如何解決工農業生產銷售中的優化問題

張少林

(麗江師范高等?？茖W校數學與計算機科學系,云南麗江 674100)

如何解決工農業生產銷售中的優化問題

張少林

(麗江師范高等專科學校數學與計算機科學系,云南麗江 674100)

不論在工農業生產、經濟學中,還是管理學、工程技術及科學實驗中,小至日常用具的制作,大至生產科研和各類經營活動,都要講究效率,考慮怎樣以以最小的投入最大化的解決問題。這類問題統稱為優化問題,也是每年考研數學必考內容,然而不少大學生在面臨該類問題時,仍習慣于利用中學時代配方法求解,費時不少,吃力不小,卻效果不好。本文僅舉例說明在工農業生產銷售中如何解決優化問題,希望對大學生的學習和備考有所幫助。

優化問題 函數的極值

不論在工農業生產、經濟學中,還是管理學、工程技術及科學實驗中,人們做任何事情,小至日常用具的制作,大至生產科研和各類經營活動,都要講究效率,考慮怎樣以最小的投入得到最大的產出,或者最大化的解決問題。這類問題,在數學上往往可以歸結為求某一函數在某個集合內的的最大值或最小值問題,這個函數稱為目標函數,函數取值的集合稱為約束集或可行域。這類問題統稱為優化問題[1]。該類問題也是每年考研數學必考內容,然而不少高校理工類、經濟類、管理類等門類學生在面臨該類問題時,仍然習慣于采用中學時代配方法求解,費時不少,吃力不小,卻效果不好。本文僅舉例說明在工農業生產銷售中如何解決優化問題,希望對大學生的學習和備考有所幫助。

1 工農業生產銷售中的優化問題實例

例1 從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個扇形做成一個漏斗。問留下的扇形的中心角φ取多大時,做成的漏斗的容積最大[1]？

解：設漏斗為一個半徑為r,高為h的正圓錐,則中心角為φ的扇形鐵片的圓弧之長Rφ就是漏斗的底圓之周長 2πr,即2πr=Rφ,而漏斗的高為于是漏斗的容積為

例2在在化工生產中,反應罐內的液態化工原料排出后會在罐壁上留下10kg的殘液?，F用一定的清水分兩次沖洗反應罐,問如何分配兩次的水量,才能使得第二次沖洗后罐壁上所留殘液中化工原料最少[2]

解：設一定量的水為W,第一次用水量為x,則第二次用水量為W-x(單位kg)。沖洗前,化工原料殘液為10,第一次沖洗放水后,殘液中化工原料含量為,

第二次沖洗放水后,殘液中化工原料含量為

兩次沖洗效果最好就是R(x)最小,為此求f(x)=(10 +x)((10+W-x)(0 ＜x＜W)的最大值。

令f′(x) =W- 2x=0,得因f′′(x)=-2 ＜0, 故為最大,即

例3設某商品的需求量Q是單價P(單位：元)的函數Q=12000- 80P;商品的總成本C是需求量Q的函數C=25000 + 50Q;每單位商品需要納稅2元,試求使銷售利潤最大的商品單價和最大利潤額[3]。

解：因Q=12000 - 80P,C=25000 + 50Q=25000 +50(120000 - 80P)=625000 - 4000P,

故 總 利 潤 函 數L=PQ-C- 2Q=(P- 2)Q-C=(P-2)()(12000 - 80P)- 62500 + 4000P=- 80P2+ 16160P-649000

由此可見當P=101(元)時獲利最大,且最大利潤maxL=L(101)=167080(元)。

例4設平均收益函數和總成本函數分別為AR=a-bQ,,其中常數

a＞ 0,b＞0待定。已知當邊際收益MR=67,且需求價格彈性時,總利潤最大。求總利潤最大時的產量,并確定a,b的值[3]。

最大的產量Q及相應的a,b應滿足L′(Q)=0,MR=67 及即

把第一組數據中的a,b代入得總利潤函數+ 11Q- 50,雖然L′(3)=0,L′(3 )＜0,即L(3)確實是L(x)最大值,但L(3)＜0,不符合實際,故應舍去。

把第二組數據中的a,b代入得總利潤函數也有,L′(11)=0,即L′(11)＜ 0,即是L(x)的最大值,故a=111,b=2,是所求常數的值,使利潤最大的產量Q=11。

2 小結

優化問題廣泛存在于各行各業及日常生活生產實踐中,本文所選實例只是滄海一粟, 但由上述事例可以看出解決優化問題要根據不同問題的具體情況采用不同的數學方法,首先根據實際問題,找出變量并列出目標函數f(x)的表達式,雖然函數極大值、極小值與最大值、最小值一般不同,但如果問題所涉及的目標函數具有連續性和可導性,可行域又是一個區間,往往可以采用微分學的方法加以解決：(1)求出目標函數f(x)的全部駐點(即求出方程的全部實根)與不可導點算出比較上述值的大小,就得到最大值和最小值;(2)若f(x)在x0處存在二階導數且f(x)′≠0,當f(x)′＜0時,函數f(x)在x0處取得極大值,當

0時,函數f(x)在x0處取得極小值,即可確定最大值和最小值(如例2),從而解決優化問題,但一定要注意所求最值必須有實際意義,否則不是真的最值(如例4)。

由例1、例3可知,在實際問題中,如果根據問題的性質可以判斷目標函數f(x)在其定義區間I內部確實有最大值和最小值,而f(x)在I內可導且只有唯一的駐點x0,那么就可以斷言f(x0)必定是f(x)的最大值或最小值。不需要另行判定[1]。

[1]同濟大學應用數學系.微積分(上冊)[M].高等教育出版社,2002.169,175,173.

[2]同濟大學應用數學系.武漢科技學院數理系.微積分學習指導書[M].高等教育出版社,2002.124.

[3]劉西垣,李永樂,袁蔭棠.2012年數學復習全書(考研數學三經濟類)[M].國家行政學院出版社.2011.106,113.