低復雜度高圍長LDPC二維網格法碼字構造

章雪婷,陳少平,饒文貴

摘? 要： 提出了一種基于二維網格法的低密度奇偶校驗碼（LDPC）構造方法。 該方法對斜率集進行更加嚴格的篩選，利用一組特殊的數列作為斜率子集，該數列中不存在任何三項元素公差相等和任何四項元素公差相等或者成兩倍的情況，從而排除線段構成三角形和四邊形的可能，突破原有圍長8的限制，得到圍長為10的LDPC碼字，顯著提升了誤碼性能。采用該方法得到的碼字校驗矩陣具有準循環特性，能保證較低的編譯碼復雜度。Matlab仿真結果表明，該碼在瀑布區域具有良好的性能，同時具有較好的錯誤平層特性。

關鍵詞： 低密度奇偶校驗碼； 二維網格法； 碼字校驗矩陣； 斜率集篩選

中圖分類號： TN919.3?34??????????????????? 文獻標識碼： A??????????????????????? 文章編號： 1004?373X（2014）23?0075?05

Abstract： A LDPC construction method based on 2D lattice method is proposed in this paper. With the method， a strict selection of slope sets is carried out to avoid the possibility of forming triangle and quadrangle in configuration. As a result， girth?ten LDPC was accomplished to improve performance significantly instead of girth?eight one known as before. Besides， the resul?ting parity?check matrix has the feature of quasi?cyclic permutation， so that encoding and decoding of these codes can be efficiently implemented by using simple shift?registers. The result of simulation with Matlab shows that the proposed code performs excellent in the waterfall region and has good error floor property.

Keywords： LDPC； 2D lattice； codon check matrix； slope set selection

0? 引? 言

LDPC碼字最早由Gallager在1962年提出，因其較低的譯碼復雜度以及逼近香農極限的優異性能受到國內外學者與工業界的關注，廣泛應用于光纖通信，信息存儲以及無線通信系統等各個領域[1?4] 。校驗矩陣的構造和譯碼算法一直都是研究領域的兩大熱點，而降低編譯碼復雜度和提高譯碼性能的關鍵在于校驗矩陣的構造。良好的碼字結構可以大大簡化編碼過程，提高譯碼效率，降低誤碼機率。

LDPC碼構造方式主要分為隨機構造和結構化構造。Mackay和Gallager提出的隨機構造矩陣方法，盡管編碼思想簡單，但碼長較短的碼字容易出現短環從而影響碼字性能，并且存在編碼儲存量大、譯碼復雜度高的缺陷。為了易于硬件實現，專家學者更加關注結構化構造方法，例如利用代數方法提出的基于有限幾何LDPC構造方法[5?6]，碼字具有相對較好的最小距離，并且不包含短環，因而譯碼性能優異，但校驗矩陣的非滿秩特性會造成碼率損失。

準循環矩陣構造方法[7?9]也是一種結構化構造方案，因其較低的編譯碼復雜度和良好的誤碼性能，廣泛應用于多種無線、深空通信標準，但性能曲線中往往易出現較高的差錯平臺，影響整體碼字性能。利用均衡不完全區組設計方法（BIBD）對準循環矩陣進行改進[10]，在構造過程中對斜率集進行巧妙篩選，得到圍長為8的LDPC碼字，有效降低了差錯平臺。基于BIBD的3D網格法，將二維網格擴展到三維網格圖，并在三維網格中截取出[Q]平面，利用[Q]平面上平行循環直線與網格點的對應關系，構造出圍長至少為10的3D?LDPC碼字。該方法有效提升了譯碼性能，但生成矩陣并不是一個稀疏的分塊循環矩陣；采用高斯消元法得到的生成矩陣是一個密集矩陣，導致編碼復雜度較高。

同樣基于二維網格法，本文利用一組特殊的數列作為斜率子集，該數列中不存在任何三項元素公差相等和任何四項元素公差相等或者公差成兩倍的情況，從而使得網格中的線段無法構成三角形和四邊形，得到同樣圍長為10的LDPC碼字。與3D網格法相比，該方法大大降低了編碼復雜度。

