數學：理性精神的熏陶

房元霞　宋寶和

摘 要：教學永遠具有教育性，數學教育是以數學來育人的，數學教學滲透德育是科學性和思想性相統一的教學原則的要求。高中數學教學滲透德育首先要充分發掘數學知識的德育內涵；其次要精心提煉數學知識的德育意義；還要適時升華數學知識內蘊的德育價值，使德育與智育融合。

關 鍵 詞：高中數學；德育；教學

作者簡介：房元霞，山東省聊城大學數學科學學院，教授；宋寶和，山東省教育招生考試院，研究員

學科教學滲透德育，學生容易認同，有潤物無聲潛移默化的教育效果，是思想政治課程重要的輔助和補充。數學課程課時多，師生交往頻繁，有時間優勢。結合數學的特點滲透社會主義核心價值觀，充分發揮數學的德育價值，對于養成中學生良好的思想品德，提高教學質量具有重要的作用。

一、充分發掘數學知識的德育內涵

數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。由于人類社會和自然界的各種事物和現象都有量的規定，都有存在形式及其與外界的普遍聯系，因此，當數學將這一切作為對象加以抽象，然后再返回到教育過程中去的時候，無論是內容還是方法，都會涉及社會生活各個領域的問題。數學教師要做有心人，要善于發掘、捕捉數學知識中的德育內涵，進而結合實際適時滲透。

例如，為了歸納等比數列，教材選擇了等比數列的例子：一種計算機病毒可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播。如果把病毒制造者發送病毒稱為第一輪，郵件接受者發送病毒稱為第二輪，以此類推。假設每一輪每一臺計算機都感染20臺計算機，那么在不重復的情況下，這種病毒每一輪感染的計算機數構成的數列是：1，20，202，203，…可以看出：由于這個等比數列中公比較大，所以病毒的傳播速度是很快的，學生容易認同。而對于公比不這么大時，學生的看法就不盡相同了。可以來做一個數學實驗，取一張普通的紙（通常厚度約為0.1 mm），將其對折，再對折，此時紙仍不到0.5 mm；若對折10次，紙會多厚？再對折100次，又有多厚？大多數同學會估計，即使經過100次對折，紙的厚度也不會厚于1 m。而事實上，經過42次對折紙的厚度已達到43.98萬 km，從地球到月亮（38.44萬 km）還有富余。由此可以想象即使是一傳倆，病毒的傳播速度也是非常驚人的，遠遠超出我們的想象。這個例子就是要我們相信科學，要運用所學知識來理性的思考遇到的問題，不要輕信謠言，更不能傳播謠言，不能隨便受人蠱惑。

再舉一個例子，現在存入銀行1萬元，年利率是1.98%，那么按照復利，5年內各年末得到的本利和分別是：10 198，10 399.92，10 605.83，10 815.83，11 029.99。[1]將問題做一般化處理，設本金為p元，年利率為r，如果以年為單位計算復利，那么，t年以后資金總額是p（1+r）t元。[1]如果以月為單位計算利息，則月利率為r/12，t年后資金總額是p（1+r/12）12t元；如果以天為單位計算復利，則t年后資金總額是p（1+r/365）365t元。一般地，如果以1/n年為單位計算復利，那么t年后資金總額是p（1+r/n）nt元。如果每時每刻計算復利（連續復利），那么，t年后資金總額是pert元。假設年利率按1%計算，本金69年多翻一番，若按4%計算，則17年多翻一番，利率提高到原來的幾倍，翻番的時間縮短為原來的幾分之一。所以，國家法律規定民間的資金借貸活動不能連續計息，利率也“最高不得超過銀行同類貸款利率的四倍”，否則不受法律保護。這個模型不僅可以分析投資與收益，人口問題、生物種群的消長問題、放射性物質的衰變問題等都適用。譬如，我國大陸人口2012年約為13.4億，自然增長率若按2005年的5.89‰計算，每年的凈增人口約為791.6萬，如再增長一個千分點，則多增加約135萬人。所以我們國家從上世紀七十年代就實行計劃生育政策，提倡晚婚晚育，優生優育，這的確是富民強國的明智之舉。

