剪刀機構環形陣列可展結構的運動學與動力學研究

袁 茹 王 劍 王三民 劉國林

西北工業大學，西安，710072

0 引言

空間可展結構是一種由收縮狀態展開成預先設定的展開狀態、承受載荷并保持穩定構型的結構，該結構在航天、航空、建筑等領域具有廣闊的應用前景［1］。

Pinero［2］是較早研究可展結構的學者之一，他以剪刀機構作為單元機構設計出了可展結構并將其成功應用于開合式屋頂。You等［3］通過給定尺寸約束，將剪刀機構分成兩類，討論了它們的幾何特性和構成平面環形可展結構的方法。Zhao等［4］應用螺旋理論，從機構學的角度，研究了剪刀機構構成不同形狀的可展結構的方法。楊毅等［5］應用帶懲罰的變密度法(solid isotropic material with penalization，SIMP)對剪刀機構進行了拓撲優化研究。Kipe等［6］通過對曲柄滑塊機構進行演繹，獲得了多邊形和多面體可展結構，其單元機構仍然是剪刀機構。Lu等［7］采用平衡矩陣法研究了剪刀單元構成的平面可展結構的運動學特性。Charis［8］采用剪刀機構構成平面和曲面可展結構，并研究了其展開過程中的幾何非線性現象和桿件的變形情況。

1982年，Thomas等［9］提出了機構的運動影響系數的概念，并指出“機構的運動影響系數與變化的運動參數無關，僅由機構的幾何參數決定”。Huang等［10-11］采用影響系數法研究了6-6R機構的運動學和受力情況。在進行受力分析時，將方程個數從186降到6，大大簡化了計算過程。

國內外有許多學者在從事可展結構的研究工作，但是，關于可展結構展開過程的運動學和動力學的研究還很不成熟。本文首先探討了構成環形可展結構的剪刀機構的幾何參數之間的關系;然后依據剪刀機構環形陣列可展結構的特點，采用單元機構法分析了剪刀機構的運動學和動力學特性，獲得其一階和二階運動影響系數;其次，結合運動影響系數法和單元機構法，分析了環形可展結構展開過程的運動學和動力學特性，為大型陣列組合機構的運動學和動力學分析提供了參考。

1 環狀陣列結構的構型分析

剪刀單元機構如圖1所示，由兩個桿件A1CB1、A2CB2構成，A1CB1和 A2CB2在點 C 處鉸接，設兩桿件各段的長度分別為 l1、l2、l3、l4，CA1與 CB1夾角為 β1，CA2與 CB2夾角為 β2，A1B2與A2B1夾角為α，CA1與CA2夾角為2θ，這些即為剪刀單元的位形參數。將相鄰剪刀單元機構的A1與A2鉸接，B1與B2鉸接，即可構成環形可展結構，如圖2所示。該環形可展結構由8個剪刀機構環形陣列組成。

對于由n個剪刀單元機構構成的環形可展結構，α可以表示為相鄰單元之間滿足鄰接條件，即有A1B2=A2B1，根據余弦定理，同時由θ在展開過程中的任意性，得幾何構型條件:

圖1 剪刀單元機構

圖2 剪刀單元機構構成的環形可展結構

或

對式(2)，根據幾何關系可以證明，OC連線平分α角，并與連線A1A2、B1B2垂直，所以有

整理式(4)，同時結合θ的任意性，得

由式(5)得

結合式(2)，得

式(1)和式(7)即為剪刀單元機構環形陣列構成可展結構的機構尺寸要求。以下表達中，l1、l2、l3、l4統一用l替代。

各單元的中間鉸接點C位于以點O為圓心、R為半徑的圓上，根據幾何關系有

當完全展開時，點A1和B2、A2和B1分別重合，得到最大展開半徑表達式為

當完全收攏時，θ=0，點A1、A2重合，得到最小收攏半徑表達式為

由此可見，剪刀機構環形陣列可展結構的收攏率為

2 運動學分析

對n個剪刀單元構成的環形可展結構，按順時針方向對各單元依次編號為1，2，…，n，如圖3所示。

圖3 剪式機構環形陣列坐標系的建立

以環形可展機構的圓心O為原點，建立固定坐標系ΣXOY，其中OY軸過單元1的鉸鏈點C，在單元i上建立動坐標系ΣixiOyi，其中Oyi軸過單元i的鉸鏈點A1、B2。根據前述幾何關系，OY軸與單元1中構件1的CA1邊夾角等于θ。

