遞推關系解得a7，然后同理由a7解得a6，直到由a2解得a1.

破解 ?因為a8=2，所以=2，解得a7=;同理可得a6=-1，a5=2，a4=，a3=-1，a2=2，a1=.

例4 ?數列{an}中，a1=3，a2=7，當n≥1時，an+2等于anan+1的個位數，則該數列的第2015項是（ ? ?）

A. 1 ?B. 3 ? C. 7 ? D. 9

思索 ?由于遞推表達式沒有確定，且所求項的項數較大，因此根據條件可先嘗試計算出a3，a4，a5等有限項，發現項的重復性，再利用數列的周期性求解.endprint

破解 ?由a1=3，a2=7，得a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，…，所以數列{an}是以6為周期的數列，所以a2014=a335×6+5=a5=7，故答案選C.

例5 ?（2014年高考遼寧卷） 設等差數列{an}的公差為d，若數列{2a1an}為遞減數列，則（ ? ?）

A. d>0？搖 B. d<0？搖？搖

C. a1d>0？搖 D. a1d<0

思索 ?根據遞減數列的定義，2a1an+1-2a1an<0對任意的正整數n成立，再結合等差數列的定義可解.

破解 ?因為數列{2a1an}為遞減數列，所以2a1an+1-2aa<0，即2a1（an+1-an）<0，又等差數列{an}的公差為d，所2a1d<0，所以a1d<0，故答案選D.

例6 ?已知數列{an}的通項an=，則an的最小值為________.

思索1 ?應用求數列最大項與最小項的方法，設an為最小項，列出不等式組an≤an-1，an≤an+1，解之即可.

思索2 ?將數列的通項構造成相應的函數，通過函數的單調性求解.

破解1 ?設an為最小項，則可得≤，≤，解得≤n≤，而11<<12，n∈N？鄢，即得n=6. 故an的最小值為a6==.

破解2 ?因為an==n+-1，令f（x）=x+-1，易知f（x）在區間（0，]上單調遞減，在區間[，+∞）上單調遞增.又因為5<<6，所以當n=5時，a5=5-1+=;當n=6時，a6=6-1+==.因為>，所以an的最小值為.

例7 ?（2014年高考廣東卷節選）設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足S2n-（n2+n-3）·Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值;

（2）求數列{an}的通項公式.

思索 ?（1）將n=1代入方程，結合a1=S1解方程即可得a1;（2）先由方程S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0解出Sn，然后再由Sn與an的關系可得通項an.

破解 ?（1）由題意有S-（12+1-3）S1-3（12+1）=0，得a+a1-6=0，解得a1=2或-3. 又數列的各項均為正數，所以a1=2.

（2）因為S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，所以[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又數列的各項均為正數，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n;當n=1時，a1=2符合上式. 故an=2n（n∈N？鄢）.

例8 ?（2014年高考新課標卷Ⅱ改編）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通項公式.

思索 ?根據遞推關系式的特點，適當進行變形或設待定系數，構造新的等比數列{an+p}（其中p為常數），求出p后容易求得an.

破解1 ?由an+1=3an+1得an+1+=3an+. 又a1+=，所以可得an+是首項為、公比為3的等比數列，所以an+=，因此數列{an}的通項公式為an=.

破解2 ?設an+1+p=3（an+p），即an+1=3an+2p，又an+1=3an+1，所以2p=1，得p=，以下同破解1.

1. 數列1，1，2，2，…的一個通項公式是（ ? ?）

A. ？搖？搖 B.

C. ？搖 D.

2. 已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10等于（ ? ?）

A. 1 ? B. 9 ? C. 10 ? D. 55

3. 設數列{an}滿足an+1=，a2015=2，那么a1等于（ ? ?）

A. - ?B. 2 ? C. ?D. -3

4. 已知數列{an}的通項公式為an=，數列{an}的最大項是（ ? ?）

A. a1 ? B. a2 ? C. a3 ? D. a4

5. 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=（n∈N*）.若bn+1=（n-λ）+1，b1=-λ，且數列{bn}是遞增數列，則實數λ的取值范圍為（ ? ?）

A. λ<2 B. λ>3

C. λ>2 D. λ<3

6. 已知數列{an}，滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，則數列{an}的通項公式為_______.

7. 已知數列{an}中，a=1，前n項和Sn=an.

（1）求a2，a3;

（2）求{an}的通項公式.

參考答案

1. D？搖

2. A 因為Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，所以S1=1.令m=1得Sn+1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=1，即當n≥1時，an+1=1，所以a10=1，故答案選A.

3. A ? ?4. D？搖

5. A ?根據an+1=，得=+1，所以+1=2+1. 又a1=1，所以+1=+12n-1=2n，所以bn+1=（n-λ）2n，所以bn+1-bn=（n-λ）2n-（n-1-λ）2n-1=（n-λ+1）2n-1>0，所以n-λ+1>0.又n∈N*，所以λ<2.

