定數(shù)截尾有缺失場合反延時電路可靠性分析

謝莉莉

（北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100191）

0 引言

我國現(xiàn)役飛機中，直流電源系統(tǒng)占有重要的地位。該電源系統(tǒng)中對過壓保護電路的延時特性有特殊要求，即反延時特性，電源過壓值越高，延時保護時間越短。為滿足反延時特性的要求，參考文獻[1]提出了通過延時電路并聯(lián)的實現(xiàn)方法，根據(jù)反延時的要求確定并聯(lián)的支路數(shù)目，由此得到一種反延時電路。

過壓保護電路是直流電源系統(tǒng)安全運行的保障。針對其反延時特性提出的反延時電路的可靠性分析是必要的。電路中電子元器件的壽命服從指數(shù)分布[2]。對于指數(shù)分布，在定時、定數(shù)截尾數(shù)據(jù)無缺失的情形下，理論和具體的應(yīng)用方法均比較成熟。曹晉華，程侃[3]的《可靠性數(shù)學引論》對無數(shù)據(jù)缺場合進行了全面的總結(jié)。真實試驗環(huán)境下，試驗機理、觀測手段及記錄手段不當?shù)葧е虏糠謽颖镜膩G失，在不能再次進行試驗的情形下，對不完全樣本的可靠性分析，具有一定的研究價值。在定數(shù)截尾有缺失的情形下，參考文獻[4]給出了單、雙參數(shù)指數(shù)分布中參數(shù)的最佳線性無偏估計及近似極大似然估計；參考文獻[5]給出了指數(shù)分布基于定數(shù)截尾有缺失樣本的Bayes估計，并給出了一種近似算法，但計算稍有復雜。參考文獻[6]結(jié)合參數(shù)的最佳線性無偏估計導出了單參數(shù)指數(shù)分布的Bayes估計。

對于參考文獻[1]中的反延時電路，參考文獻[7]在定時無替換數(shù)據(jù)無缺失的情形下，給出了可靠性指標的Bayes估計及極大似然估計。鑒于真實的試驗環(huán)境，本文結(jié)合參數(shù)的最佳線性無偏估計，在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失的情形下，給出反延時電路可靠性指標的Bayes估計，并結(jié)合矩估計法給出了超參數(shù)的估計。

1 系統(tǒng)可靠性指標

反延時電路中每個電子元器件的壽命均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：

2 Bayes估計

反延時電路圖在參考文獻[1，7]中已給出，參考文獻[7]給出了對應(yīng)的可靠性工程圖，如圖1所示。

圖1 反延時電路[7]

選取反延時電路系統(tǒng)中單個電子元器件的失效率r(t)、系統(tǒng)可靠度 Rs(t)及平均壽命 MTTFs作為可靠性指標。由參考文獻[7]可知，當有m種延時要求時，單個部件失效率[7]：

系統(tǒng)可靠度[7]：

其 中 Ri(t)=e-4λt+2e-8λt-3e-10λt+e-12λt。

平均壽命[7]：

在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)有缺失的情形下討論可靠性指標的Bayes估計。隨機抽取n個反延時電路系統(tǒng)中的電子元器件進行試驗。當電子元器件的失效數(shù)達到r時便停止試驗。得到的失效時刻依次為0≤t1≤t2≤…≤tr(r≤n)，但最終只獲得了 k(k＜r)個觀察值，設(shè)為 tr1≤tr2…≤trk。令t=(tr1，…，trk)，由參考文獻[5]可知 t的似然函數(shù)形式復雜，求解可靠性指標的Bayes估計十分困難，為此本文采用參考文獻[6]中基于最佳線性無偏估計的近似方法來求得λ的后驗密度函數(shù)。

2.1 基于最佳線性無偏估計的后驗密度函數(shù)

已知 t1，t2，…，tr獨立同分布，且服從分布 F(t|λ)=1-exp(-λt)，t≥0，λ＞0，令 t0≡0，則 0≡t0≤t1≤t2…≤tr為其順序統(tǒng)計量。設(shè)：

對(5)變形可得：

由此可知指數(shù)分布的順序統(tǒng)計量可以表示成：

[3]可知，M1，…，Mr獨立同分布 F(t|λ)=1-exp(-λt)，t≥0，則：

令X1=tr1，X2=tr2-tr1，…，Xk=trk-trk-1，λ=1/θ。 因為 M1，…，Mr獨立同分布參數(shù)為λ的指數(shù)分布，因此可得：

其中 r0=0，i=1，2，…，k，且由上述條件可知 X1，X2，…，Xk是相互獨立的，從而利用參考文獻[8]中Gauss-Markov定理可以得到θ的最佳線性無偏估計(BLUE)為：