文章先介紹基于BIBD的網格構造法，然后介紹基于二維網格法圍長為10的LDPC碼的校驗矩陣構造法并給出復雜度分析，最后給出圍長為10的LDPC碼字在高斯白噪聲（AWGN）信道下的Matlab仿真性能曲線圖，與圍長為8的LDPC和Mackay隨機碼進行比較分析并給出結論。

1? 基于BIBD的網格構造

高圍長準循環LDPC碼字構造方法的主要思想是將有限平面上點與線的對應關系映射到校驗矩陣非零元素的位置上，巧妙構造出了具有良好性能的高碼率圍長為8的LDPC碼字。下面詳細介紹構造方法：

（1） 確定校驗矩陣的結構

確定校驗矩陣[H]的大小[M×N，]行重[r]和列重[m，]使其滿足[M=r×m，][N=r×S，][S]為斜率集中的斜率個數。

（2） 架構點線關系

根據行重[r]和列重[m，]得到長為[r-1]寬為[m-1]的網格，網格上的點集[L]表示為：

[L={（x，y）： 0≤x≤m-1，0≤y≤r-1}]?? （1）

以網格左下角的點為原點建立笛卡爾坐標系，網格長邊對應[y]軸，寬邊對應[x]軸。運用點斜式表示線段，能夠更加直觀的表現出點線關系：

[y=sx+y0modr，?? 0≤s≤r-1，0≤y0≤r-1] （2）

注意，由于網格建立在有限平面內，所以必須對直線進行模處理，使直線成為[（r-1）×（m-1）]域內的線段。

按照斜率大小將線段劃分為[r]組平行線，得到斜率集{0，1，2，…，r-1}，每一組平行線再根據線段與[y]軸截點大小進行升序排列，同時給網格中每個點進行標號：

[i=（r+1）x+y+1，i∈{1，2，…，rm}]?? （3）

（3） 點線關系映射矩陣元素

點對應校驗矩陣[H]的行，線段對應[H]的列，若點[i]位于斜率為[s]截距為[y0]的線段上，那么[Hi，（s·r+y0+1）=1，]其他元素為0。

設定[r=5，][m=3，]構造大小為15×25的校驗矩陣，圖1為相應的網格圖，圖2為平行線段組，即斜率集{0，1，2，3，4}，每一斜率集中的線段由該線段經過的網格點來表示。根據該方法得到的校驗矩陣具有準循環特性，與隨機構造的碼字相比，大大簡化了編碼復雜度。

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圖1 [r=5，][m=3]對應的網格圖

網格構造法的優勢在于能夠巧妙避免校驗矩陣中圍長為4的短環。因為圍長為4的短環對應校驗矩陣中相互連接的兩個校驗點和兩個信息點，這就要求網格上的兩個點同時出現在兩條不同的線段上，根據兩點只能確定一條直線（線段）的定理可知構造得到的校驗矩陣不存在短環。同理，圍長為6的環對應校驗矩陣的三個校驗點和三個信息點，映射為網格上的三條線段和三個點，當這三條線段和三個網格點能夠構成三角形時，說明構造矩陣中存在圍長為6的短環。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼13t2.tif>；

圖2 r=5，m=3構造的斜率集

如果對斜率集進行篩選，得到一組特殊的斜率子集，使相應線段和點無法構成三角形，那么就可以產生圍長為8的LDPC碼字。具體方法如下：

將網格中第[i]條線段表示為：

[yi=y0，i+si?x（modr），i=1，2，3]? （4）

式中：[si]表示斜率；[y0，i]表示截距。

若[y1，][y2，][y3]三條線段構成三角形，將三個頂點分別設為[（x12，y12），][（x23，y23），][（x13，y13），]那么這三個頂點必須滿足以下等式：

