一種面齒輪傳動時變嚙合剛度數值計算方法

雷敦財 唐進元

中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙，410083

0 引言

作為機械裝置中的一個重要零部件，齒輪傳動被廣泛應用于航空、風電、汽車等領域。隨著工作轉速的逐步提高，齒輪傳動的動力學性能越來越受到設計、制造及使用者的重視［1］。相比較其他類型的傳動系統，齒輪傳動系統的主要不同之處在于:它不但會因為外部激勵而產生動態響應，同時會因為傳動過程中嚙合齒對數的改變、輪齒的彈性變形及輪齒誤差而導致嚙合剛度發生變化，從而產生輪齒動態嚙合力，且此種由于嚙合綜合剛度的時變性引起的動態激勵是齒輪傳動中最主要的動態激勵形式之一。因此，確定齒輪傳動的時變嚙合剛度一直是齒輪動力學研究中的重要問題［2-3］。

對于圓柱齒輪的嚙合剛度計算問題，已有較多的學者進行過深入研究，得到了一些比較成熟的計算方法［4-5］。對于面齒輪及螺旋錐齒輪等結構相對復雜的齒輪傳動形式的嚙合剛度計算問題，由于其齒面為復雜曲面，要準確計算時變嚙合剛度存在較大難度，因此相關研究文獻較少。Gosselin等［6］基于有限條法給出了計算螺旋錐齒輪剛度的方法，但也只得到了沿齒高和齒長方向的位移曲線，并沒有得到剛度曲線。Mennem等［7］使用有限單元法計算了不同載荷下輪齒接觸柔度，獲得了時變剛度。

面齒輪傳動是近二十年才真正發展起來的一種主要用于航空領域的齒輪傳動形式［8-12］，針對其嚙合剛度的計算方法，目前尚未見文獻報道。在面齒輪的動力學研究中，齒輪嚙合剛度都采用經過傅里葉變換后的一次正余弦函數來近似，與實際嚙合剛度存在比較大的差異。有學者研究發現，采用近似時變嚙合剛度得到的系統動態因子比采用實際嚙合剛度時大，而且不能有效地得到系統在低頻階段的動態響應。因此，采用近似時變嚙合剛度來擬合實際嚙合剛度研究齒輪傳動系統動力學行為，并不能正確反映齒輪系統的動態特性。

本文提出了一種新的齒輪傳動時變嚙合剛度數值計算方法。首先以直齒圓柱齒輪為例，建立合理的有限元模型，得到直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度曲線，并與ISO6336［13］方法計算結果進行對比，說明該嚙合剛度計算方法的正確性及有限元模型的精確性;然后應用該嚙合剛度計算方法，研究面齒輪傳動時變嚙合剛度變化規律，得到精確的面齒輪傳動時變嚙合剛度曲線。研究結果為面齒輪傳動的動力學分析及設計提供參考。

1 齒輪傳動嚙合剛度計算方法

圖1 嚙合剛度示意圖

在齒輪運轉過程中，輪齒之間的嚙合作用可以簡化為一個在嚙合線方向上的時變彈簧，彈簧剛度等于該時刻的嚙合剛度，如圖1所示。圖中，ω 為主動輪轉速，Rbp、Rbg分別為主從動輪基圓半徑，Km為嚙合剛度，T 為 負 載 扭 矩，LOA(line of action)表示嚙合線。

齒輪嚙合剛度的一般表達式為

其中，Fn為法向接觸力;δn為法向綜合彈性變形，它應包括由于局部赫茲接觸產生的接觸彈性變形量δH、輪齒彎曲產生的接觸位置的位移δF、輪轂變形產生的接觸位置的位移δR、軸和支撐結構變形對接觸點位置的影響量δA。由于考慮軸、軸承及支撐結構變形會使問題過于復雜，故本文暫只考慮 δH、δF及 δR，因此可以得到