又因為Xi=tri-tri-1，可知 Xi/θ是χ2分布的線性組合，結(jié)合式(11)可以發(fā)現(xiàn)也是χ2分布的線性組合。通過參考文獻[9]中提出的非中心χ2分布，2w/θ的分布可以用分布χ2(2w)近似表示，其中。由此θ的最佳線性無偏估計θ^的近似密度函數(shù)可以表示成：

因 λ=1/θ，所以式(13)可表示成：

λ的先驗分布為伽馬分布，即：

則λ的后驗分布為：

設(shè) h(λ|t)=B-1λwexp[-λ(w+β)]，又知可得：

因此λ的后驗分布可表示為：

2.2 可靠性指標的Bayes估計

單個電子元器件的失效率在平方損失下的Bayes估計為：

系統(tǒng)的可靠度為：

上式展開后每一項均可表示為 A e-Bλt，A、B為常數(shù)，即Rs(t)=，當 m 給定，Ai，Bi均是已知的常數(shù)。因此令 P(A，B)=A e-Bλt，則 P(A，B)在平方損失下的 Bayes估計為：

則系統(tǒng)的可靠度Rs(t)在平方損失下的Bayes估計為：

對應(yīng)的系統(tǒng)平均壽命的近似Bayes估計為：

當 m給定后便可計算出 Ai和 Bi，帶入式(22)、(23)，便可以得到系統(tǒng)可靠度及平均壽命的Bayes估計。

2.3 超參數(shù)估計

式(19)、(22)、(23)中均含有未知參數(shù)α、β，即超參數(shù)，則3個可靠性指標的Bayes估計不能直接應(yīng)用。丟失數(shù)據(jù)的個數(shù)要遠小于樣本總量，因此在有數(shù)據(jù)缺失的情況下，通過矩估計法來近似估計超參數(shù)α、β。先計算t的一階矩和二階矩：

3 數(shù)值模擬

為觀察本文方法的估計效果，針對并聯(lián)6個支路的反延時電路系統(tǒng)，將可靠性指標的Bayes估計與應(yīng)用參考文獻[4]方法所得的極大似然估計（MLE）進行了數(shù)值模擬比較。根據(jù)GB/T1772[2]中規(guī)定的電子元器件失效率等級標準，在模擬中，取λ的真值為λ=2×10-5(1/h)，對應(yīng)的系統(tǒng)可靠度 Rs(24 000h)為 0.668 4。取 n=30，70兩種情況，k為數(shù)據(jù)缺失個數(shù)，r為失效數(shù)。為排除偶然因素的影響，對于每種組合隨機模擬10 000次，并取所得估計值的均值作為最終的估計結(jié)果。

利用蒙特卡羅方法模擬產(chǎn)生服從指數(shù)分布的樣本數(shù)據(jù)，再依據(jù)k，r的取值，得到最終的截尾樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)2.2、2.3節(jié)所得結(jié)果計算出可靠性指標的 Bayes估計，如表1、表2所示，相對偏差對比如圖2所示。

表1 λ=2×10-5Bayes估計數(shù)值模擬結(jié)果

表2 λ=2×10-5極大似然估計數(shù)值模擬結(jié)果

圖 2 λ=2×10-5，n=30，r=15 模擬結(jié)果

結(jié)合上述圖表可以看出：(1)單個電子元器件的失效率及系統(tǒng)的可靠度的Bayes估計的相對偏差均小于MLE的相對偏差，可見Bayes估計的估計精度要高于MLE；(2)當截尾樣本數(shù)據(jù)容量一定時，隨著數(shù)據(jù)缺失個數(shù)k增加，單個電子元器件的失效率及系統(tǒng)的可靠度的Bayes估計和MLE的相對偏差逐漸增大，估計精度降低；且k對MLE的影響大于 Bayes估計；(3)r增加時，電子元器件的失效率及系統(tǒng)的可靠度的Bayes估計和MLE的相對偏差逐漸減小，估計精度升高。

通過對比發(fā)現(xiàn)，Bayes估計的估計效果要優(yōu)于MLE。這是因為Bayes估計結(jié)合了有效的先驗信息，且受數(shù)據(jù)缺失個數(shù)的影響要小于MLE。

4 結(jié)論

本文討論了定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失的情形下，反延時電路可靠性指標的Bayes估計。通過數(shù)值模擬，將Bayes估計與相應(yīng)的MLE進行了分析對比。結(jié)果表明Bayes估計的相對偏差均要小于所對應(yīng)的MLE的相對偏差，且受數(shù)據(jù)缺失個數(shù)的影響要小于MLE。所以在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)有缺失的場合下，對反延時電路系統(tǒng)的可靠性指標進行估計時，可選用Bayes估計，并且在真實的試驗環(huán)境下，應(yīng)避免數(shù)據(jù)的大量缺失。

參考文獻

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