高階疊層漸近相位基函數結合快速多級子分析電大物體散射特性

李敏,單士娟,沈微微

摘 ?要： 由入射波與面電流的關系，引出了漸近相位（AP）在高階疊層基函數（HO?RWG）中的應用，并運用到矩量法（MOM）中，與快速多級子方法（MLFMA）結合，分析了電大尺寸復雜目標的電磁散射特性。與高階疊層基函數和零階相位基函數（AP?CRWG）相比，在相同的計算精度下，都可以大大減少未知量數量，從而可以節省大量內存和計算時間。計算實例表明，該方法有較高的精確性和有效性。

關鍵字： 漸近相位； 高階疊層基函數； 零階相位基函數； 快速多級子方法； 電磁散射

中圖分類號： TN710?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2014）23?0139?03

Analysis on electromagnetic scattering features of big objects in combination with MLFMA and higher?order hierarchical asymptotic phase basis functions

LI Min， SHAN Shi?juan， SHEN Wei?wei

（Suqian College， Suqian 223800， China）

Abstract： In this paper， since the relations of the incident wave and surface?current， the application of asymptotic phase （AP） in the higher?order hierarchical basis functions （HO?RWG） is derived， and applied in method of moment （MOM）. The electromagnetic scattering features of electrical?large targets are analysed in combination with multilevel fast multipole algorithm （MLFMA）. Compared with the higher?order hierarchical basis functions and zero?order phase basis functions （AP?CRWG）， the unknown quantity in this method can be cut off more in the same computational precision Thereby， much of memory and time can be saved. Numerical examples in radar cross section calculation demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method.

Keyword： asymptotic phase； higher?order hierarchical basis function； zero?order phasic basis function； multilevel fast multipole algorithm； electromagnetic scattering

0 ?引 ?言

在運用MLFMA分析三維電大尺寸時，通常選用平面RWG基作為矩量法的基函數，通常會產生大量未知量，運用高階的基函數可大量減少未知量，與低階矩量法（低階曲面擬合、低階基函數）相比，高階矩量法（高階曲面擬合、高階基函數）可采用較少的未知量而獲得更高精度的計算結果。高階基函數包括插值基函數[1]和疊層基函數[2]。隨著階數的升高，插值型雖然計算精度高，但是阻抗矩陣計算的復雜度也越高。疊層型具有自適應性，高一階的基函數包含低一階的基函數，既能保證求解精度，也能控制阻抗矩陣計算復雜性。

從面電流與入射波的關系入手，引進相位因子，目標表面上的任意點所產生的面電流相位與這一點的入射波相位有密切的關系。用來逼近目標面電流[J（r）]的基函數，這樣就可以減少基函數的個數，使剖分尺寸變大，從而大量減少未知量。因此引進漸近相位[3?4]結合高階疊層基函數[5]，形成一種新的基函數，稱為高階疊層漸近相位基函數，這樣形成的基函數不但含有二者原有的優勢，而且使得剖分尺寸更大，更大的減少未知量個數。

為了計算電大尺寸目標散射問題，將這一方法再結合多層快速多級子方法（MLFMA），加大了剖分尺寸，將可以進一步計算更大尺寸的物體，而且由于高階基函數的高精確性，所以這種新的方法用來可以分析電大甚至電特大復雜物體的表面散射特性。計算結果表明，該方法在內存、時間以及收斂步數上，都要比零階的相位基函數以及高階疊層基函數有很大的優勢。

1 ?基本原理

1.1 ?理想導體表面電磁場積分方程

從麥克斯韋方程組出發，根據理想導體表面邊界條件，可以得到：

電場積分方程（EFIE）表示為：

[t?Ei（r）=-jωμ4πSt?G（r，r）?J（r）dS，r∈S] （1）

式中：[Ei]為入射電場；[ω]為角頻率；[μ]為自由空間磁導率；[t]為切向單位矢量；[J]為理想導體表面電流密度；[G]為自由空間并矢格林函數；[r]為場點；[r]為源點。endprint

磁場積分方程（MFIE）表示為：

[n×Hi（r）=J（r）-14πn×?×Sg（r，r）dS，r∈S] （2）

式中：[Hi]為入射磁場；[n]為外法線方向；[g（r，r）]為自由空間標量格林函數。

混合場積分方程（CFIE）[6]則為：

[αηEFIE+（1-α）MFIE] （3）

1.2 ?漸近相位

考慮到理想導電體目標面電流與入射波的關系，將PEC表面的感應電流的相位和振幅分開考慮。在自由空間中，PEC表面的入射波切向分量必有行波因子。即入射電通切向分量的相位可表示為：

