數(shù)學(xué)中的對稱美及其應(yīng)用

王建成

一、對稱美

數(shù)學(xué)對稱美最直觀的感覺就是數(shù)學(xué)圖形的對稱美，對稱通常是指圖形或物體對某個點(diǎn)，直線或平面而言，在大小形狀相排列上具有一 一對應(yīng)的關(guān)系，在幾何圖形中等腰三角形是軸對稱圖形，圓是關(guān)于圓心成中心對稱的圖形，也是關(guān)于直徑成軸對稱圖形，正方行關(guān)于其中心是對稱的，而對于球形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，同時也是面對稱圖形，畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過：”一切立體圖行中最完美的是球形，一切平面圖形中最完美的是圓。”在解析幾何當(dāng)中，我們還學(xué)習(xí)了圓柱，圓錐，旋轉(zhuǎn)曲面，橢球面等……這些圖形都具有對稱性，正是因?yàn)檫@些圖形的對稱性才有了今天生活中那么多美麗圖案，給我們的生活增添了美的感受。

笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何以后，將代數(shù)方程與幾何圖形建立起了一種對稱關(guān)系，使代數(shù)與幾何化為一體，達(dá)到了完美的統(tǒng)一，例如代數(shù)中的x1+x2， 均為對稱多項(xiàng)式，而對稱多項(xiàng)式又具有許多有趣的性質(zhì)，在我們解決某些復(fù)雜的代數(shù)問題時就可以利用這些性質(zhì)，用更巧妙的靈活的辦法來解決。又例如在三角形中的正弦定理可以說是幾何關(guān)系與代數(shù)對稱美的親密結(jié)合，例如在三角形ABC中有。其中

在代數(shù)運(yùn)算上的數(shù)學(xué)美可以說是數(shù)學(xué)里的一個奇跡，例如：下面的一列計(jì)算結(jié)果應(yīng)該會讓你嘆為觀止吧！

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

111111×111111=12345654321

1111111×1111111=1234567654321

11111111×11111111=123456787654321

111111111×111111111=12345678987654321

在我們進(jìn)行組合數(shù)的運(yùn)算時，其對稱美的性質(zhì)也為我們的計(jì)算帶來了一些方便，其公式可歸納為：即與首項(xiàng)，末項(xiàng)等距離的兩結(jié)果相等。

從更廣泛的意義上講，數(shù)論中的奇數(shù)和偶數(shù)（從奇偶性上區(qū)分），質(zhì)數(shù)和合數(shù)（從可分解性區(qū)分）。也可看成是對稱關(guān)系，從運(yùn)算角度看：+ 與 -，×與÷，乘冪與開方，指數(shù)與對數(shù)，微分與積分，矩陣與逆矩陣，………這些互逆運(yùn)算也可以視為一種“對稱”關(guān)系，從函數(shù)角度看，函數(shù)與反函數(shù)，也可以看成一中“對稱”（更一般的，變換與反變換，映像與逆映像等等也屬于對稱）。從命題的角度看，正定理與逆定理，否定理與逆否定理等也存在著“對稱”關(guān)系，這一點(diǎn)可以從圖中顯現(xiàn)出來：

應(yīng)該指出的是，無論是代數(shù)中的某些“對稱”（如代數(shù)多項(xiàng)式變動一些文字的排列），還是幾何中的“對稱”，人們總可以從中抽取某些共同的本質(zhì)屬性，加以抽象，從而產(chǎn)生新的概念。利用群論可以研究代數(shù)方程根的置換理論，研究幾何圖形變換（包括對稱），研究晶體結(jié)構(gòu)等。

二、對稱美的應(yīng)用

1.對稱美在數(shù)學(xué)研究中的作用

數(shù)學(xué)的對稱性除了作為數(shù)學(xué)自身的屬性外，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學(xué)方法之一。許多數(shù)學(xué)家往往出于對數(shù)學(xué)對稱美的考慮而獲得重要的數(shù)學(xué)結(jié)果。

2.補(bǔ)全數(shù)學(xué)對稱美

有些數(shù)學(xué)問題系對稱圖形，對偶數(shù)式等的一部分，粗看殘缺不齊，沒有規(guī)律，處理起來頗為不易，這時，不妨將其補(bǔ)全為對稱問題，利用其對稱美來解，饒有趣味。

例：在球面上有4個點(diǎn)P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球面的面積是（ ）。（1991年的全國高考題。）