[y12=y0，1+s1x12，y12=y0，2+s2x12] （5）

[y13=y0，1+s1x13，y13=y0，3+s3x13] （6）

[y23=y0，2+s2x23，y23=y0，3+s3x23]? （7）

合并式（5）～式（7），化簡得到：

[（s1-s2）x12+（s2-s3）x23+（s3-s1）x13=0] （8）

任意兩個頂點不可能具有相同的橫坐標值，因此，可以假定[x12=0，][x23=1，][x13=2，]不失一般性（任意交換[x12，][x23，][x13]的值，得到的結果相同），式（8）可化簡為：

[s1-s2=s3-s1] （9）

可以看出[s1，][s2，][s3]構成一個等差數列。反之如果斜率子集中任意三個元素無法構成等差數列，那么由該斜率子集構造的網格線段將無法構成三角形，也就說明校驗矩陣內不存在圍長為6的環。數列M2353滿足以上條件，從而得到斜率子集S={0，1，3，4，9，10，12，…}，構造出圍長為8的LDPC碼字（簡稱girth?8），仿真結果[11]顯示Girth?8碼字誤碼性能與Mackay隨機構造的性能相近，并且性能曲線中仍然出現較高的差錯平臺。

2? 基于二維網格法圍長為10的校驗矩陣構造法

2.1? 構造方法介紹

為了優化二維網格法構造的碼字性能，更好地解決差錯平臺問題，在此基礎上，本文對斜率集進一步篩選，避免網格中的線段構成三角形和四邊形，從而構造出圍長為10的LDPC碼字，詳細構造方法如下：

對于正則LDPC而言，當列重大于3時，最小漢明距離會隨著碼長線性增長，同時為了簡化構造過程，規定m=3。

與上述提出的方法相似，假設其中一個四邊形由四條斜率分別為[s1，s2，s3，s4]的線段構成，將該四邊形的四個頂點分別表示為（x12，y12），（x23，y23），（x34，y34），（x14，y14），那么四個頂點滿足以下條件：

[y12=y0，1+s1x12，y14=y0，1+s1x14]?? （10）

[y12=y0，2+s2x12，y23=y0，2+s2x23]?? （11）

[y23=y0，3+s3x23，y34=y0，3+s3x34]?? （12）

[y14=y0，4+s4x14，y34=y0，4+s4x34]?? （13）

將式（10）～式（13）進行合并，化簡得到：

[s1（x12-x14）+s2（x23-x12）+s3（x34-x23）+s4（x14-x34）=0] （14）

將四邊形根據頂點位置分為兩類：

（1） 只有一對頂點橫坐標相同

假設相同的頂點都為[x14，][x23，]則：

① [x23=x14=0，][x12=1，][x34=2，]不失一般性，代入式（14）得到：

[2（s3-s4）+（s1-s2）=0]?? （15）

② [x23=x14=1，][x12=0，][x34=2，]不失一般性，代入式（14）得到：

[（s3-s4）+s2-s1=0] （16）

③ [x23=x14=2，][x12=1，][x34=0，]不失一般性，代入式（14）得到：

[2（s3-s4）+s1-s2=0]? （17）

（2） 兩對頂點橫坐標相同

假設[x23=x14=0，][x12=x34=1，]不失一般性，代入式（14）得到：

[（s3-s4）+s2-s1=0] （18）

從上面兩種情況可以看出：當數列中任意四個元素[a，][b，][c，][d]滿足[a-b≠c-d]以及[a-b≠2（c-d）]時，該數列對應的斜率子集所構造的網格線段將無法構成四邊形，那么對應的校驗矩陣中也不會存在圍長為8的環。若數列M2353對應正整數集的子集能夠滿足任意四個元素公差不相等或者無法構成兩倍時，就能夠獲得圍長為10的碼字。

下面提供一種數列算法可以得到滿足條件的序列：

a序列表示輸入序列，即M2353。[ai（a[i]）]為序列第[i]個元素[。m]中存儲序列中任意兩數的差值，[n]中存儲差值的兩倍或者一半。error指示新加入的數字是否符合條件，0表示符合，其他表示不符合。

輸入：[a0，][a1]

初始化賦值： [m0，][n0]

for i=2；i≤序列所需個數；i++

{

for d=1；d ≤數列中最大值和最小值的估計差值；d++

{

error=2；

if d不在m和n的范圍內? then

a[i]=a[i-1]+d；

for 數列的舊元素 do

{

if 檢驗新加入的元素和原集合中所有元素的差值在m或者n中 then

error=1；

跳出循環，d加1，到error=2處開始執行

}

error =0；

if? error==0? then

更新m和n；

}

}

最后輸出a0，a1，a2，….