[Dinct（r）r∈PEC?e-jki?r] （4）

由理想導電體PEC表面的邊界條件：

[Dt（r）r∈PEC=Dinct（r）r∈PEC+Dscat（r）r∈PEC≡0] （5）

得到，沿著PEC表面的散射電通切向分量也有同樣的相位：[Dscat（r）r∈PEC?e-jki?r。]所以，電通的切向分量以及散度也含有[e-jki?r。]由：

[?2tρs+k2ρs=?t??Dt?n] （6）

[?t?J=jωρs] （7）

可知，[ρs（r）?e-jki?r，]從而[J（r）?e-jki?r，]即[J（r）=j（r）e-jki?r，]其中幅度項可用傳統基函數展開。

1.3 ?高階疊層矢量基函數

不同階的疊層型基函數之間具有相容性，即低一階的基函數構成高一階的基函數的一個子集，即該基函數具有疊層特性。根據R.D.Graglia在文獻[2]中提出的用于積分方程的散度共形基函數和應用于有限元中的旋度共形基函數的關系：

[fβ（r）=Wβ（r）×n， β=1，2，3] （8）

式中：[fβ]為散度共形矢量基函數；[Wβ]為旋度共形矢量基函數；[n]為單元上的法向量。

[?ξj=n×ΙiJ] （9）

[?ξk=n×（Ιj-Ιi）J] （10）

式中：[J]為雅可比系數，[Ιi，Ιj（i，j=1，2，3，i≠j）]分別表示三條邊的切向量。推導過程可參照文獻，本文主要針對1.5階的基函數，下面給出高階疊層散度共形基函數1.5階的表達式[7]：

[fe1=1J（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （11）

[fe2=1J（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （12）

[fe3=1J（ξ1Ι2-ξ2Ι1）] （13）

[fe4=1J（ξ2-ξ3）（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （14）

[fe5=1J（ξ3-ξ1）（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （15）

[fe6=1J（ξ1-ξ2）（ξ1Ι2-ξ2Ι1）] （16）

[fe7=1Jξ1（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （17）

[fe8=1Jξ2（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （18）

將1.2節中的漸近相位引入到此高階基函數中，形成的面電流可寫成：

[J（r）=n=1NanFn（r）=n=1Nanfn（r）e-jki?r]

其中[fn（r）]即為上面的高階疊層散度共形基函數。將此電流展開式代入到積分方程中，并用伽略金匹配形成最終的阻抗矩陣方程形式：

[Zmn=SSG（r，r）fm（r）?fn（r）-1k2??fm（r）??fn（r）-jki?fn（r）??fm（r）+jki?fm（r）??fn（r）+ ki?fm（r）ki?fn（r）ejki·（r-r）dSdS] （19）

2 ?應用實例與數值計算結果

2.1 ?理想導體球的雙站RCS曲線

為了分析高階漸近相位基函數（AP?HORWG）的高效性和精確性，首先以一個直徑為[15λ]的導體球為例，采用混合積分方程（CFIE），入射頻率為300 MHz。圖1給出了高階疊層基函數（HORWG）、AP?HORWG結合MLFMA的雙站RCS曲線圖，并與Mie級數結果吻合。HORWG的MLFMA最細層設為[0.8λ，]由于AP?HORWG的未知量太少，可用純矩量法計算。由表1可知，相對于HO?RWG，AP?HORWG可以大量減少未知量，從而節省了大量的內存（以下表中的剖分尺寸均為在保證其同樣計算精度下的最大剖分尺寸）。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t1.tif>；

圖1 直徑為15[λ]的理想導體球E面雙站RCS曲線

表1 分析直徑[15λ]的導體球的散射結果比較

[基函數＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時間 /s＼&；求解

時間 /s＼&；迭代

步數＼&；內存

/MB＼&；HORWG＼&；[0.35λ]＼&；60 980＼&；808.3＼&；199.5＼&；9＼&；882＼&；AP?HORWG＼&；[2.0λ]＼&；1 700＼&；1 939.3＼&；1.56＼&；4＼&；22＼&；]

2.2 ?理想導體立方體的雙站RCS曲線

以邊長為[15λ]的導體立方體為例，采用CFIE，頻率為300 MHz，入射角為60°斜入射。圖2給出了高階疊層相位基函數（AP?HORWG）、零階相位基函數（AP?CRWG）結合MLFMA的雙站RCS曲線，并與平面RWG的MLFMA吻合很好。平面RWG的MLFMA的最細層尺寸設為[0.235λ，]而由于含有相位的基函數剖分加粗，所以其他兩者的MLFMA最細層均設為[1λ。]由表2可知，對于AP?CRWG和平面RWG，AP?HORWG可以減少更多的未知量，達到時間和內存的節省。endprint

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t2.tif>；

圖2 邊長為[15λ]的理想立方體[E]面雙站RCS曲線

2.3 ?目標為飛機

為分析復雜物體的散射特性，以某簡單飛機模型為例，說明高階疊層相位基函數對分析復雜目標散射的高效性以及精確性。圖3給出了目標的幾何模型。圖4給出了與MLFMA結合的雙站RCS曲線圖，并與RWG的MLFMA結果吻合。飛機尺寸為10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波為垂直入射，頻率為600 MHz。平面RWG的MLFMA最細層尺寸為[0.313λ，]其他兩者均設為0.8[λ。]由表3可知，對于實際復雜目標，AP?HORWG有明顯優勢。