分析 ：把三凌錐P-ABC“補(bǔ)美”構(gòu)造為菱長為a的正方體，容易求得正方體的對角線長為，從而外接球半徑為，故球面面積

3. 構(gòu)造數(shù)學(xué)對稱美

很多數(shù)學(xué)問題并不具有對稱美的特征，但是我們通過觀察，類比，聯(lián)想，構(gòu)造出與它對稱的圖形或者對偶的命題，利用我們賦予給數(shù)學(xué)問題的美，則我們就能夠找到巧妙別致的解體思路。

例：如果，證明：。

分析 對兩正數(shù)用來構(gòu)造美，設(shè)，取，則，由的構(gòu)造知道，，這樣，兩數(shù)通過構(gòu)造就成為兩個對稱的數(shù)，于是得到了下面這個式子：

4.對稱美具有檢驗(yàn)真理的作用

科學(xué)史上許多偉人的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，都是由于追求美感所指引的，但數(shù)學(xué)的對稱美也具有檢驗(yàn)真理的作用，大家所熟悉的 ，是數(shù)學(xué)中的最重要的常數(shù)，計(jì)算 的近似值，一直以來都引發(fā)許多數(shù)學(xué)家的興趣，即使不是學(xué)數(shù)學(xué)的人們，都以能夠背誦其值的小數(shù)位數(shù)的值而進(jìn)行了許多努力，隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，他別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，計(jì)算出的 的小數(shù)點(diǎn)的為數(shù)不斷被刷新，1872年，英國學(xué)者威廉。向克斯計(jì)算出小數(shù)點(diǎn)后的707位，若干年后。數(shù)學(xué)家法格遜發(fā)現(xiàn)，向克斯算出的707位數(shù)字中，0—9這10個數(shù)字中出現(xiàn)的頻率相差太大，這完全不符合數(shù)學(xué)對稱美的審美原則，法格遜有一種直覺，他懷疑向克斯的計(jì)算可能有錯誤，于是下決心進(jìn)行檢驗(yàn)，法格遜整整花了一年的時間進(jìn)行檢驗(yàn)，終于發(fā)現(xiàn)707位中只有前面的527位是正確的，但憑借當(dāng)時的條件，法格遜仍然未能證明他出自審美要求的猜想是正確的，人們想驗(yàn)證它，但卻苦于已知的位數(shù)太少，直到1937年法國學(xué)者讓。蓋克和芳旦娜對的小數(shù)點(diǎn)后1106位中的各數(shù)字出現(xiàn)的頻率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其記錄是：各個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)雖然有差異，但出現(xiàn)的頻率卻都是 ，這個記錄從而證明了法格遜的猜想是正確的。因此說數(shù)學(xué)中的對稱美的具有檢驗(yàn)真理的作用。

綜上所述，對稱性在數(shù)學(xué)中是普遍存在的，對稱性在數(shù)學(xué)的研究與學(xué)習(xí)中也扮演著重要的角色，因此我們在從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的過程中，應(yīng)注意挖掘數(shù)學(xué)中豐富多彩的美的因素，利用數(shù)學(xué)美的簡單性，對稱性，相似性，和諧性與奇異性考察數(shù)學(xué)對象，思考數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)思維的美學(xué)方法和解題策略。endprint

一、對稱美

數(shù)學(xué)對稱美最直觀的感覺就是數(shù)學(xué)圖形的對稱美，對稱通常是指圖形或物體對某個點(diǎn)，直線或平面而言，在大小形狀相排列上具有一 一對應(yīng)的關(guān)系，在幾何圖形中等腰三角形是軸對稱圖形，圓是關(guān)于圓心成中心對稱的圖形，也是關(guān)于直徑成軸對稱圖形，正方行關(guān)于其中心是對稱的，而對于球形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，同時也是面對稱圖形，畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過：”一切立體圖行中最完美的是球形，一切平面圖形中最完美的是圓。”在解析幾何當(dāng)中，我們還學(xué)習(xí)了圓柱，圓錐，旋轉(zhuǎn)曲面，橢球面等……這些圖形都具有對稱性，正是因?yàn)檫@些圖形的對稱性才有了今天生活中那么多美麗圖案，給我們的生活增添了美的感受。

笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何以后，將代數(shù)方程與幾何圖形建立起了一種對稱關(guān)系，使代數(shù)與幾何化為一體，達(dá)到了完美的統(tǒng)一，例如代數(shù)中的x1+x2， 均為對稱多項(xiàng)式，而對稱多項(xiàng)式又具有許多有趣的性質(zhì)，在我們解決某些復(fù)雜的代數(shù)問題時就可以利用這些性質(zhì)，用更巧妙的靈活的辦法來解決。又例如在三角形中的正弦定理可以說是幾何關(guān)系與代數(shù)對稱美的親密結(jié)合，例如在三角形ABC中有。其中

