三向張力索網的動力特性研究

摘 要：三向張力索網是構成環形可展開天線反射器的重要組成部分，研究其動力特性對星載天線的結構優化和熱控制方面都提供有價值的參考。首先根據連續化薄膜理論建立三向張力索網橫向振動的動力學方程，然后采用分離變量法求得其自由振動的理論解，從而得到張力索網的頻率和振型的解析表達式。最后將ANSYS有限元仿真及試驗得出的自由振動的頻率及振型值與理論解比較，得出三者結果都比較接近。

關鍵詞：張力索網；動力特性；連續化薄膜理論；自由振動

引言

星載可展開天線作為衛星信號的接收和發射器，在工作時能否保持良好的狀態關系到衛星通訊能否正常進行，而張力索網結構是天線反射面的主要支撐結構[1，2]。三向索網結構具有型面精度高等優點，是星載可展開天線常用的張力索網形式，且因芳綸纖維材料受溫度影響小、抗腐蝕、自重輕、高強度等優點，所以在太空環境中具有廣泛的應用。文獻[3]分別采用連續化薄膜理論和離散化非線性有限元理論對索網結構作對比計算分析。文獻[4]采用子空間迭代法研究索網結構的頻率分布特性及振型情況，同時考慮幾何非線性對結構應力剛度的影響。文中首先采用連續化薄膜d方法建立單層平面索網結構的線性振動平衡方程，然后通過分離變量法推導出結構頻率和振型的近似解析表達式。結合ANSYS仿真及試驗分析驗證理論解的正確性，為索網結構在太空環境中得到廣泛應用提供前期的理論基礎。

1 張力索網振動平衡方程

如圖1所示的直徑為 三向圓形張力索網結構，為研究其動力特性，文章可做如下假設：

（1）索網為一連續體；（2）索是理想柔性的，只能承受拉力；（3）索網是小垂度的，且結構只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）索網材料滿足虎克定律。

在圓形索網中心O點建立Oxyz坐標系、Ox1y1z坐標系、Ox2y2z坐標系，z軸為索網中心O點的法線。根據連續性薄膜振動理論可知圓形張力索網的振動平衡方程為：

（1）

其中Hx、Hx1、Hx2分別為x，x1，x2方向上的水平張力初值，M為單位面積質量，W（x，y，t）為圓形索網的法向位移。

由Oxyz坐標系分別逆時針旋轉60°和120°得到Ox1y1z坐標系和Ox2y2z坐標系，根據直角坐標變換公式可得：

（2） （3）

由此可求得：

（4）

（5）

代入方程（1），可設Hx=Hx1=Hx2=H0得：

（6）

采用極坐標變換得：

（7）

式中 。

采用分離變量法，設 代入方程（7）得：

（8）

（9）

求解方程（8）為：

（10）

設 代入方程（9）可得：

（11）

（12）

式中？姿=■，求方程（11）的解為：

（13）

由邊界條件知？漬（0）=？漬（2？仔）=0，所以n為整數。

方程（12）是n階貝塞爾方程，其解為：

（14）

由|R（0）|<+∞知A4=0，且由邊界條件R（■）=0可知：

Jn（■）=0 （15）

以？滋■■表示Jn（x）=0的第m個正零點，即：

？滋■■=■？姿■■ （16）

求其固有頻率和振型為：

（17）

（18）

可得三向張力索網的自由振動的通解為：

（19）

式中系數Cmn、？茁、？茲可根據初始條件求出。

2 張力索網仿真及試驗分析

采用三向圓形平面索網體系為參考物，其直徑l=440mm，各向索截面直徑d=1mm，初始張力T=10.4N，間距為40.8mm。索網單位面積質量M=52.2434×10-3kg/m2，索網各方向水平張力初值H0=10.4N/0.0408m=254.9N/m。

