素?cái)?shù)與孿生素?cái)?shù)邏輯解的幾個(gè)方法初探

葉 笛

（江蘇省建湖縣岡東供銷社，江蘇 建湖 224732）

0 引言

素?cái)?shù)的混堆式及縱堆式合因子解法，側(cè)重于對(duì)合數(shù)的計(jì)算過程，并由合數(shù)成因條件揭示真正的素因素（素因子）為4 大尾數(shù)——1，3，7，9 的奇數(shù)，即真正決定素?cái)?shù)生成的內(nèi)在條件是4 個(gè)特定的尾數(shù)值——1，3，7，9。只有這些尾數(shù)加上了某個(gè)10進(jìn)位數(shù)后，才有可能成為素?cái)?shù)。那么，素?cái)?shù)及孿生素?cái)?shù)公式都離不開這4 大因子——1，3，7，9 尾數(shù)。

1 素?cái)?shù)的兩種合因子互積計(jì)算法

1.1 混堆式合因子互積式

1.1.1 基本定義

合數(shù)（不含5 尾合數(shù)）一般是由4 個(gè)不同尾數(shù)的小質(zhì)數(shù)互積構(gòu)成的，只要按小質(zhì)數(shù)量值大小順序互積，就可得到有順序排列的合數(shù)，這里的小質(zhì)數(shù)稱為合因子數(shù)。而在一定量值范圍內(nèi)解得合數(shù)，就可解得該值區(qū)內(nèi)所有的質(zhì)數(shù)。這一方法主要用于數(shù)值區(qū)間分解，對(duì)于個(gè)值計(jì)算比較費(fèi)力，但作為一種方法是存在的。

1.1.2 公式運(yùn)用

第1 步：設(shè)立計(jì)算對(duì)象及數(shù)值區(qū)間m 值。第2 步：確定該值區(qū)最小合因子的積值。第3 步：計(jì)算由小到大排列的小質(zhì)數(shù)互積因子值，直至到達(dá)m 值，即獲得該值區(qū)內(nèi)全部合數(shù)。第4步：列出m 值區(qū)內(nèi)4 大尾數(shù)—1，3，7，9 質(zhì)因子數(shù)。第5 步：在質(zhì)因子數(shù)中減去合數(shù)即得素?cái)?shù)。

例1：計(jì)算m=101～300 內(nèi)的全部素?cái)?shù)。

第1 步：計(jì)算出m=101～300 內(nèi)數(shù)值的最小質(zhì)數(shù)積，即3×37，同理，按量值大小逐次算出小質(zhì)數(shù)間的互積值合數(shù)。即：

第2 步：將m=101～300 內(nèi)質(zhì)因子數(shù)——1，3，7，9 結(jié)尾的奇數(shù)按順序列出，并標(biāo)注合數(shù)值。

第3 步：將m=101～300 內(nèi)沒有小質(zhì)數(shù)互積因子的數(shù)列出，即為所解質(zhì)數(shù)：101，103，107，109，113，127，131，137，139，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199，211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293

1.2 縱堆式合因子互積式

1.2.1 基本定義

指在計(jì)算合數(shù)過程中，只按照某個(gè)相同尾數(shù)值內(nèi)進(jìn)行縱向的合因子互積計(jì)算，而不考慮橫向的其他尾數(shù)值的因子關(guān)系。此法可提供一種清晰的邏輯化途徑，它一般適宜小值區(qū)m 的全解，對(duì)大值區(qū)m 全解需取出全部可倍的合因子值，計(jì)算量很大。

1.2.2 公式運(yùn)用

第1 步：設(shè)立計(jì)算對(duì)象及值區(qū)m 的值。第2 步：列出質(zhì)因子數(shù)。第3 步：計(jì)算值，保證得到一個(gè)m 值內(nèi)最大合因子數(shù)y（y2≤m）。第4 步：分別計(jì)算4 個(gè)質(zhì)因子數(shù)——1，3，7，9中合因子數(shù)——3，7，11……y 的一個(gè)合數(shù)位。第5 步：以已取得的3，7，11……y 的合數(shù)位為準(zhǔn)，分別在同一尾數(shù)內(nèi)縱向向上、向下數(shù)出某個(gè)合數(shù)值的合數(shù)位。例如：11 的合數(shù)，則數(shù)出上、下各第11 位的那個(gè)數(shù)，且連續(xù)不斷，這些數(shù)即是11 的合數(shù)（此法又稱數(shù)位法）。第6 步：合數(shù)取得后，剩下的即為質(zhì)數(shù)。