最后輸出的{a0，a1，a2，…}即為滿足條件的數列。

基于二維網格法，對斜率集進行進一步篩選，得到的斜率子集能夠使網格中線段和點無法構成三角形和四邊形，從而獲得圍長為10的LDPC碼字。

2.2? 復雜度分析

2.2.1? 存儲空間比較

本文構造的校驗矩陣由[S×S]單位矩陣組成，每一行中有[r]個分塊循環子矩陣，每一列有[m]個分塊循環子矩陣。校驗矩陣的準循環結構使得存儲單元中只需存儲每一分塊矩陣的位置和循環移位次數，就等效存儲了該矩陣所有元素信息。因此總體存儲量只需[r×m×] [（ln（r）+ln（m）+ln（S））]比特，而對于隨機構造LDPC碼字，則需要存儲每一個元素1的行列具體位置，總體存儲量則需要[S×r×m×（ln（S×r）+ln（S×r））]比特。3D? LDPC碼字為了簡化編碼過程，在原有構造得到的矩陣基礎上進行擴展，加入了準三對角結構的矩陣，額外增加了[m2（2ln（m）+ln（r））]比特的存儲單元。

2.2.2? 編碼復雜度

采用基本的編碼方法進行編碼，將校驗矩陣[H]通過高斯消元法轉化為生成矩陣[G。]通常的高斯消元法對[N×N]的矩陣求逆的復雜度是O（N3），而本文提出的校驗矩陣具有準循環結果，因此基于子矩陣高斯消元法求逆算法復雜度僅僅包括行交換運算復雜度O（1）、行疊加運算復雜度O（M）、行乘法運算復雜度O（MS）和求逆元復雜度O（S3），與隨機結構相比，大大降低了運算復雜度。而3D?LDPC碼字采用高斯消元法進行系統化時，會導致編碼器復雜度較高，并沒有采用該方法進行編碼。

3? 仿真結果與結論

利用以上介紹的數列算法，得到數列{1，3，4，11，22，34，51，78，119，…}，從而確定斜率子集，分別構造出三種不同碼長不同碼率的Mackay隨機碼（列重為3且無4環）、圍長為8的LDPC以及本文提出的圍長為10的LDPC，在AWGN信道下進行Matlab仿真，仿真幀數為10 000，調制方式為BPSK，采用置信度傳播譯碼算法進行譯碼，譯碼最大迭代次數為50，得到最終仿真結果如下：

圖3顯示的是碼率為0.5碼長為426的Mackay隨機碼、圍長為8的LDPC以及改進后圍長為10的碼字的性能比較。

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圖3 碼率為0.5，碼長為426的三種LDPC性能比較

從圖3可以看出，圍長為10的LDPC碼在誤碼率10-3處相對于Mackay隨機碼有0.2～0.3 dB的性能提升；在誤碼率10-4處，相對于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整體性能曲線中沒有出現差錯平臺。相比之下，Mackay隨機碼與圍長為8的LDPC于3.5 dB處均出現差錯平臺，并且圍長為8的LDPC整體性能不及Mackay碼。因此可以看出，本文提出的圍長為10的LDPC碼字性能最優。

圖4顯示的是碼率為0.57，碼長為721的三種碼字的性能比較。

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圖4 碼率為0.57，碼長為721的三種LDPC性能比較