通過脈沖激勵方式，采集三向張力索網25個測點試驗數據進行模態辨識，得到張力索網結構的固有頻率和振型。選擇其中非節點測點數據進行頻譜分析如圖2所示，其中有個別頻率如48Hz、175Hz和191Hz是固定張力索網的圈框頻率，可以忽略。由于三向張力索網是軸對稱結構，所以其固有頻率會出現重頻現象，可根據對應的振型不同判斷其階數。

為檢驗上述理論解的正確性，可采用ANSYS軟件進行有限元仿真計算。三向張力索網的各階固有頻率及振型的仿真和試驗結果如表1和表2，并與理論解比較。

從表1和表2中可以看出，仿真和試驗結果與理論解誤差均小于5%，所以可以得出理論解是正確的。

3 結束語

（1）文章通過連續性薄膜理論推導出三向張力索網自由振動的動力學方程，并采用分離變量法求出其固有頻率及對應的固有振型的解析表達式。用ANSYS仿真計算及試驗結果與理論解進行比較，結果都非常的接近。這一理論結果對以后研究張力索網的強迫振動響應分析提供重要的參考。（2）文章中未考慮非線性因素影響，而張力索網是柔性體，大變形易產生幾何非線性項的影響。張力索網在振動過程中索力是不斷變化的，從而導致其剛度變化，是屬于非線性硬化剛度體系，其頻率會隨著振幅的增大而增大。

參考文獻

[1]楊東武.星載可展開索網天線結構設計與型面調整[D].西安：西安電子科技大學，2010.

[2]劉麗坤，周志成，鄭鋼鐵，等.大型網狀可展開天線的動力學與控制研究進展[J].中國空間科學技術，2014，2：1-12.

[3]蘇何先.索網結構的計算方法研究[D].昆明：昆明理工大學，2008.

[4]鄭家樹，余志祥.索網結構振動模態特性分析[J].西南交通大學學報，2005，40（1）：58-63.

[5]孫遜，張仁杰.對弦振動方程與薄膜振動方程的探討[J].數學的實踐與認識，2010，40（17）：236-240.

[6]廖敬波，唐光武，孟利波，等.固結拉索的一種近似頻率計算公式[J].振動與沖擊，2013，32（6）：149-151.

[7]劉長江.建筑膜結構非線性振動及其預張力測量理論和試驗研究[D].重慶：重慶大學，2012.

[8]金向魯.懸索結構計算理論[M].杭州：浙江科學出版社，1981.

[9]張渭濱.數學物理方程[M].北京：清華大學出版社，2007.

[10]劉習軍，賈啟芬，張文德.工程振動與測試技術[M].天津：天津大學出版社，2002.

作者簡介：唐光明（1985-），男，碩士研究生。endprint

摘 要：三向張力索網是構成環形可展開天線反射器的重要組成部分，研究其動力特性對星載天線的結構優化和熱控制方面都提供有價值的參考。首先根據連續化薄膜理論建立三向張力索網橫向振動的動力學方程，然后采用分離變量法求得其自由振動的理論解，從而得到張力索網的頻率和振型的解析表達式。最后將ANSYS有限元仿真及試驗得出的自由振動的頻率及振型值與理論解比較，得出三者結果都比較接近。

關鍵詞：張力索網；動力特性；連續化薄膜理論；自由振動

引言

星載可展開天線作為衛星信號的接收和發射器，在工作時能否保持良好的狀態關系到衛星通訊能否正常進行，而張力索網結構是天線反射面的主要支撐結構[1，2]。三向索網結構具有型面精度高等優點，是星載可展開天線常用的張力索網形式，且因芳綸纖維材料受溫度影響小、抗腐蝕、自重輕、高強度等優點，所以在太空環境中具有廣泛的應用。文獻[3]分別采用連續化薄膜理論和離散化非線性有限元理論對索網結構作對比計算分析。文獻[4]采用子空間迭代法研究索網結構的頻率分布特性及振型情況，同時考慮幾何非線性對結構應力剛度的影響。文中首先采用連續化薄膜d方法建立單層平面索網結構的線性振動平衡方程，然后通過分離變量法推導出結構頻率和振型的近似解析表達式。結合ANSYS仿真及試驗分析驗證理論解的正確性，為索網結構在太空環境中得到廣泛應用提供前期的理論基礎。