例2：求解：m=1932749～1933000 內(nèi)的質(zhì)數(shù)（隨機(jī)取值，本例解未作全解，僅從第一合因子3 解至11 的合數(shù)位，因具體計(jì)算過于復(fù)雜）。

第1 步：根據(jù)m 值列出1，3，7，9 尾數(shù)值作質(zhì)因子數(shù)，并分別計(jì)算1，3，7，9 尾數(shù)中3，7，11 的3 個(gè)整除位作相應(yīng)的合數(shù)位（其中3 的合數(shù)用“O”表示，7 的合數(shù)用“——”表示，11 的合數(shù)用“﹏﹏”表示）。

第2 步：在“3”的1，3，7，9 尾數(shù)的合數(shù)位上，分別縱向向上、向下每隔3 位即得一個(gè)3 的合數(shù)。同理，在“7”“11”的1，3，7，9 尾數(shù)的合數(shù)位上分別向上、向下間隔7 或11 位即可得到7 或11 的合數(shù)。依此類推，可繼續(xù)以此法得到13，17，19，23，29……小質(zhì)數(shù)的合數(shù)（凡數(shù)位法所得合數(shù)用“√”表示）。

第3 步：余下的質(zhì)因子1，3，7，9 結(jié)尾的大奇數(shù)，一般情況下則可采用現(xiàn)行素?cái)?shù)公式求得（數(shù)位法也可直接作公式用，只是對(duì)個(gè)值計(jì)算太難）。

1.3 簡單結(jié)論

由2 個(gè)新的素?cái)?shù)計(jì)算方法可知：質(zhì)因子數(shù)是固定的，每10位數(shù)里產(chǎn)生4 個(gè)，即縱向的每個(gè)尾因子都以均勻的十進(jìn)位方式不斷生成，而阻止它生成的條件只有一個(gè)合數(shù)，而合數(shù)是小質(zhì)數(shù)互積堆壘而成的，它的進(jìn)位是不均勻的，雖然各尾數(shù)擁有同樣的合因子，但位置卻不同，這造成了不同尾類間的差異性，由于小質(zhì)數(shù)間的頻率高是主宰合數(shù)生成的主要因素，就一個(gè)大質(zhì)數(shù)而言對(duì)某一數(shù)段內(nèi)質(zhì)數(shù)分布的影響是微弱的、不連續(xù)的。那么光憑小質(zhì)數(shù)互積數(shù)是永遠(yuǎn)無法達(dá)成10 進(jìn)位的均勻性分布要求的，所以質(zhì)數(shù)是無窮大的、抽象化的。但由縱堆式合因子法可知：在同一個(gè)10 進(jìn)位的4 大尾數(shù)中，它們擁有的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)總體上是相等的，其少數(shù)誤差是由首末位置等因素造成的。原因是它們擁有相同的合因子數(shù)。顯示了素?cái)?shù)總量分布的潛規(guī)則——對(duì)稱性、均勻性。假如合數(shù)分布無位置差異，可斷言，大多數(shù)的素?cái)?shù)都會(huì)以孿生方式顯現(xiàn)的（除了3，7 尾數(shù)間）。