分析性能曲線圖可以看出，圍長為10的LDPC碼的性能曲線幾乎與Mackay隨機碼字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范圍內，Girth?8LDPC碼字性能略微優于其他兩種碼字，誤碼率隨著信噪比的增加而持續降低，但在1.6 dB以后降低趨勢逐漸變緩。而圍長為10的LDPC和Mackay隨機碼字誤碼率隨著信噪比的增加保持整體快速下降趨勢，且無差錯平臺產生，并且在信噪比2 dB以后圍長為10的LDPC性能略微優于Mackay隨機碼字。

圖5顯示的是碼率為0.625，碼長為1 256的三種碼字的性能比較。

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圖5 碼率為0.625，碼長為1 256的三種LDPC性能比較

從圖5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范圍內，圍長為10與圍長為8的LDPC性能曲線相近且都略微優于Mackay隨機碼；而在2 dB以后，圍長為10的LDPC性能曲線則接近于Mackay隨機碼性能曲線，并于誤碼率10-3處，兩者相比于圍長為8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于誤碼率10-5處，有0.8 dB的性能提升。而圍長為8的LDPC在信噪比2 dB以后，誤碼率隨信噪比增加的下降趨勢變化減緩，且在信噪比3.5 dB處出現了差錯平臺。

綜上所述，三種LDPC碼字中，本文提出的圍長為10的LDPC誤碼性能相對較優，與Mackay隨機碼字相比，兩者性能相近或前者優于后者，并且圍長為10的LDPC性能曲線中沒有出現差錯平臺。而圍長為8的LDPC碼字，盡管在低信噪比（2 dB以內）情況下，誤碼性能優異，甚至出現優于其他兩種碼字的情況，但在高信噪比（大于2 dB）條件下，誤碼率下降速度較為緩慢且極易出現差錯平臺，影響整體性能。

4? 結? 語

本文基于網格法提出的圍長為10的LDPC構造方法，能夠有效降低差錯平臺，提升誤碼性能。其與圍長為8的LDPC和Mackay隨機碼字相比，均有不同程度上的性能提升，同時由于其準循環特性，使得所占存儲空間較少，編碼復雜度較低。

參考文獻

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[10] FALSAFAIN H， ESMAELI M. Construction of structured regular LDPC codes： a design?theoretic approach [J]. IEEE Tran?sactions on Communications， 2013， 61（2）： 1640?1647.

從圖3可以看出，圍長為10的LDPC碼在誤碼率10-3處相對于Mackay隨機碼有0.2～0.3 dB的性能提升；在誤碼率10-4處，相對于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整體性能曲線中沒有出現差錯平臺。相比之下，Mackay隨機碼與圍長為8的LDPC于3.5 dB處均出現差錯平臺，并且圍長為8的LDPC整體性能不及Mackay碼。因此可以看出，本文提出的圍長為10的LDPC碼字性能最優。

圖4顯示的是碼率為0.57，碼長為721的三種碼字的性能比較。

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圖4 碼率為0.57，碼長為721的三種LDPC性能比較

分析性能曲線圖可以看出，圍長為10的LDPC碼的性能曲線幾乎與Mackay隨機碼字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范圍內，Girth?8LDPC碼字性能略微優于其他兩種碼字，誤碼率隨著信噪比的增加而持續降低，但在1.6 dB以后降低趨勢逐漸變緩。而圍長為10的LDPC和Mackay隨機碼字誤碼率隨著信噪比的增加保持整體快速下降趨勢，且無差錯平臺產生，并且在信噪比2 dB以后圍長為10的LDPC性能略微優于Mackay隨機碼字。

圖5顯示的是碼率為0.625，碼長為1 256的三種碼字的性能比較。

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圖5 碼率為0.625，碼長為1 256的三種LDPC性能比較

從圖5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范圍內，圍長為10與圍長為8的LDPC性能曲線相近且都略微優于Mackay隨機碼；而在2 dB以后，圍長為10的LDPC性能曲線則接近于Mackay隨機碼性能曲線，并于誤碼率10-3處，兩者相比于圍長為8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于誤碼率10-5處，有0.8 dB的性能提升。而圍長為8的LDPC在信噪比2 dB以后，誤碼率隨信噪比增加的下降趨勢變化減緩，且在信噪比3.5 dB處出現了差錯平臺。