在代數(shù)運(yùn)算上的數(shù)學(xué)美可以說是數(shù)學(xué)里的一個奇跡，例如：下面的一列計(jì)算結(jié)果應(yīng)該會讓你嘆為觀止吧！

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

111111×111111=12345654321

1111111×1111111=1234567654321

11111111×11111111=123456787654321

111111111×111111111=12345678987654321

在我們進(jìn)行組合數(shù)的運(yùn)算時，其對稱美的性質(zhì)也為我們的計(jì)算帶來了一些方便，其公式可歸納為：即與首項(xiàng)，末項(xiàng)等距離的兩結(jié)果相等。

從更廣泛的意義上講，數(shù)論中的奇數(shù)和偶數(shù)（從奇偶性上區(qū)分），質(zhì)數(shù)和合數(shù)（從可分解性區(qū)分）。也可看成是對稱關(guān)系，從運(yùn)算角度看：+ 與 -，×與÷，乘冪與開方，指數(shù)與對數(shù)，微分與積分，矩陣與逆矩陣，………這些互逆運(yùn)算也可以視為一種“對稱”關(guān)系，從函數(shù)角度看，函數(shù)與反函數(shù)，也可以看成一中“對稱”（更一般的，變換與反變換，映像與逆映像等等也屬于對稱）。從命題的角度看，正定理與逆定理，否定理與逆否定理等也存在著“對稱”關(guān)系，這一點(diǎn)可以從圖中顯現(xiàn)出來：

應(yīng)該指出的是，無論是代數(shù)中的某些“對稱”（如代數(shù)多項(xiàng)式變動一些文字的排列），還是幾何中的“對稱”，人們總可以從中抽取某些共同的本質(zhì)屬性，加以抽象，從而產(chǎn)生新的概念。利用群論可以研究代數(shù)方程根的置換理論，研究幾何圖形變換（包括對稱），研究晶體結(jié)構(gòu)等。

二、對稱美的應(yīng)用

1.對稱美在數(shù)學(xué)研究中的作用

數(shù)學(xué)的對稱性除了作為數(shù)學(xué)自身的屬性外，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學(xué)方法之一。許多數(shù)學(xué)家往往出于對數(shù)學(xué)對稱美的考慮而獲得重要的數(shù)學(xué)結(jié)果。

2.補(bǔ)全數(shù)學(xué)對稱美

有些數(shù)學(xué)問題系對稱圖形，對偶數(shù)式等的一部分，粗看殘缺不齊，沒有規(guī)律，處理起來頗為不易，這時，不妨將其補(bǔ)全為對稱問題，利用其對稱美來解，饒有趣味。

例：在球面上有4個點(diǎn)P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球面的面積是（ ）。（1991年的全國高考題。）

分析 ：把三凌錐P-ABC“補(bǔ)美”構(gòu)造為菱長為a的正方體，容易求得正方體的對角線長為，從而外接球半徑為，故球面面積

3. 構(gòu)造數(shù)學(xué)對稱美

很多數(shù)學(xué)問題并不具有對稱美的特征，但是我們通過觀察，類比，聯(lián)想，構(gòu)造出與它對稱的圖形或者對偶的命題，利用我們賦予給數(shù)學(xué)問題的美，則我們就能夠找到巧妙別致的解體思路。

例：如果，證明：。

分析 對兩正數(shù)用來構(gòu)造美，設(shè)，取，則，由的構(gòu)造知道，，這樣，兩數(shù)通過構(gòu)造就成為兩個對稱的數(shù)，于是得到了下面這個式子：