2 孿生素?cái)?shù)的兩種計(jì)算方法

2.1 剩位法計(jì)算公式

2.1.1 基本定義

根據(jù)質(zhì)因子——1，3，7，9 的內(nèi)在結(jié)構(gòu)可以看出，它們相互間先天性存在3 個(gè)孿生因子，即表示為S1、3S7、9S9、1三大類，如非合數(shù)干擾，則此3 類可一直存在下去。那么基于此，在任一類孿生素?cái)?shù)中，先算出最大可能存在的孿生素?cái)?shù)值，然后以此為條件建立計(jì)算方法。具體為：分別在1，3，7，9 尾位上計(jì)算最大可能出現(xiàn)的3 的合數(shù)值，因在每一孿生位置上3 的合數(shù)位是挫開的，即表明縱向3 個(gè)連續(xù)位置中只有1 個(gè)剩余位，且每隔3位都是這樣的，用口訣表示這個(gè)剩位為1，7 尾前，3，9 尾后和9前1 后。表明S1、3S7、9中1，7 尾中被3 整除數(shù)的前一位是剩位，3，9 尾中被3 整除數(shù)的后一位是剩位，在S9、1中剩位是9 前1后。因此這個(gè)剩位才是孿生的，圍繞這才可能算出某值區(qū)的孿生素?cái)?shù)。

2.1.2 公式運(yùn)用

第1 步：設(shè)立計(jì)算對(duì)象及數(shù)值區(qū)間m 值。計(jì)算m 決定的最大合因子y（y 指m 值區(qū)可容納的最大合數(shù)積因子：y≤）。

第2 步：將質(zhì)因子數(shù)按孿生尾數(shù)順序排列S1、3S7、9S9、1。

第3 步：分別將S1、3S7、9S9、1的3 的“剩位”確立下來。

第4 步：逐次算出7，11，13……y 在“剩位”上的合數(shù)項(xiàng)。

第5 步：得到最后的“剩位”即為孿生素?cái)?shù)。

例3：解m=101～300 的孿生素?cái)?shù)。

②列出3 類剩位孿生因子項(xiàng)（用“____”表示）。

③列出剩位孿生因子合數(shù)項(xiàng)（合數(shù)用“√”表示）。

從7，11，13 直至17 的合因子數(shù)，分別找出剩位上的一個(gè)合數(shù)值，其中各個(gè)因子項(xiàng)可采用定位關(guān)系取得（對(duì)于同一個(gè)合因子數(shù)，1，3 尾、7，9 尾、9，1 尾間位置是固定的。例如，7 的合因子項(xiàng)1 尾中“161”，由第1 個(gè)1 尾“7”的合數(shù)21，與第1 個(gè)3 尾“7”的合數(shù)63 可知，縱向相差4 位數(shù)，則由此推算本例3 尾中“203”是7 的合數(shù)等）。用定位法解得：1 尾合數(shù)121，161，221；3 尾合數(shù)133，253；7 尾合數(shù)167，287；9 尾合數(shù)119，169，209，259，299。

④m=101～300 的孿生素?cái)?shù)。

2.2 綜合試算式

2.2.1 基本定義

在“剩位法”當(dāng)中全解一個(gè)較大的值的孿生素?cái)?shù)是很難的，要從最小合因子一直解至最大合因子y，為了結(jié)合現(xiàn)行素?cái)?shù)公式優(yōu)點(diǎn)，將兩種方法的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來運(yùn)用。即任何一個(gè)大數(shù)值m，它最易成為小合因子的合數(shù)，只要盡可能將小合因子的合數(shù)去除后，剩下的數(shù)成為質(zhì)數(shù)或?qū)\生質(zhì)數(shù)的可能較大，對(duì)剩下的數(shù)再以現(xiàn)行素?cái)?shù)公式求解即可。

2.2.2 公式運(yùn)用

第1 步：設(shè)立計(jì)算對(duì)象及值區(qū)m 的值。

第2 步：按“3”的剩位口訣，列出剩位孿生因子數(shù)。

第3 步：分別計(jì)算7，11，13 至某個(gè)適宜的合因子為止，并列出去掉的一部分剩位因子。

第4 步：對(duì)最后的剩位因子逐一按現(xiàn)行公式試解。

例4：求解m=80～120 間孿生素?cái)?shù)。

①列出孿生質(zhì)因子數(shù)。

②按3 的剩位口訣，1、7 尾前，3、9 尾后及9 尾前1 尾后得，剩位孿生因子為：89，91，101，103，107，109。

③代入7，去掉一個(gè)合因子項(xiàng)91（89，91）。

④對(duì)余下的101，103，107，109 再按現(xiàn)行素?cái)?shù)公式求解（由于120 的最大合因子就是y=7，故本例已全解，提出此解是針對(duì)大數(shù)值區(qū)而言）。

