奇異函數能量法在分析梁自振頻率中的應用

丁婷+丁圣果+姜宇

摘 要：在實際工程中，很多情況要計算梁的自振頻率，本文在已有的計算方法上加以總結，應用奇異函數表達變截面梁的慣性矩I（x）及質量分布集度m（x），采用能量法可較方便計算梁的自振頻率，給出的滿足各種邊界條件的振型函數便于讀者使用。本文將不同算例的計算結果進行了分析，研究結果表明，采用不同振型函數所得的計算結果相差在±5%范圍，用以估計變截面梁基頻的上限值是工程上可接受的。

關鍵詞：奇異函數；能量法；自振基頻；變截面梁；振型函數

能量法在工程中的應用[1][2]很普遍，通過用奇異函數能量法來分析梁的頻率，得到一個合理的結果，對促進建筑工程的發展將起到很大的作用。

對于變截面梁，無論梁上的慣性矩I和質量 分布度m是隨截面位置變量x連續變化還是分段突變（圖1），這兩個量均可用奇異函數表示[4]：

1.計算自振基頻的能量法

根據自由振動的能量特征，梁振動基頻的能量法計算式為[3]：

（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇異函數的積分采用下式[2]

2. 梁的振型函數

振型函數 即桿件振動時軸線的曲線函數形式，一般均為由初等函數構造的連續函數，針對單跨梁按基頻自振問題，表一給出不同支承條件下 的函數形式。關于振型函數 有必要作以下說明：

2.1 必須是滿足梁端位移邊界條件的連續函數

2.2 應盡可能不要隱含違反梁端的力邊界條件的形式。

例如，對于梁左端鉸支的情況應有 ， ，表明梁端彎矩為零，轉角不為零。對于幾何關于梁跨中垂線對稱的梁，應有 ，

對于梁左端固支的情況應有 ， ，表明梁端彎矩不為零，轉角為零。對于幾何關于梁跨中垂線對稱的梁，應有 。

2.3 對于端部約束較復雜的梁，可采用四項幕函數疊加的形式逼近振型[3]：

2.4無論梁段上如何變截面，其振型函數 的連續性是存在的，且滿足條件（1）（2）的初等函數并不難設定。

我們的眾多算例表明，具有相同端部約束條件及相同梁段幾何特征的梁，采用不同振型函數計算結果相差在±5%，且與精確解誤差 。

算例

算例一：分段等截面簡支梁（見圖4），各段矩形截面高（垂直于紙面方向尺寸）相同，計算垂直于紙面方向的自振頻率。

采用不同振型函數的計算結果相差1.4%。

算例二：簡支魚腹梁，矩形截面寬（垂直于紙面尺寸相同），求豎向自振頻率。

設振型函數為正弦曲線：

魚腹段的變截面梁高也為正弦曲線：

4.結論

4.1奇異函數因具備表達非連續物理量的強勁功能在經典力學中已得到廣泛應用[5][6][7]。

4.2對于變截面梁，無論其習慣性矩I和分布質量m隨截面位置x連續變化還是分段突變，這兩個量均可采用奇異函數在全梁段的定義域上表示。設定滿足梁端邊界條件的振型函數后，梁的自振頻率即可用常規積分求得。

4.3 為求得基頻，振型曲線宜簡單，盡可能少捌點，采用不同振型函數 所得結果相差在±3%范圍。

4.4 基于振動時的勢能泛函極值原理，所得結果為頻率上限解。

參考文獻

[1] 周勇軍、張曉棟.高墩連續剛構橋縱向振動基頻的能量法計算公式《長安大學學報》[J]？2013，03：p52-58

[2] 張榮山、劉兵.計算梁自振頻率的幾種簡化實用方法 特種結構[J]2002年01期

[3] 丁圣果.分析結構力學[M].貴州科技出版社 2010.12

[4] 王燮山.奇異函數及其在力學中的應用[M].科學出版社，1993.12

[5] 丁圣果.奇異函數力法在在分析框-剪結構抗側作用效應中的應用[J] 建筑技術開發.2004.9vol 31 no 9 71-74

[6] 丁圣果 李綺文 高層建筑水平加強層作用初探[J] 工程力學.1996增刊 537-540

[7] 鄭濤、丁圣果.用奇異函數方法計算階梯形變截面條形基礎 貴州工業大學學報[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102