表2 分析邊長15[λ]的立方體的散射結果比較

[基函數＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時間 /s＼&；求解

時間 /s＼&；迭代

步數＼&；內存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t3.tif>；

圖3 飛機的幾何模型

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t4.tif>；

圖4 飛機模型的E面雙站RCS曲線

表3 分析飛機模型的散射結果比較

[基函數＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充時

間 /s＼&；求解時

間 /s＼&；迭代

步數＼&；內存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3 ?結 ?論

本文將漸近相位引進高階疊層基函數，綜合了二者在矩量法中各自的優勢，并結合MLFMA來分析電大物體散射特性。與原有的高階基函數，以及零階相位基函數相比，高階相位基函數可以剖分的更粗，在相同計算精度下，可以大量減少未知量，從而節省大量時間和內存，解決了單機計算大未知量困難的瓶頸。結合MLFMA可以提高計算能力，但剖分尺寸加大導致了MLFMA最細層尺寸的變大，導致模式數增加，從而加大了內存消耗，下一步需找到一種方法來有效地解決此問題。

參考文獻

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

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[4] YAN Su， HE Shi?quan， NIE Zai?ping， et al. Calculating the wide band responses from metallic objects by employing the phase extracted basis functions [C]// Antennas and Propagation Society International Symposium. San Diego， CA： IEEE， 2008： 1?4.

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[7] 陳明，丁大志，樊振宏，等.一種新的高階疊層基函數分析電大物體散射特性[J].南京理工大學學報，2008，32（5）：590?593.endprint

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t2.tif>；

圖2 邊長為[15λ]的理想立方體[E]面雙站RCS曲線

2.3 ?目標為飛機

為分析復雜物體的散射特性，以某簡單飛機模型為例，說明高階疊層相位基函數對分析復雜目標散射的高效性以及精確性。圖3給出了目標的幾何模型。圖4給出了與MLFMA結合的雙站RCS曲線圖，并與RWG的MLFMA結果吻合。飛機尺寸為10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波為垂直入射，頻率為600 MHz。平面RWG的MLFMA最細層尺寸為[0.313λ，]其他兩者均設為0.8[λ。]由表3可知，對于實際復雜目標，AP?HORWG有明顯優勢。

表2 分析邊長15[λ]的立方體的散射結果比較

[基函數＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時間 /s＼&；求解

時間 /s＼&；迭代

步數＼&；內存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

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圖3 飛機的幾何模型

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t4.tif>；

圖4 飛機模型的E面雙站RCS曲線

表3 分析飛機模型的散射結果比較

[基函數＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充時

間 /s＼&；求解時

間 /s＼&；迭代

步數＼&；內存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3 ?結 ?論

本文將漸近相位引進高階疊層基函數，綜合了二者在矩量法中各自的優勢，并結合MLFMA來分析電大物體散射特性。與原有的高階基函數，以及零階相位基函數相比，高階相位基函數可以剖分的更粗，在相同計算精度下，可以大量減少未知量，從而節省大量時間和內存，解決了單機計算大未知量困難的瓶頸。結合MLFMA可以提高計算能力，但剖分尺寸加大導致了MLFMA最細層尺寸的變大，導致模式數增加，從而加大了內存消耗，下一步需找到一種方法來有效地解決此問題。

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[7] 陳明，丁大志，樊振宏，等.一種新的高階疊層基函數分析電大物體散射特性[J].南京理工大學學報，2008，32（5）：590?593.endprint

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圖2 邊長為[15λ]的理想立方體[E]面雙站RCS曲線

2.3 ?目標為飛機

為分析復雜物體的散射特性，以某簡單飛機模型為例，說明高階疊層相位基函數對分析復雜目標散射的高效性以及精確性。圖3給出了目標的幾何模型。圖4給出了與MLFMA結合的雙站RCS曲線圖，并與RWG的MLFMA結果吻合。飛機尺寸為10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波為垂直入射，頻率為600 MHz。平面RWG的MLFMA最細層尺寸為[0.313λ，]其他兩者均設為0.8[λ。]由表3可知，對于實際復雜目標，AP?HORWG有明顯優勢。

表2 分析邊長15[λ]的立方體的散射結果比較

[基函數＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

時間 /s＼&；求解

時間 /s＼&；迭代

步數＼&；內存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t3.tif>；

圖3 飛機的幾何模型

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t4.tif>；

圖4 飛機模型的E面雙站RCS曲線

表3 分析飛機模型的散射結果比較

[基函數＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充時

間 /s＼&；求解時

間 /s＼&；迭代

步數＼&；內存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3 ?結 ?論

本文將漸近相位引進高階疊層基函數，綜合了二者在矩量法中各自的優勢，并結合MLFMA來分析電大物體散射特性。與原有的高階基函數，以及零階相位基函數相比，高階相位基函數可以剖分的更粗，在相同計算精度下，可以大量減少未知量，從而節省大量時間和內存，解決了單機計算大未知量困難的瓶頸。結合MLFMA可以提高計算能力，但剖分尺寸加大導致了MLFMA最細層尺寸的變大，導致模式數增加，從而加大了內存消耗，下一步需找到一種方法來有效地解決此問題。

參考文獻

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

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[7] 陳明，丁大志，樊振宏，等.一種新的高階疊層基函數分析電大物體散射特性[J].南京理工大學學報，2008，32（5）：590?593.endprint