在齒輪傳動過程中，由于輪齒受載變形及齒輪誤差，從動輪轉動位置會偏離其不考慮受載變形及齒輪誤差時所應處的理想轉動位置。齒輪傳遞誤差eT在1958年被Harris定義為“從動輪實際轉動位移與理想轉動位移之差”［14］，如圖2所示，其一般表達式為

式中，θp、θg分別為主從動輪轉角;zp、zg分別為主從動輪齒數。

假設齒輪沒有承受載荷，此時輪齒沒有彈性變形，但是由于輪齒誤差的存在，依舊會產生無負載傳遞誤差eNLT。在齒輪傳動的加載接觸分析中，由于存在幾何模型誤差、有限元網格劃分產生的幾何誤差以及網格劃分產生的尺側間隙，故無負載傳遞誤差是不可避免的。無負載傳遞誤差導致齒輪嚙合過程中輪齒產生剛性位移，該位移在計算輪齒受載變形時必須減除。同時，為了方便理解，將傳遞誤差轉換成嚙合線方向上的位移，因此可以得到齒輪副在一定負載下的受載傳遞誤差eLT一般表達式:

圖2 傳遞誤差計算示意圖

由此可以得到輪齒嚙合過程中綜合彈性變形

故而，齒輪嚙合剛度計算的一般表達式為

2 嚙合剛度數值計算方法驗證

由于結構的復雜性，面齒輪傳動嚙合剛度計算方法目前尚未見相關文獻報道。為了說明上述嚙合剛度計算方法的正確性及有限元模型的精確性，本文先以直齒圓柱齒輪為例進行計算，并將其與ISO6336:2006方法的計算結果進行對比。

2.1 有限元建模

基于唐進元等［15］提出的齒輪虛擬加工制造方法，采用表1所示齒輪傳動參數，得到高精度的直齒圓柱齒輪三維幾何裝配模型。

表1 直齒圓柱齒輪幾何參數

為了節約計算成本，忽略軸及軸承等支撐結構的影響。鑒于靜力學分析中質量分布不會影響分析結果，因此在模型中僅考慮可能產生嚙合的5對輪齒，其他部分簡化為一個輪緣圓柱，并分別在大小輪內孔面與其對應旋轉軸線上的參考點之間建立剛性耦合約束，在大輪耦合節點施加負載扭矩，在小輪耦合節點施加轉動位移，以此來模擬小輪通過與大輪嚙合抵消大輪反抗扭矩帶動大輪運轉的實際工況，邊界條件如圖3所示。對可能發生接觸的5對輪齒進行局部網格細化，齒厚方向最小網格尺寸為0.037 mm，齒高方向最小網格尺寸為0.142 mm，總節點數為180 462，總單元數為158 592。網格模型如圖4所示。

圖3 圓柱齒輪模型邊界條件示意圖

圖4 圓柱齒輪模型網格劃分

將大輪及小輪的工作齒面定義為接觸對，暫不考慮摩擦對嚙合剛度的影響。采用隱式靜力學分析算法，輸出接觸力及大小輪的繞自身旋轉軸線的旋轉位移歷程曲線。

2.2 直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算

理論上，標準漸開線齒輪的靜態傳遞誤差為零，但考慮到有限元模型不可避免地存在網格劃分帶來的幾何誤差，且有限元分析時必須要有完整的邊界約束條件，因此，本文近似以大輪負載為13.2 N·m時的傳遞誤差作為無負載傳遞誤差，該負載與額定負載660 N·m相比較小，產生的輪齒接觸變形及彎曲變形可以忽略不計。基于上述齒輪傳動嚙合剛度計算方法，計算得到該齒輪副時變嚙合剛度曲線，并與ISO6336:2006給出的計算公式得到的結果進行對比，如圖5所示。

圖5 嚙合剛度對比圖

由圖5可知，所提出的方法得到的時變嚙合剛度曲線與ISO6336:2006方法計算結果相比，平均值相對誤差為5.86%。因此可以證明所提出的齒輪傳動時變嚙合剛度計算方法的正確性，同時說明有限元模型已足夠精確。

