永磁直線進(jìn)給系統(tǒng)多柔性體機(jī)電耦合動力學(xué)特性分析

寧建榮 夏加寬 于 玲 李鐵軍

1.沈陽化工大學(xué)，沈陽，110142 2.沈陽工業(yè)大學(xué)，沈陽，110178

0 引言

超高速切削、超精密加工等先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展，對機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的伺服性能提出了更高的要求：驅(qū)動能力強(qiáng)、加工效率高、定位精度高。目前，傳統(tǒng)的驅(qū)動形式已經(jīng)不能滿足超精密機(jī)床定位精度和加工精度的需求。直線進(jìn)給系統(tǒng)取消了中間機(jī)械傳動環(huán)節(jié)，簡化了機(jī)械結(jié)構(gòu)，具有優(yōu)越的加速度、減速度特性，并提高了系統(tǒng)剛度與可靠性，同時具有行程無限制、維護(hù)簡單等優(yōu)點(diǎn)，適合高精度、高分辨率、高速度的場合［1］。

直線進(jìn)給系統(tǒng)是機(jī)電一體化系統(tǒng)，系統(tǒng)在工作過程中存在多物理場耦合效應(yīng)，通過多元多維運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)多種形式的能量傳遞與轉(zhuǎn)換。目前，高精度數(shù)控機(jī)床已經(jīng)發(fā)展到納米級階段，多場耦合效應(yīng)是不可忽略的因素。高精密機(jī)床直線進(jìn)給系統(tǒng)內(nèi)除了存在多場耦合的現(xiàn)象外，還存在剛體運(yùn)動與柔性體變形運(yùn)動之間的相互耦合。由于直線進(jìn)給系統(tǒng)的工作臺在空間經(jīng)歷大范圍剛體運(yùn)動的同時，自身也存在變形，其剛體運(yùn)動與自身變形相互影響，強(qiáng)烈耦合，故直線進(jìn)給系統(tǒng)是一個多輸出、多維、時變、非線性的復(fù)雜系統(tǒng)。

在精密機(jī)床的動態(tài)特性的研究領(lǐng)域，很多學(xué)者對 精 密 機(jī) 床 的 熱－結(jié) 構(gòu) 耦 合［1－4］、流 體－結(jié) 構(gòu) 耦合［5］等特性進(jìn)行了深入的研究。余顯忠等［6］建立了基于氣－固耦合特性的雙層氣浮直線電動機(jī)的有限元模型，并且分析了其動態(tài)響應(yīng)特性。為準(zhǔn)確地預(yù)測和研究精密機(jī)床的動態(tài)特性，文獻(xiàn)［7－11］提出了機(jī)床及其零部件的多柔性體耦合建模方法，并將其應(yīng)用于多體動力學(xué)建模。文獻(xiàn)［12］采用能量法推導(dǎo)了數(shù)控工作臺滾珠絲杠伺服系統(tǒng)機(jī)電耦合系統(tǒng)動力學(xué)微分方程組。以上文獻(xiàn)并沒有將強(qiáng)機(jī)電耦合的直接驅(qū)動進(jìn)給系統(tǒng)作為研究對象。

本文針對精密機(jī)床直接驅(qū)動直線進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)電耦合的特點(diǎn)，建立系統(tǒng)多柔體機(jī)電耦合模型，并利用多種仿真軟件進(jìn)行聯(lián)合仿真，研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

1 系統(tǒng)建模

永磁直線進(jìn)給系統(tǒng)模型如圖1所示。直線電機(jī)動子直接與工作臺剛性連接，由直線滾動導(dǎo)軌支承；定子固定在機(jī)床床身上；工作臺、動子在電磁力驅(qū)動下沿導(dǎo)軌做往復(fù)直線運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)進(jìn)給功能。

圖1 永磁直線進(jìn)給系統(tǒng)模型

進(jìn)給系統(tǒng)工作臺的動態(tài)性能是影響機(jī)床定位精度和加工精度的因素之一，工作臺一方面有大的平動，另一方面又具有彈性變形，有必要將其柔性化，建立多柔性體動力學(xué)摸型。將直線伺服進(jìn)給系統(tǒng)的工作臺簡化為矩形板，進(jìn)行多柔性體耦合動力學(xué)分析。工作臺有限元模型如圖2所示。