1 張力索網振動平衡方程

如圖1所示的直徑為 三向圓形張力索網結構，為研究其動力特性，文章可做如下假設：

（1）索網為一連續體；（2）索是理想柔性的，只能承受拉力；（3）索網是小垂度的，且結構只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）索網材料滿足虎克定律。

在圓形索網中心O點建立Oxyz坐標系、Ox1y1z坐標系、Ox2y2z坐標系，z軸為索網中心O點的法線。根據連續性薄膜振動理論可知圓形張力索網的振動平衡方程為：

（1）

其中Hx、Hx1、Hx2分別為x，x1，x2方向上的水平張力初值，M為單位面積質量，W（x，y，t）為圓形索網的法向位移。

由Oxyz坐標系分別逆時針旋轉60°和120°得到Ox1y1z坐標系和Ox2y2z坐標系，根據直角坐標變換公式可得：

（2） （3）

由此可求得：

（4）

（5）

代入方程（1），可設Hx=Hx1=Hx2=H0得：

（6）

采用極坐標變換得：

（7）

式中 。

采用分離變量法，設 代入方程（7）得：

（8）

（9）

求解方程（8）為：

（10）

設 代入方程（9）可得：

（11）

（12）

式中？姿=■，求方程（11）的解為：

（13）

由邊界條件知？漬（0）=？漬（2？仔）=0，所以n為整數。

方程（12）是n階貝塞爾方程，其解為：

（14）

由|R（0）|<+∞知A4=0，且由邊界條件R（■）=0可知：

Jn（■）=0 （15）

以？滋■■表示Jn（x）=0的第m個正零點，即：

？滋■■=■？姿■■ （16）

求其固有頻率和振型為：

（17）

（18）

可得三向張力索網的自由振動的通解為：

（19）

式中系數Cmn、？茁、？茲可根據初始條件求出。

2 張力索網仿真及試驗分析

采用三向圓形平面索網體系為參考物，其直徑l=440mm，各向索截面直徑d=1mm，初始張力T=10.4N，間距為40.8mm。索網單位面積質量M=52.2434×10-3kg/m2，索網各方向水平張力初值H0=10.4N/0.0408m=254.9N/m。

通過脈沖激勵方式，采集三向張力索網25個測點試驗數據進行模態辨識，得到張力索網結構的固有頻率和振型。選擇其中非節點測點數據進行頻譜分析如圖2所示，其中有個別頻率如48Hz、175Hz和191Hz是固定張力索網的圈框頻率，可以忽略。由于三向張力索網是軸對稱結構，所以其固有頻率會出現重頻現象，可根據對應的振型不同判斷其階數。

為檢驗上述理論解的正確性，可采用ANSYS軟件進行有限元仿真計算。三向張力索網的各階固有頻率及振型的仿真和試驗結果如表1和表2，并與理論解比較。

從表1和表2中可以看出，仿真和試驗結果與理論解誤差均小于5%，所以可以得出理論解是正確的。

3 結束語

（1）文章通過連續性薄膜理論推導出三向張力索網自由振動的動力學方程，并采用分離變量法求出其固有頻率及對應的固有振型的解析表達式。用ANSYS仿真計算及試驗結果與理論解進行比較，結果都非常的接近。這一理論結果對以后研究張力索網的強迫振動響應分析提供重要的參考。（2）文章中未考慮非線性因素影響，而張力索網是柔性體，大變形易產生幾何非線性項的影響。張力索網在振動過程中索力是不斷變化的，從而導致其剛度變化，是屬于非線性硬化剛度體系，其頻率會隨著振幅的增大而增大。

參考文獻

[1]楊東武.星載可展開索網天線結構設計與型面調整[D].西安：西安電子科技大學，2010.