6. an=2，n=1，，n≥2 當n=1時，由已知可得a1=21=2;當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，故a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1②. 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1，所以an=. 顯然n=1時不滿足上式，所以an=2，n=1，，n≥2.

7. （1）由S2=a2得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3=（a1+a2）=6.

（2）由題設知a1=1. 當n>1時，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，整理得an=an-1. 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1. 將以上n個等式兩端分別相乘，整理后可得an=. 綜上可得，{an}的通項公式為an=.endprint

破解 ?由a1=3，a2=7，得a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，…，所以數列{an}是以6為周期的數列，所以a2014=a335×6+5=a5=7，故答案選C.

例5 ?（2014年高考遼寧卷） 設等差數列{an}的公差為d，若數列{2a1an}為遞減數列，則（ ? ?）

A. d>0？搖 B. d<0？搖？搖

C. a1d>0？搖 D. a1d<0

思索 ?根據遞減數列的定義，2a1an+1-2a1an<0對任意的正整數n成立，再結合等差數列的定義可解.

破解 ?因為數列{2a1an}為遞減數列，所以2a1an+1-2aa<0，即2a1（an+1-an）<0，又等差數列{an}的公差為d，所2a1d<0，所以a1d<0，故答案選D.

例6 ?已知數列{an}的通項an=，則an的最小值為________.

思索1 ?應用求數列最大項與最小項的方法，設an為最小項，列出不等式組an≤an-1，an≤an+1，解之即可.

思索2 ?將數列的通項構造成相應的函數，通過函數的單調性求解.

破解1 ?設an為最小項，則可得≤，≤，解得≤n≤，而11<<12，n∈N？鄢，即得n=6. 故an的最小值為a6==.

破解2 ?因為an==n+-1，令f（x）=x+-1，易知f（x）在區間（0，]上單調遞減，在區間[，+∞）上單調遞增.又因為5<<6，所以當n=5時，a5=5-1+=;當n=6時，a6=6-1+==.因為>，所以an的最小值為.

例7 ?（2014年高考廣東卷節選）設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足S2n-（n2+n-3）·Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值;

（2）求數列{an}的通項公式.

思索 ?（1）將n=1代入方程，結合a1=S1解方程即可得a1;（2）先由方程S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0解出Sn，然后再由Sn與an的關系可得通項an.

破解 ?（1）由題意有S-（12+1-3）S1-3（12+1）=0，得a+a1-6=0，解得a1=2或-3. 又數列的各項均為正數，所以a1=2.

（2）因為S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，所以[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又數列的各項均為正數，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n;當n=1時，a1=2符合上式. 故an=2n（n∈N？鄢）.

例8 ?（2014年高考新課標卷Ⅱ改編）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通項公式.

思索 ?根據遞推關系式的特點，適當進行變形或設待定系數，構造新的等比數列{an+p}（其中p為常數），求出p后容易求得an.

破解1 ?由an+1=3an+1得an+1+=3an+. 又a1+=，所以可得an+是首項為、公比為3的等比數列，所以an+=，因此數列{an}的通項公式為an=.

破解2 ?設an+1+p=3（an+p），即an+1=3an+2p，又an+1=3an+1，所以2p=1，得p=，以下同破解1.

1. 數列1，1，2，2，…的一個通項公式是（ ? ?）

A. ？搖？搖 B.

C. ？搖 D.

2. 已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10等于（ ? ?）

A. 1 ? B. 9 ? C. 10 ? D. 55

3. 設數列{an}滿足an+1=，a2015=2，那么a1等于（ ? ?）

A. - ?B. 2 ? C. ?D. -3

4. 已知數列{an}的通項公式為an=，數列{an}的最大項是（ ? ?）

A. a1 ? B. a2 ? C. a3 ? D. a4

5. 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=（n∈N*）.若bn+1=（n-λ）+1，b1=-λ，且數列{bn}是遞增數列，則實數λ的取值范圍為（ ? ?）

A. λ<2 B. λ>3

C. λ>2 D. λ<3

6. 已知數列{an}，滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，則數列{an}的通項公式為_______.

7. 已知數列{an}中，a=1，前n項和Sn=an.

（1）求a2，a3;

（2）求{an}的通項公式.

參考答案

1. D？搖

2. A 因為Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，所以S1=1.令m=1得Sn+1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=1，即當n≥1時，an+1=1，所以a10=1，故答案選A.

3. A ? ?4. D？搖

5. A ?根據an+1=，得=+1，所以+1=2+1. 又a1=1，所以+1=+12n-1=2n，所以bn+1=（n-λ）2n，所以bn+1-bn=（n-λ）2n-（n-1-λ）2n-1=（n-λ+1）2n-1>0，所以n-λ+1>0.又n∈N*，所以λ<2.

6. an=2，n=1，，n≥2 當n=1時，由已知可得a1=21=2;當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，故a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1②. 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1，所以an=. 顯然n=1時不滿足上式，所以an=2，n=1，，n≥2.

7. （1）由S2=a2得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3=（a1+a2）=6.