二、精心提煉數學知識的德育意義

“科學技術作為人類文化的組成部分，它對于社會的意義，不僅存在于物質的范疇，而且存在于精神的范疇。”[1]高中數學課程突出了數學技術實用性、計算性等工具性、技術性的一面，但數學又是一種文化，數學思想是凝聚著人類高度理性的精神財富。我們探討中學數學課程在教育中的德育意義，就應精心提煉其內蘊的文化價值，探討由數學這門學科的科學規定性產生的精神力量和意志品質，進行理想、信念和態度教育。

在函數的圖像中，縱軸的箭頭指向高中學習的總目標：努力學習科學文化知識，提升自己的能力，將來做一個對國家、對社會有用的人；縱軸上一個個標記單位的正整數就是我們努力的階段性目標。指數函數y=ax（a>1）在（-∞，+∞）上單調遞增，圖像指向右上方，提醒我們堅持不懈的努力，每天朝著目標邁出一小步，那么我們將實現近期目標且逐步實現人生目標。對數函數x=logaN（a>1）的值域是（-∞，+∞），啟示我們不要怕起點低，只要能夠意識到自己的不足，肯勤奮努力，刻苦學習，終究會實現目標。冪函數y=xα（0<α<1）隨自變量x的增大，函數變化盡管緩慢，但值域一樣是[0，+∞），使我們明白水滴石穿、繩鋸木斷，日積月累，事情終究會發生質的改變，學業是這樣，做人更是如此，不以善小而不為，不以惡小而為之。正弦函數y=sinx，x∈（-∞，+∞）是以2π為周期進行周期性的波動，使我們看到不論學習還是做什么事情，如果是“三天打魚，兩天曬網”，搖擺不定，不能持之以恒、堅持不懈，終究會一事無成。雖然冪函數y=xα（α>0）的圖像在（0，+∞）上單調遞增，但是不同類的冪函數上升的速度還是差距較大，隨著自變量取值逐漸增大，當α>1時位于直線y=x的上方，上升較快，當α<1時位于直線y=x的下方，上升較慢，所以無論學習還是做事要善于總結適合自己的方法，方法對頭了，才能事半功倍。指數函數與對數函數的單調性據α的取值不同而有較大差異，當α>1時，是相應區間上的增函數，當0<α<1時是減函數。使我們認識到，“近朱者赤，近墨者黑”，要向好的榜樣學習，見賢思齊，耳濡目染，不經意間脫胎換骨。兩類函數的圖像也警示我們，如果人生偏離了正確的方向，很快就會滑落深淵，所以要在日常的生活和學習中養成良好的品質和習慣，遵紀守法，嚴于律己，不好逸惡勞，自覺抵制社會不良思潮的誘惑。

微積分的創立是數學史上的里程碑，它的發展不僅為研究變量和函數提供了重要的方法，更使得數學理性極度升華，是培養學生理性思維品格和進行數學審美好素材。這里以計算曲邊梯形的面積為例。矩形的高是不變的，因此，矩形面積=底×高。而曲邊梯形在底邊上各點處的高f（x）在[a，b]上是變化的，故曲邊梯形的面積不能用這個公式來求，否則誤差太大。由于曲邊梯形的高f（x）在[a，b]上也是連續變化的，根據函數的連續性，在很小的一段區間上它的變化很小，可以近似地看成不變。因此，如果把[a，b]劃分為許多小區間，在每個小區間上用其中某一點處的高來近似代替這個小區間上窄的曲邊梯形的變高，用窄矩形的面積代替窄曲邊梯形的面積，用階梯形的面積代替曲邊梯形的面積，誤差就小了。但畢竟有誤差，不是精確值。如果讓每個小區間的長度趨于0，這時階梯形趨于曲邊梯形，各個窄的矩形的面積和作為曲邊梯形的面積的誤差趨于0，窄矩形面積之和（階梯形的面積）的極限自然定義為曲邊梯形的面積。解決曲邊梯形面積問題的數學思想多么自然質樸，多么平和入理，毫無抽象、神秘之感。數學思維多么簡約精確，多么深刻透徹，多么嚴謹、周密、富有理性，毫無臆造、粗糙之嫌。數學是真、善、美的化身，它在解決問題的過程中一步步將人的思維引向深刻，在很大程度上使人脫離世風浮躁的沖擊。