[2]劉麗坤，周志成，鄭鋼鐵，等.大型網狀可展開天線的動力學與控制研究進展[J].中國空間科學技術，2014，2：1-12.

[3]蘇何先.索網結構的計算方法研究[D].昆明：昆明理工大學，2008.

[4]鄭家樹，余志祥.索網結構振動模態特性分析[J].西南交通大學學報，2005，40（1）：58-63.

[5]孫遜，張仁杰.對弦振動方程與薄膜振動方程的探討[J].數學的實踐與認識，2010，40（17）：236-240.

[6]廖敬波，唐光武，孟利波，等.固結拉索的一種近似頻率計算公式[J].振動與沖擊，2013，32（6）：149-151.

[7]劉長江.建筑膜結構非線性振動及其預張力測量理論和試驗研究[D].重慶：重慶大學，2012.

[8]金向魯.懸索結構計算理論[M].杭州：浙江科學出版社，1981.

[9]張渭濱.數學物理方程[M].北京：清華大學出版社，2007.

[10]劉習軍，賈啟芬，張文德.工程振動與測試技術[M].天津：天津大學出版社，2002.

作者簡介：唐光明（1985-），男，碩士研究生。endprint

摘 要：三向張力索網是構成環形可展開天線反射器的重要組成部分，研究其動力特性對星載天線的結構優化和熱控制方面都提供有價值的參考。首先根據連續化薄膜理論建立三向張力索網橫向振動的動力學方程，然后采用分離變量法求得其自由振動的理論解，從而得到張力索網的頻率和振型的解析表達式。最后將ANSYS有限元仿真及試驗得出的自由振動的頻率及振型值與理論解比較，得出三者結果都比較接近。

關鍵詞：張力索網；動力特性；連續化薄膜理論；自由振動

引言

星載可展開天線作為衛星信號的接收和發射器，在工作時能否保持良好的狀態關系到衛星通訊能否正常進行，而張力索網結構是天線反射面的主要支撐結構[1，2]。三向索網結構具有型面精度高等優點，是星載可展開天線常用的張力索網形式，且因芳綸纖維材料受溫度影響小、抗腐蝕、自重輕、高強度等優點，所以在太空環境中具有廣泛的應用。文獻[3]分別采用連續化薄膜理論和離散化非線性有限元理論對索網結構作對比計算分析。文獻[4]采用子空間迭代法研究索網結構的頻率分布特性及振型情況，同時考慮幾何非線性對結構應力剛度的影響。文中首先采用連續化薄膜d方法建立單層平面索網結構的線性振動平衡方程，然后通過分離變量法推導出結構頻率和振型的近似解析表達式。結合ANSYS仿真及試驗分析驗證理論解的正確性，為索網結構在太空環境中得到廣泛應用提供前期的理論基礎。

1 張力索網振動平衡方程

如圖1所示的直徑為 三向圓形張力索網結構，為研究其動力特性，文章可做如下假設：

（1）索網為一連續體；（2）索是理想柔性的，只能承受拉力；（3）索網是小垂度的，且結構只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）索網材料滿足虎克定律。