4.對稱美具有檢驗(yàn)真理的作用

科學(xué)史上許多偉人的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，都是由于追求美感所指引的，但數(shù)學(xué)的對稱美也具有檢驗(yàn)真理的作用，大家所熟悉的 ，是數(shù)學(xué)中的最重要的常數(shù)，計(jì)算 的近似值，一直以來都引發(fā)許多數(shù)學(xué)家的興趣，即使不是學(xué)數(shù)學(xué)的人們，都以能夠背誦其值的小數(shù)位數(shù)的值而進(jìn)行了許多努力，隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，他別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，計(jì)算出的 的小數(shù)點(diǎn)的為數(shù)不斷被刷新，1872年，英國學(xué)者威廉。向克斯計(jì)算出小數(shù)點(diǎn)后的707位，若干年后。數(shù)學(xué)家法格遜發(fā)現(xiàn)，向克斯算出的707位數(shù)字中，0—9這10個數(shù)字中出現(xiàn)的頻率相差太大，這完全不符合數(shù)學(xué)對稱美的審美原則，法格遜有一種直覺，他懷疑向克斯的計(jì)算可能有錯誤，于是下決心進(jìn)行檢驗(yàn)，法格遜整整花了一年的時間進(jìn)行檢驗(yàn)，終于發(fā)現(xiàn)707位中只有前面的527位是正確的，但憑借當(dāng)時的條件，法格遜仍然未能證明他出自審美要求的猜想是正確的，人們想驗(yàn)證它，但卻苦于已知的位數(shù)太少，直到1937年法國學(xué)者讓。蓋克和芳旦娜對的小數(shù)點(diǎn)后1106位中的各數(shù)字出現(xiàn)的頻率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其記錄是：各個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)雖然有差異，但出現(xiàn)的頻率卻都是 ，這個記錄從而證明了法格遜的猜想是正確的。因此說數(shù)學(xué)中的對稱美的具有檢驗(yàn)真理的作用。

綜上所述，對稱性在數(shù)學(xué)中是普遍存在的，對稱性在數(shù)學(xué)的研究與學(xué)習(xí)中也扮演著重要的角色，因此我們在從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的過程中，應(yīng)注意挖掘數(shù)學(xué)中豐富多彩的美的因素，利用數(shù)學(xué)美的簡單性，對稱性，相似性，和諧性與奇異性考察數(shù)學(xué)對象，思考數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)思維的美學(xué)方法和解題策略。endprint

一、對稱美

數(shù)學(xué)對稱美最直觀的感覺就是數(shù)學(xué)圖形的對稱美，對稱通常是指圖形或物體對某個點(diǎn)，直線或平面而言，在大小形狀相排列上具有一 一對應(yīng)的關(guān)系，在幾何圖形中等腰三角形是軸對稱圖形，圓是關(guān)于圓心成中心對稱的圖形，也是關(guān)于直徑成軸對稱圖形，正方行關(guān)于其中心是對稱的，而對于球形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，同時也是面對稱圖形，畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說過：”一切立體圖行中最完美的是球形，一切平面圖形中最完美的是圓。”在解析幾何當(dāng)中，我們還學(xué)習(xí)了圓柱，圓錐，旋轉(zhuǎn)曲面，橢球面等……這些圖形都具有對稱性，正是因?yàn)檫@些圖形的對稱性才有了今天生活中那么多美麗圖案，給我們的生活增添了美的感受。

笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何以后，將代數(shù)方程與幾何圖形建立起了一種對稱關(guān)系，使代數(shù)與幾何化為一體，達(dá)到了完美的統(tǒng)一，例如代數(shù)中的x1+x2， 均為對稱多項(xiàng)式，而對稱多項(xiàng)式又具有許多有趣的性質(zhì)，在我們解決某些復(fù)雜的代數(shù)問題時就可以利用這些性質(zhì)，用更巧妙的靈活的辦法來解決。又例如在三角形中的正弦定理可以說是幾何關(guān)系與代數(shù)對稱美的親密結(jié)合，例如在三角形ABC中有。其中

在代數(shù)運(yùn)算上的數(shù)學(xué)美可以說是數(shù)學(xué)里的一個奇跡，例如：下面的一列計(jì)算結(jié)果應(yīng)該會讓你嘆為觀止吧！

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

111111×111111=12345654321

1111111×1111111=1234567654321

11111111×11111111=123456787654321

111111111×111111111=12345678987654321

在我們進(jìn)行組合數(shù)的運(yùn)算時，其對稱美的性質(zhì)也為我們的計(jì)算帶來了一些方便，其公式可歸納為：即與首項(xiàng)，末項(xiàng)等距離的兩結(jié)果相等。

從更廣泛的意義上講，數(shù)論中的奇數(shù)和偶數(shù)（從奇偶性上區(qū)分），質(zhì)數(shù)和合數(shù)（從可分解性區(qū)分）。也可看成是對稱關(guān)系，從運(yùn)算角度看：+ 與 -，×與÷，乘冪與開方，指數(shù)與對數(shù)，微分與積分，矩陣與逆矩陣，………這些互逆運(yùn)算也可以視為一種“對稱”關(guān)系，從函數(shù)角度看，函數(shù)與反函數(shù)，也可以看成一中“對稱”（更一般的，變換與反變換，映像與逆映像等等也屬于對稱）。從命題的角度看，正定理與逆定理，否定理與逆否定理等也存在著“對稱”關(guān)系，這一點(diǎn)可以從圖中顯現(xiàn)出來：