綜上所述，三種LDPC碼字中，本文提出的圍長為10的LDPC誤碼性能相對較優，與Mackay隨機碼字相比，兩者性能相近或前者優于后者，并且圍長為10的LDPC性能曲線中沒有出現差錯平臺。而圍長為8的LDPC碼字，盡管在低信噪比（2 dB以內）情況下，誤碼性能優異，甚至出現優于其他兩種碼字的情況，但在高信噪比（大于2 dB）條件下，誤碼率下降速度較為緩慢且極易出現差錯平臺，影響整體性能。

4? 結? 語

本文基于網格法提出的圍長為10的LDPC構造方法，能夠有效降低差錯平臺，提升誤碼性能。其與圍長為8的LDPC和Mackay隨機碼字相比，均有不同程度上的性能提升，同時由于其準循環特性，使得所占存儲空間較少，編碼復雜度較低。

參考文獻

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從圖3可以看出，圍長為10的LDPC碼在誤碼率10-3處相對于Mackay隨機碼有0.2～0.3 dB的性能提升；在誤碼率10-4處，相對于Girth?8LDPC有0.4 dB的性能提升，且Girth?10LDPC整體性能曲線中沒有出現差錯平臺。相比之下，Mackay隨機碼與圍長為8的LDPC于3.5 dB處均出現差錯平臺，并且圍長為8的LDPC整體性能不及Mackay碼。因此可以看出，本文提出的圍長為10的LDPC碼字性能最優。

圖4顯示的是碼率為0.57，碼長為721的三種碼字的性能比較。

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圖4 碼率為0.57，碼長為721的三種LDPC性能比較

分析性能曲線圖可以看出，圍長為10的LDPC碼的性能曲線幾乎與Mackay隨機碼字完全重合，在信噪比0～1.6 dB范圍內，Girth?8LDPC碼字性能略微優于其他兩種碼字，誤碼率隨著信噪比的增加而持續降低，但在1.6 dB以后降低趨勢逐漸變緩。而圍長為10的LDPC和Mackay隨機碼字誤碼率隨著信噪比的增加保持整體快速下降趨勢，且無差錯平臺產生，并且在信噪比2 dB以后圍長為10的LDPC性能略微優于Mackay隨機碼字。

圖5顯示的是碼率為0.625，碼長為1 256的三種碼字的性能比較。

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圖5 碼率為0.625，碼長為1 256的三種LDPC性能比較

從圖5分析可以得到，在信噪比0～2 dB范圍內，圍長為10與圍長為8的LDPC性能曲線相近且都略微優于Mackay隨機碼；而在2 dB以后，圍長為10的LDPC性能曲線則接近于Mackay隨機碼性能曲線，并于誤碼率10-3處，兩者相比于圍長為8的LDPC有0.3 dB的性能提升；于誤碼率10-5處，有0.8 dB的性能提升。而圍長為8的LDPC在信噪比2 dB以后，誤碼率隨信噪比增加的下降趨勢變化減緩，且在信噪比3.5 dB處出現了差錯平臺。

綜上所述，三種LDPC碼字中，本文提出的圍長為10的LDPC誤碼性能相對較優，與Mackay隨機碼字相比，兩者性能相近或前者優于后者，并且圍長為10的LDPC性能曲線中沒有出現差錯平臺。而圍長為8的LDPC碼字，盡管在低信噪比（2 dB以內）情況下，誤碼性能優異，甚至出現優于其他兩種碼字的情況，但在高信噪比（大于2 dB）條件下，誤碼率下降速度較為緩慢且極易出現差錯平臺，影響整體性能。

4? 結? 語

本文基于網格法提出的圍長為10的LDPC構造方法，能夠有效降低差錯平臺，提升誤碼性能。其與圍長為8的LDPC和Mackay隨機碼字相比，均有不同程度上的性能提升，同時由于其準循環特性，使得所占存儲空間較少，編碼復雜度較低。

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