2.3 簡單結(jié)論

在二公式中，對(duì)孿生素?cái)?shù)起主要作用的是兩點(diǎn)：其一，在1，3，7，9 結(jié)尾的4 大素因子數(shù)中，已構(gòu)成3 個(gè)先天性的孿生因子——S1、3S7、9S9、1。其二，小合因子數(shù)3 的主導(dǎo)合因子作用，因任一相鄰的2 個(gè)孿生因子中，被3 整除的數(shù)是挫開的，這樣每3 位數(shù)中注定有2 位是不能成為孿生因子的，即因“3”的作用，最大孿生素?cái)?shù)總量占m 值的，那么這個(gè)表現(xiàn)在位置上為3 的合數(shù)的“剩位”關(guān)系。確立了“剩位”因子就等于節(jié)約了的計(jì)算總量。由“剩位”特征可知，在任一相鄰2 個(gè)尾數(shù)的孿生因子中不可能出現(xiàn)2 個(gè)及以上的連續(xù)孿生素?cái)?shù)，其最小間距每3 位數(shù)一個(gè)。其次，孿生素?cái)?shù)的變化趨勢(shì)同于素?cái)?shù)的基本趨勢(shì)，因其本質(zhì)上的成因條件是一致的，孿生性只是一般素?cái)?shù)間的分布結(jié)構(gòu)特征，在一般性中具有偶然性，因只有當(dāng)相鄰兩尾素?cái)?shù)間不但擁有相同的合因子數(shù)，其合數(shù)所在位置完全一致時(shí)，才可能保證所有素?cái)?shù)間為孿生素?cái)?shù)。而事實(shí)上只擁有基本一致的合因子數(shù)，而位置都是挫開的，這表明絕大多數(shù)素?cái)?shù)非孿生態(tài)是必然現(xiàn)象。第三，如果使數(shù)值到達(dá)n 值不再產(chǎn)生孿生素?cái)?shù)，它的必要條件是所有除了“3”以后的合數(shù)因子遞進(jìn)位剛好滿足因“3”的剩位留下的間隔為3 的這種遞進(jìn)速度才行，且保持連續(xù)不斷。而已知的7，11，13，17……在小量值里都是定位相關(guān)的，只有出現(xiàn)3 與這些合因子數(shù)具互積關(guān)系時(shí)如：3×7，3×11……才重合。小的合數(shù)因子達(dá)不到每3 位就可干擾一次的速度。而對(duì)于較大的合因子數(shù)，如例2 中，y=1381，這樣的數(shù)要每隔1381 位才會(huì)出現(xiàn)一次，其與3 的間隔更不可能產(chǎn)生持續(xù)的位置平衡。就是說：只要合數(shù)因子總和無法完成每3 位數(shù)且均勻生成一個(gè)合數(shù)的要求，那么孿生素?cái)?shù)就必然不斷生成。第四，就歐拉關(guān)于質(zhì)數(shù)無窮大采用的推定方法提出一點(diǎn)商榷：即，這個(gè)表達(dá)式應(yīng)是遞減式，趨勢(shì)值接近0 而不等于0，屬于發(fā)散的。然而我們知道，0.333……當(dāng)轉(zhuǎn)換成分式和為雖然也是發(fā)散的，卻是一個(gè)有限值，其問題取決于發(fā)散度或發(fā)散率。正如孿生素?cái)?shù)的倒數(shù)和得到一個(gè)常數(shù)一樣。可是在0～1 之間就可分解無窮多個(gè)分?jǐn)?shù)，這意味著有限數(shù)值內(nèi)也可產(chǎn)生無窮個(gè)數(shù)。就質(zhì)數(shù)與孿生質(zhì)數(shù)無窮大證明問題，主要還是從實(shí)際的邏輯條件及性質(zhì)入手，取得一個(gè)一般性證明方法，或理論推定即可。