3 面齒輪傳動嚙合剛度數值計算

3.1 有限元模型

面齒輪傳動幾何參數如表2所示，其中面齒輪輪緣系數定義為面齒輪輪齒高度與面齒輪齒根平面到面齒輪齒底平面之間距離的比值。

表2 面齒輪傳動幾何參數

采用上述有限元建模方法，將可能發生接觸的5對輪齒之外的部分簡化為一個階梯圓柱，忽略軸及軸承等支撐結構變形對面齒輪傳動接觸位置的影響，在小輪內孔面與位于其旋轉軸線上的參考節點之間建立剛性耦合約束，在面齒輪與位于其旋轉軸線上的參考節點之間建立剛性耦合約束，即將軸及軸承簡化為剛性支撐，在小輪參考節點施加旋轉位移，在面齒輪參考節點施加負載扭矩，以模擬小輪通過與大輪嚙合作用帶動大輪抵消負載扭矩而運轉的實際工況，邊界條件設置如圖6所示。

圖6 面齒輪模型邊界條件示意圖

對于未修形的直齒面齒輪傳動而言，面齒輪由齒頂進入嚙合，由齒根退出嚙合，其理論接觸軌跡在齒高方向大致呈一條豎直線。經齒輪接觸分析得到，該對齒輪理論接觸軌跡大致位于半徑為164.4 mm處，因此對面齒輪靠近內端的一半輪齒及配對小輪對應嚙合位置進行網格細化，其網格密度與上述直齒圓柱齒輪模型中細化部分網格密度基本一致，總節點數為242 312，總單元數為201 420，網格模型如圖7所示。接觸定義、材料參數及分析步設置與上述直齒圓柱齒輪有限元模型保持一致。此時對于單個面齒輪輪齒而言，約有54個計算點。

圖7 面齒輪模型網格模型

3.2 面齒輪傳動嚙合剛度數值計算

采用上述有限元模型，在大輪額定載荷為1536.8 N·m條件下，取負載為38.42 N·m時的傳遞誤差為無負載傳遞誤差。額定載荷作用下各齒對法向接觸力歷程曲線如圖8所示。由圖8可知，該對齒輪副存在雙齒接觸區(DT)及三齒接觸區(TT)，并且，由于在三齒接觸區時前一對輪齒即將退出嚙合，后一對輪齒剛剛進入嚙合，齒間載荷分布非常不均勻，因此該對輪齒法向接觸力最大值出現在該嚙合區域。

圖8 法向接觸力歷程曲線(T=1536.8 N·m)

進一步根據式(6)計算得到面齒輪傳動時變嚙合剛度曲線，如圖9所示。由圖9可以看出，面齒輪傳動時變嚙合剛度曲線類似于一條正弦曲線，呈現明顯的周期特征，其最小值大致出現在三齒接觸區內前后兩對輪齒受載相同的位置(圖8中點A處)。此時該兩對輪齒約各承擔總載荷的6.44%，中間一對輪齒約承擔總載荷的87.15%，齒間載荷的分布非常不均勻，并且此時前后兩對輪齒分別在靠近齒根及齒頂位置接觸，因此該嚙合位置齒輪副彈性綜合變形最大，嚙合剛度最小。嚙合剛度最大值出現在雙齒嚙合區內參與嚙合的兩對輪齒受載相同的位置(圖8中點B處)，此時該兩對輪齒各承擔總載荷的50%，載荷分布最為均勻，因此該嚙合位置齒輪彈性綜合變形最小，嚙合剛度最大。

圖9 時變嚙合剛度曲線(T=1536.8 N·m)

4 結論

(1)提出了一種新的齒輪傳動時變嚙合剛度數值計算方法，并給出了相應的加載接觸分析有限元建模方法。

(2)以直齒圓柱齒輪為例，采用該方法得到該齒輪副時變嚙合剛度曲線，與ISO6336方法計算結果相對比，驗證了上述方法的正確性及所建有限元模型的精確性。

(3)應用該嚙合剛度數值計算方法得到了面齒輪傳動載荷分布規律及時變嚙合剛度曲線。

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