（2）由題設知a1=1. 當n>1時，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，整理得an=an-1. 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1. 將以上n個等式兩端分別相乘，整理后可得an=. 綜上可得，{an}的通項公式為an=.endprint

破解 ?由a1=3，a2=7，得a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，…，所以數列{an}是以6為周期的數列，所以a2014=a335×6+5=a5=7，故答案選C.

例5 ?（2014年高考遼寧卷） 設等差數列{an}的公差為d，若數列{2a1an}為遞減數列，則（ ? ?）

A. d>0？搖 B. d<0？搖？搖

C. a1d>0？搖 D. a1d<0

思索 ?根據遞減數列的定義，2a1an+1-2a1an<0對任意的正整數n成立，再結合等差數列的定義可解.

破解 ?因為數列{2a1an}為遞減數列，所以2a1an+1-2aa<0，即2a1（an+1-an）<0，又等差數列{an}的公差為d，所2a1d<0，所以a1d<0，故答案選D.

例6 ?已知數列{an}的通項an=，則an的最小值為________.

思索1 ?應用求數列最大項與最小項的方法，設an為最小項，列出不等式組an≤an-1，an≤an+1，解之即可.

思索2 ?將數列的通項構造成相應的函數，通過函數的單調性求解.

破解1 ?設an為最小項，則可得≤，≤，解得≤n≤，而11<<12，n∈N？鄢，即得n=6. 故an的最小值為a6==.

破解2 ?因為an==n+-1，令f（x）=x+-1，易知f（x）在區間（0，]上單調遞減，在區間[，+∞）上單調遞增.又因為5<<6，所以當n=5時，a5=5-1+=;當n=6時，a6=6-1+==.因為>，所以an的最小值為.

例7 ?（2014年高考廣東卷節選）設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足S2n-（n2+n-3）·Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值;

（2）求數列{an}的通項公式.

思索 ?（1）將n=1代入方程，結合a1=S1解方程即可得a1;（2）先由方程S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0解出Sn，然后再由Sn與an的關系可得通項an.

破解 ?（1）由題意有S-（12+1-3）S1-3（12+1）=0，得a+a1-6=0，解得a1=2或-3. 又數列的各項均為正數，所以a1=2.

（2）因為S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，所以[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又數列的各項均為正數，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n;當n=1時，a1=2符合上式. 故an=2n（n∈N？鄢）.

例8 ?（2014年高考新課標卷Ⅱ改編）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通項公式.

思索 ?根據遞推關系式的特點，適當進行變形或設待定系數，構造新的等比數列{an+p}（其中p為常數），求出p后容易求得an.

破解1 ?由an+1=3an+1得an+1+=3an+. 又a1+=，所以可得an+是首項為、公比為3的等比數列，所以an+=，因此數列{an}的通項公式為an=.

破解2 ?設an+1+p=3（an+p），即an+1=3an+2p，又an+1=3an+1，所以2p=1，得p=，以下同破解1.

1. 數列1，1，2，2，…的一個通項公式是（ ? ?）

A. ？搖？搖 B.

C. ？搖 D.

2. 已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10等于（ ? ?）

A. 1 ? B. 9 ? C. 10 ? D. 55

3. 設數列{an}滿足an+1=，a2015=2，那么a1等于（ ? ?）

A. - ?B. 2 ? C. ?D. -3

4. 已知數列{an}的通項公式為an=，數列{an}的最大項是（ ? ?）

A. a1 ? B. a2 ? C. a3 ? D. a4

5. 已知數列{an}滿足a1=1，an+1=（n∈N*）.若bn+1=（n-λ）+1，b1=-λ，且數列{bn}是遞增數列，則實數λ的取值范圍為（ ? ?）

A. λ<2 B. λ>3

C. λ>2 D. λ<3

6. 已知數列{an}，滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，則數列{an}的通項公式為_______.

7. 已知數列{an}中，a=1，前n項和Sn=an.

（1）求a2，a3;

（2）求{an}的通項公式.

參考答案

1. D？搖

2. A 因為Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，所以S1=1.令m=1得Sn+1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=1，即當n≥1時，an+1=1，所以a10=1，故答案選A.

3. A ? ?4. D？搖

5. A ?根據an+1=，得=+1，所以+1=2+1. 又a1=1，所以+1=+12n-1=2n，所以bn+1=（n-λ）2n，所以bn+1-bn=（n-λ）2n-（n-1-λ）2n-1=（n-λ+1）2n-1>0，所以n-λ+1>0.又n∈N*，所以λ<2.

6. an=2，n=1，，n≥2 當n=1時，由已知可得a1=21=2;當n≥2時，a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，故a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1②. 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1，所以an=. 顯然n=1時不滿足上式，所以an=2，n=1，，n≥2.

7. （1）由S2=a2得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3=（a1+a2）=6.

（2）由題設知a1=1. 當n>1時，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，整理得an=an-1. 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1. 將以上n個等式兩端分別相乘，整理后可得an=. 綜上可得，{an}的通項公式為an=.endprint