在圓形索網中心O點建立Oxyz坐標系、Ox1y1z坐標系、Ox2y2z坐標系，z軸為索網中心O點的法線。根據連續性薄膜振動理論可知圓形張力索網的振動平衡方程為：

（1）

其中Hx、Hx1、Hx2分別為x，x1，x2方向上的水平張力初值，M為單位面積質量，W（x，y，t）為圓形索網的法向位移。

由Oxyz坐標系分別逆時針旋轉60°和120°得到Ox1y1z坐標系和Ox2y2z坐標系，根據直角坐標變換公式可得：

（2） （3）

由此可求得：

（4）

（5）

代入方程（1），可設Hx=Hx1=Hx2=H0得：

（6）

采用極坐標變換得：

（7）

式中 。

采用分離變量法，設 代入方程（7）得：

（8）

（9）

求解方程（8）為：

（10）

設 代入方程（9）可得：

（11）

（12）

式中？姿=■，求方程（11）的解為：

（13）

由邊界條件知？漬（0）=？漬（2？仔）=0，所以n為整數。

方程（12）是n階貝塞爾方程，其解為：

（14）

由|R（0）|<+∞知A4=0，且由邊界條件R（■）=0可知：

Jn（■）=0 （15）

以？滋■■表示Jn（x）=0的第m個正零點，即：

？滋■■=■？姿■■ （16）

求其固有頻率和振型為：

（17）

（18）

可得三向張力索網的自由振動的通解為：

（19）

式中系數Cmn、？茁、？茲可根據初始條件求出。

2 張力索網仿真及試驗分析

采用三向圓形平面索網體系為參考物，其直徑l=440mm，各向索截面直徑d=1mm，初始張力T=10.4N，間距為40.8mm。索網單位面積質量M=52.2434×10-3kg/m2，索網各方向水平張力初值H0=10.4N/0.0408m=254.9N/m。

通過脈沖激勵方式，采集三向張力索網25個測點試驗數據進行模態辨識，得到張力索網結構的固有頻率和振型。選擇其中非節點測點數據進行頻譜分析如圖2所示，其中有個別頻率如48Hz、175Hz和191Hz是固定張力索網的圈框頻率，可以忽略。由于三向張力索網是軸對稱結構，所以其固有頻率會出現重頻現象，可根據對應的振型不同判斷其階數。

為檢驗上述理論解的正確性，可采用ANSYS軟件進行有限元仿真計算。三向張力索網的各階固有頻率及振型的仿真和試驗結果如表1和表2，并與理論解比較。

從表1和表2中可以看出，仿真和試驗結果與理論解誤差均小于5%，所以可以得出理論解是正確的。

3 結束語

（1）文章通過連續性薄膜理論推導出三向張力索網自由振動的動力學方程，并采用分離變量法求出其固有頻率及對應的固有振型的解析表達式。用ANSYS仿真計算及試驗結果與理論解進行比較，結果都非常的接近。這一理論結果對以后研究張力索網的強迫振動響應分析提供重要的參考。（2）文章中未考慮非線性因素影響，而張力索網是柔性體，大變形易產生幾何非線性項的影響。張力索網在振動過程中索力是不斷變化的，從而導致其剛度變化，是屬于非線性硬化剛度體系，其頻率會隨著振幅的增大而增大。

參考文獻

[1]楊東武.星載可展開索網天線結構設計與型面調整[D].西安：西安電子科技大學，2010.

[2]劉麗坤，周志成，鄭鋼鐵，等.大型網狀可展開天線的動力學與控制研究進展[J].中國空間科學技術，2014，2：1-12.

[3]蘇何先.索網結構的計算方法研究[D].昆明：昆明理工大學，2008.

[4]鄭家樹，余志祥.索網結構振動模態特性分析[J].西南交通大學學報，2005，40（1）：58-63.

[5]孫遜，張仁杰.對弦振動方程與薄膜振動方程的探討[J].數學的實踐與認識，2010，40（17）：236-240.

[6]廖敬波，唐光武，孟利波，等.固結拉索的一種近似頻率計算公式[J].振動與沖擊，2013，32（6）：149-151.

[7]劉長江.建筑膜結構非線性振動及其預張力測量理論和試驗研究[D].重慶：重慶大學，2012.

[8]金向魯.懸索結構計算理論[M].杭州：浙江科學出版社，1981.

[9]張渭濱.數學物理方程[M].北京：清華大學出版社，2007.

[10]劉習軍，賈啟芬，張文德.工程振動與測試技術[M].天津：天津大學出版社，2002.

作者簡介：唐光明（1985-），男，碩士研究生。endprint