由于動坐標系ΣixiOyi與固定坐標系ΣXOY的原點重合于O點，根據坐標系的旋轉變換關系，得

單元機構i中兩構件CA1、CA2與固定坐標系OX軸夾角表示為

式(12)對時間t分別求一階、二階導數，得C點的速度和加速度方程為

式(18)說明展開過程中，鉸鏈點C的速度方向保持不變。

式(15)對時間t分別求一階、二階導數，得單元機構i中兩構件的角速度和角加速度方程分別為

3 動力學分析

假設構成剪刀機構的兩個構件的質心均在C點，可展結構的展開過程由位于點C處的扭簧驅動。

單元i兩構件的慣性力和慣性力矩分別表示為

當單元機構發生虛位移Δθ時，單元i的慣性力和慣性力矩所做的虛功可以表示為

扭簧扭矩所做的虛功為

式中，K為扭簧剛度;s0為扭簧的初始形變。

根據虛功原理，得

結合運動學公式，可得原定義的角加速度為

式中，2θ0、2ω0為單元1中構件 1、2 的初始夾角和相對角速度初始值。

結合運動學公式可得各構件的角位移、角速度和角加速度及各鉸鏈點位置的線位移、線速度和線加速度。

4 算例

根據式(28)得剪刀單元機構的角度參數θ表達式為

結合運動學公式可得各構件的角位移、角速度和角加速度表達式。

根據式(12)可得可展結構展開過程中的位形，如圖4所示。圖中，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示完全收攏、半展開、完全展開狀態的位形，徑向射線表示各鉸鏈點的軌跡線。根據圖4，并結合式(18)可知，在展開過程中，各鉸鏈點沿半徑方向運動，軌跡為直線。A1B2與A2B1夾角α保持不變。

圖4 展開過程

根據式(12)得，單元1、4、7、10 的點C 在x、y方向的位移曲線分別如圖5、圖6所示。圖5中鉸鏈點C1、C7的x方向的位移始終為0，圖6中鉸鏈點C4、C10的y方向的位移始終為0。

圖5 鉸鏈點C1、C4、C7、C10在x方向的位移曲線

圖6 鉸鏈點C1、C4、C7、C10在y方向的位移曲線

根據式(16)得，單元1、4、7、10 的點C 在x、y方向的速度曲線分別如圖7、圖8所示。圖7中鉸鏈點C1、C7的x方向的速度始終為0，圖8中鉸鏈點C4、C10的y方向的速度始終為0。

圖7 鉸鏈點C1、C4、C7、C10在x方向的速度曲線

圖8 鉸鏈點C1、C4、C7、C10在y方向的速度曲線

根據式(17)得，單元1、4、7、10 的點 C 在 x、y方向的加速度曲線分別如圖9、圖10所示。圖9中鉸鏈點C1、C7的x方向的加速度始終為0，圖8中鉸鏈點C4、C10的y方向的加速度始終為0。

圖9 鉸鏈點C1、C4、C7、C10在x方向的加速度曲線

圖10 鉸鏈點C1、C4、C7、C10在y方向的加速度曲線

5 結論

(1)剪刀機構環形陣列形成的可展結構，其收攏率與單元機構桿長無關，僅取決于機構的個數。

(2)根據可展結構是由一種單元結構陣列組合的特點，建立了單元結構的運動方程和動力學方程，通過集成形成了可展結構的運動學與動力學分析方法。

(3)采用運動影響系數法和單元機構法進行了環形可展結構展開過程的運動學與動力學分析，得到了剪刀單元機構位形參數θ的表達式及各構件的角位移、角速度和角加速度表達式;獲得了環形可展結構展開過程中，各單元鉸鏈點C的位移、速度和加速度曲線。

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