[8] 焦春節、丁潔民.體外預應力鋼-混凝土組合連續梁自振頻率分析[J]工程力學2011，02期：193-197

[9] 王佳偉、賈艷敏.預應力簡支鋼箱梁自振頻率研究[J]工程力學，2009，26（1）：p120-124

[10] 熊輝霞、張耀庭 體外預應力混凝土梁自振頻率分析[J]工程力學2008，25，S2期：173-176

摘 要：在實際工程中，很多情況要計算梁的自振頻率，本文在已有的計算方法上加以總結，應用奇異函數表達變截面梁的慣性矩I（x）及質量分布集度m（x），采用能量法可較方便計算梁的自振頻率，給出的滿足各種邊界條件的振型函數便于讀者使用。本文將不同算例的計算結果進行了分析，研究結果表明，采用不同振型函數所得的計算結果相差在±5%范圍，用以估計變截面梁基頻的上限值是工程上可接受的。

關鍵詞：奇異函數；能量法；自振基頻；變截面梁；振型函數

能量法在工程中的應用[1][2]很普遍，通過用奇異函數能量法來分析梁的頻率，得到一個合理的結果，對促進建筑工程的發展將起到很大的作用。

對于變截面梁，無論梁上的慣性矩I和質量 分布度m是隨截面位置變量x連續變化還是分段突變（圖1），這兩個量均可用奇異函數表示[4]：

1.計算自振基頻的能量法

根據自由振動的能量特征，梁振動基頻的能量法計算式為[3]：

（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇異函數的積分采用下式[2]

2. 梁的振型函數

振型函數 即桿件振動時軸線的曲線函數形式，一般均為由初等函數構造的連續函數，針對單跨梁按基頻自振問題，表一給出不同支承條件下 的函數形式。關于振型函數 有必要作以下說明：

2.1 必須是滿足梁端位移邊界條件的連續函數

2.2 應盡可能不要隱含違反梁端的力邊界條件的形式。

例如，對于梁左端鉸支的情況應有 ， ，表明梁端彎矩為零，轉角不為零。對于幾何關于梁跨中垂線對稱的梁，應有 ，

對于梁左端固支的情況應有 ， ，表明梁端彎矩不為零，轉角為零。對于幾何關于梁跨中垂線對稱的梁，應有 。

2.3 對于端部約束較復雜的梁，可采用四項幕函數疊加的形式逼近振型[3]：

2.4無論梁段上如何變截面，其振型函數 的連續性是存在的，且滿足條件（1）（2）的初等函數并不難設定。

我們的眾多算例表明，具有相同端部約束條件及相同梁段幾何特征的梁，采用不同振型函數計算結果相差在±5%，且與精確解誤差 。

算例

算例一：分段等截面簡支梁（見圖4），各段矩形截面高（垂直于紙面方向尺寸）相同，計算垂直于紙面方向的自振頻率。

采用不同振型函數的計算結果相差1.4%。

算例二：簡支魚腹梁，矩形截面寬（垂直于紙面尺寸相同），求豎向自振頻率。

設振型函數為正弦曲線：

魚腹段的變截面梁高也為正弦曲線：

4.結論

4.1奇異函數因具備表達非連續物理量的強勁功能在經典力學中已得到廣泛應用[5][6][7]。

4.2對于變截面梁，無論其習慣性矩I和分布質量m隨截面位置x連續變化還是分段突變，這兩個量均可采用奇異函數在全梁段的定義域上表示。設定滿足梁端邊界條件的振型函數后，梁的自振頻率即可用常規積分求得。

4.3 為求得基頻，振型曲線宜簡單，盡可能少捌點，采用不同振型函數 所得結果相差在±3%范圍。

4.4 基于振動時的勢能泛函極值原理，所得結果為頻率上限解。

參考文獻

[1] 周勇軍、張曉棟.高墩連續剛構橋縱向振動基頻的能量法計算公式《長安大學學報》[J]？2013，03：p52-58

[2] 張榮山、劉兵.計算梁自振頻率的幾種簡化實用方法 特種結構[J]2002年01期

[3] 丁圣果.分析結構力學[M].貴州科技出版社 2010.12

[4] 王燮山.奇異函數及其在力學中的應用[M].科學出版社，1993.12

[5] 丁圣果.奇異函數力法在在分析框-剪結構抗側作用效應中的應用[J] 建筑技術開發.2004.9vol 31 no 9 71-74

[6] 丁圣果 李綺文 高層建筑水平加強層作用初探[J] 工程力學.1996增刊 537-540

[7] 鄭濤、丁圣果.用奇異函數方法計算階梯形變截面條形基礎 貴州工業大學學報[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102