應(yīng)該指出的是，無論是代數(shù)中的某些“對稱”（如代數(shù)多項(xiàng)式變動一些文字的排列），還是幾何中的“對稱”，人們總可以從中抽取某些共同的本質(zhì)屬性，加以抽象，從而產(chǎn)生新的概念。利用群論可以研究代數(shù)方程根的置換理論，研究幾何圖形變換（包括對稱），研究晶體結(jié)構(gòu)等。

二、對稱美的應(yīng)用

1.對稱美在數(shù)學(xué)研究中的作用

數(shù)學(xué)的對稱性除了作為數(shù)學(xué)自身的屬性外，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學(xué)方法之一。許多數(shù)學(xué)家往往出于對數(shù)學(xué)對稱美的考慮而獲得重要的數(shù)學(xué)結(jié)果。

2.補(bǔ)全數(shù)學(xué)對稱美

有些數(shù)學(xué)問題系對稱圖形，對偶數(shù)式等的一部分，粗看殘缺不齊，沒有規(guī)律，處理起來頗為不易，這時，不妨將其補(bǔ)全為對稱問題，利用其對稱美來解，饒有趣味。

例：在球面上有4個點(diǎn)P，A，B，C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球面的面積是（ ）。（1991年的全國高考題。）

分析 ：把三凌錐P-ABC“補(bǔ)美”構(gòu)造為菱長為a的正方體，容易求得正方體的對角線長為，從而外接球半徑為，故球面面積

3. 構(gòu)造數(shù)學(xué)對稱美

很多數(shù)學(xué)問題并不具有對稱美的特征，但是我們通過觀察，類比，聯(lián)想，構(gòu)造出與它對稱的圖形或者對偶的命題，利用我們賦予給數(shù)學(xué)問題的美，則我們就能夠找到巧妙別致的解體思路。

例：如果，證明：。

分析 對兩正數(shù)用來構(gòu)造美，設(shè)，取，則，由的構(gòu)造知道，，這樣，兩數(shù)通過構(gòu)造就成為兩個對稱的數(shù)，于是得到了下面這個式子：

4.對稱美具有檢驗(yàn)真理的作用

科學(xué)史上許多偉人的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)，都是由于追求美感所指引的，但數(shù)學(xué)的對稱美也具有檢驗(yàn)真理的作用，大家所熟悉的 ，是數(shù)學(xué)中的最重要的常數(shù)，計(jì)算 的近似值，一直以來都引發(fā)許多數(shù)學(xué)家的興趣，即使不是學(xué)數(shù)學(xué)的人們，都以能夠背誦其值的小數(shù)位數(shù)的值而進(jìn)行了許多努力，隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，他別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，計(jì)算出的 的小數(shù)點(diǎn)的為數(shù)不斷被刷新，1872年，英國學(xué)者威廉。向克斯計(jì)算出小數(shù)點(diǎn)后的707位，若干年后。數(shù)學(xué)家法格遜發(fā)現(xiàn)，向克斯算出的707位數(shù)字中，0—9這10個數(shù)字中出現(xiàn)的頻率相差太大，這完全不符合數(shù)學(xué)對稱美的審美原則，法格遜有一種直覺，他懷疑向克斯的計(jì)算可能有錯誤，于是下決心進(jìn)行檢驗(yàn)，法格遜整整花了一年的時間進(jìn)行檢驗(yàn)，終于發(fā)現(xiàn)707位中只有前面的527位是正確的，但憑借當(dāng)時的條件，法格遜仍然未能證明他出自審美要求的猜想是正確的，人們想驗(yàn)證它，但卻苦于已知的位數(shù)太少，直到1937年法國學(xué)者讓。蓋克和芳旦娜對的小數(shù)點(diǎn)后1106位中的各數(shù)字出現(xiàn)的頻率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其記錄是：各個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)雖然有差異，但出現(xiàn)的頻率卻都是 ，這個記錄從而證明了法格遜的猜想是正確的。因此說數(shù)學(xué)中的對稱美的具有檢驗(yàn)真理的作用。

綜上所述，對稱性在數(shù)學(xué)中是普遍存在的，對稱性在數(shù)學(xué)的研究與學(xué)習(xí)中也扮演著重要的角色，因此我們在從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的過程中，應(yīng)注意挖掘數(shù)學(xué)中豐富多彩的美的因素，利用數(shù)學(xué)美的簡單性，對稱性，相似性，和諧性與奇異性考察數(shù)學(xué)對象，思考數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)思維的美學(xué)方法和解題策略。endprint