三、適時升華數學知識的德育價值

每一門科學都有自己的追求、規范、方法和價值判斷，這些科學規范對于學習科學知識的人們常常具有很強的約束力。數學科學也不例外，數學也有自己的品性與風格，這些品性和風格始終要求人們不能違背數學的科學規范。教師在將知識的學術形態轉換為教育形態的加工過程中，要把自己對數學規范的認識和理解貫徹到數學教學中，適時升華數學知識內蘊的德育價值。

以閉區間上的連續函數曲線為例，彎彎曲曲、高高低低、綿延伸展，在該區間上一定能取得它的最大值和最小值。但是，極大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值，極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小，極值僅是函數的局部性質并非整體性質，因而只能說明這個局部，不能說明別的局部，當然更不能以偏概全代替整體。它暗示我們，如果自己的學習成績或某方面是個極大值，也不要因此而驕傲或瞧不起別的同學，要把眼光放長遠一些，不要只局限于自己班級的情況，山外青山天外天，走在前面的人多的是。再者有了高原的鋪墊，山峰才能海拔更高，同學們要團結協作，形成一個積極向上的團體，促使高的更高，強的更強。如果自己的學習成績或某方面是個極小值也不要灰心，只要肯努力，走過“柳暗”就會迎來“花明”。人生的路又何嘗不是如此，有時平坦一帆風順，有時崎嶇步履艱難，因此，我們要始終保持冷靜的頭腦和積極向上、樂觀豁達的人生態度，順風順水的時候，我們一日千里，突飛猛進，遇到挫折時，也不灰心、不自棄，勇敢地面對成功與失敗的挑戰。

數學學科的相繼性較強，知識之間聯系密切。所以數學學習一方面需要及時整合已學過的知識和方法創造新的知識和方法；另一方面，每學過一種新方法都要反思能否更好地解決以前學習中曾經遇到過的問題。例如，函數的導數是函數在某點的瞬時變化率，為了求得瞬時變化率，先給自變量以增量，相應的有函數的增量，便得到函數在這點的平均變化率，它是自變量增量的函數，自變量的增量趨于0，平均變化率的極限成為函數在這點的瞬時變化率。函數的增量、率等都是舊概念，作平均變化率，將其視為自變量的增量的函數，再在自變量的增量趨于0時取極限就創造出新概念和方法——瞬時變化率。如果用形來表示，平均變化率是曲線在某點的割線的斜率，瞬時變化率是曲線在該點處切線的斜率，在該點的割線的極限位置是在該點切線。如果|Δx|很小，則|Δy-f'（x）Δx|比|Δx|小得多，因此在該點的鄰近，可以用切線段來近似代替曲線段，將非線性函數局部線性化。在工程問題中，對于復雜的函數的計算我們可以用近似公式來代替。這就提示我們，創新并不是什么高不可攀的，只要我們有扎實的基礎，面對數學問題，會思考，肯鉆研，勇于創新、敢于創新一定可以做出好的成績。再如函數單調性的判斷方法比較豐富，我們可以先畫出函數的圖像，根據圖像判斷函數的單調性；也可以根據定義用作差比較法來證明函數的單調性；學習了導數后，利用導數符號判斷函數單調性就更便捷。正是東方不亮西方亮，水路不通旱路通，條條大路通羅馬。面對數學問題或生活中的問題，不能急功近利，要有良好的心理素質、思維品質，要注意積累，經常反思，集思廣益，終究會將問題圓滿解決。

習慣的養成，品德的提高，往往不在于別人的說教，而在于自身的感悟與體驗。高中數學教學滲透德育，我們不能奢望其能塑造學生完善的人格，但我們期望其能針對學生的思想實際，使智育和德育做到真正的融合，使學生受到數學理性精神的熏陶，當其在心性與思維受到碎片化信息的迷惑和干擾時，能保持必要的平衡，擁有矯正的張力。

參考文獻：

[1]何伯鏞.大哉，數學之為德[J].數學教育學報，1996（2）：10-14.

責任編輯/楊艷利