[8] 焦春節、丁潔民.體外預應力鋼-混凝土組合連續梁自振頻率分析[J]工程力學2011，02期：193-197

[9] 王佳偉、賈艷敏.預應力簡支鋼箱梁自振頻率研究[J]工程力學，2009，26（1）：p120-124

[10] 熊輝霞、張耀庭 體外預應力混凝土梁自振頻率分析[J]工程力學2008，25，S2期：173-176

摘 要：在實際工程中，很多情況要計算梁的自振頻率，本文在已有的計算方法上加以總結，應用奇異函數表達變截面梁的慣性矩I（x）及質量分布集度m（x），采用能量法可較方便計算梁的自振頻率，給出的滿足各種邊界條件的振型函數便于讀者使用。本文將不同算例的計算結果進行了分析，研究結果表明，采用不同振型函數所得的計算結果相差在±5%范圍，用以估計變截面梁基頻的上限值是工程上可接受的。

關鍵詞：奇異函數；能量法；自振基頻；變截面梁；振型函數

能量法在工程中的應用[1][2]很普遍，通過用奇異函數能量法來分析梁的頻率，得到一個合理的結果，對促進建筑工程的發展將起到很大的作用。

對于變截面梁，無論梁上的慣性矩I和質量 分布度m是隨截面位置變量x連續變化還是分段突變（圖1），這兩個量均可用奇異函數表示[4]：

1.計算自振基頻的能量法

根據自由振動的能量特征，梁振動基頻的能量法計算式為[3]：

（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇異函數的積分采用下式[2]

2. 梁的振型函數

振型函數 即桿件振動時軸線的曲線函數形式，一般均為由初等函數構造的連續函數，針對單跨梁按基頻自振問題，表一給出不同支承條件下 的函數形式。關于振型函數 有必要作以下說明：

2.1 必須是滿足梁端位移邊界條件的連續函數

2.2 應盡可能不要隱含違反梁端的力邊界條件的形式。

例如，對于梁左端鉸支的情況應有 ， ，表明梁端彎矩為零，轉角不為零。對于幾何關于梁跨中垂線對稱的梁，應有 ，

對于梁左端固支的情況應有 ， ，表明梁端彎矩不為零，轉角為零。對于幾何關于梁跨中垂線對稱的梁，應有 。

2.3 對于端部約束較復雜的梁，可采用四項幕函數疊加的形式逼近振型[3]：

2.4無論梁段上如何變截面，其振型函數 的連續性是存在的，且滿足條件（1）（2）的初等函數并不難設定。

我們的眾多算例表明，具有相同端部約束條件及相同梁段幾何特征的梁，采用不同振型函數計算結果相差在±5%，且與精確解誤差 。

算例

算例一：分段等截面簡支梁（見圖4），各段矩形截面高（垂直于紙面方向尺寸）相同，計算垂直于紙面方向的自振頻率。

采用不同振型函數的計算結果相差1.4%。

算例二：簡支魚腹梁，矩形截面寬（垂直于紙面尺寸相同），求豎向自振頻率。

設振型函數為正弦曲線：

魚腹段的變截面梁高也為正弦曲線：

4.結論

4.1奇異函數因具備表達非連續物理量的強勁功能在經典力學中已得到廣泛應用[5][6][7]。

4.2對于變截面梁，無論其習慣性矩I和分布質量m隨截面位置x連續變化還是分段突變，這兩個量均可采用奇異函數在全梁段的定義域上表示。設定滿足梁端邊界條件的振型函數后，梁的自振頻率即可用常規積分求得。

4.3 為求得基頻，振型曲線宜簡單，盡可能少捌點，采用不同振型函數 所得結果相差在±3%范圍。

4.4 基于振動時的勢能泛函極值原理，所得結果為頻率上限解。

參考文獻

[1] 周勇軍、張曉棟.高墩連續剛構橋縱向振動基頻的能量法計算公式《長安大學學報》[J]？2013，03：p52-58

[2] 張榮山、劉兵.計算梁自振頻率的幾種簡化實用方法 特種結構[J]2002年01期

[3] 丁圣果.分析結構力學[M].貴州科技出版社 2010.12

[4] 王燮山.奇異函數及其在力學中的應用[M].科學出版社，1993.12

[5] 丁圣果.奇異函數力法在在分析框-剪結構抗側作用效應中的應用[J] 建筑技術開發.2004.9vol 31 no 9 71-74

[6] 丁圣果 李綺文 高層建筑水平加強層作用初探[J] 工程力學.1996增刊 537-540

[7] 鄭濤、丁圣果.用奇異函數方法計算階梯形變截面條形基礎 貴州工業大學學報[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102

[8] 焦春節、丁潔民.體外預應力鋼-混凝土組合連續梁自振頻率分析[J]工程力學2011，02期：193-197

[9] 王佳偉、賈艷敏.預應力簡支鋼箱梁自振頻率研究[J]工程力學，2009，26（1）：p120-124

[10] 熊輝霞、張耀庭 體外預應力混凝土梁自振頻率分析[J]工程力學2008，25，S2期：173-176