圖2 工作臺有限元模型

拉格朗日－麥克斯韋方程用統(tǒng)一的能量的觀點(diǎn)建立機(jī)電耦合系統(tǒng)動力學(xué)方程。電磁系統(tǒng)的拉格朗日方程可表示為

式中，Wm為磁場能；We為電場能；ek為電荷；ik為電流；Fe為耗散函數(shù)；Uk為電壓；t為時間；n為完整約束方程個數(shù)。

引入機(jī)電系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L和耗散函數(shù)Γ：

其中，qi（i＝1，2，…，n）為廣義坐標(biāo)；Γm、Γe分別為機(jī)械場和電場的耗散函數(shù)。系統(tǒng)的動能T、勢能U分別為

式中，M為質(zhì)量矩陣；K為剛度矩陣。

對式（2）求偏導(dǎo)數(shù)，由于電荷對時間的導(dǎo)數(shù)為電流，故機(jī)電耦合系統(tǒng)的拉格朗日 －麥克斯韋方程為

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

式中，id、iq分別為d軸和q軸電流；Ld、Lq分別為d軸和q軸電感；ψd、ψq分別為d軸和q軸磁鏈；W 為電機(jī)氣隙磁能。

系統(tǒng)的耗散函數(shù)包括電磁系統(tǒng)的耗散函數(shù)和機(jī)械系統(tǒng)的耗散函數(shù)，即

式中，Rs為電機(jī)繞組電阻；G為阻尼矩陣。

將式（4）、式（5）代入拉格朗日 －麥克斯韋方程組，可得直線進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)電耦合動力學(xué)微分方程組：

其中，Q為廣義力矩陣；質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣G、剛度矩陣K可由有限元方法獲得。可采用Newton－Raphson法結(jié)合Newmark法對式（6）進(jìn)行迭代求解。

2 直線進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)電剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)特性

利用多體動力學(xué)分析軟件ADAMS聯(lián)合MATLAB／Simulink建立直線進(jìn)給系統(tǒng)多柔性體耦合動力學(xué)模型。在聯(lián)合仿真過程中，用ADAMS求解器求解機(jī)械系統(tǒng)方程，用MATLAB求解控制方程，通過數(shù)據(jù)交換共同完成整個系統(tǒng)控制過程的計算。首先在ADAMS中建立直線進(jìn)給系統(tǒng)多體動力學(xué)模型，然后在有限元分析軟件ANSYS中對直線進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，最后生成含有系統(tǒng)材料、節(jié)點(diǎn)、單元信息和模態(tài)信息的模態(tài)中性文件。在ADAMS中直接讀取模態(tài)中性文件替換原有的直線進(jìn)給系統(tǒng)剛體模型，得到直線進(jìn)給系統(tǒng)多柔體耦合動力學(xué)模型并進(jìn)行仿真。在 MATLAB／Simulink建立系統(tǒng)的控制部分，利用ADAMS／Controls將兩者連接起來，指定輸入、輸出變量，導(dǎo)出控制參數(shù)。然后，打開MATLAB建立好數(shù)據(jù)交換接口，實(shí)現(xiàn)在MATLAB／Simulink軟件環(huán)境下機(jī)電耦合系統(tǒng)的聯(lián)合仿真。多柔體機(jī)電耦合建模流程圖如圖3所示。

圖3 多柔體機(jī)電耦合建模流程

建模所選用的永磁直線伺服電機(jī)的參數(shù)見表1。

表1 永磁直線伺服電機(jī)主要參數(shù)

機(jī)床的動態(tài)特性關(guān)系到機(jī)床的加工精度、加工效率等方面，因此，對動態(tài)特性的分析已成為機(jī)床設(shè)計過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，機(jī)床的動態(tài)特性已成為評估機(jī)床性能的重要指標(biāo)。進(jìn)給系統(tǒng)中工作臺與工件直接相連，其動態(tài)性能與工件的加工質(zhì)量直接相關(guān)。利用所建模型，對比工作臺為剛體和多柔性體時工作臺的動力學(xué)特性。

將圖2模型中的四個滑塊定義為豎直方向的彈簧阻尼單元，彈簧剛度和阻尼系數(shù)見表1，對工作臺模型進(jìn)行模態(tài)分析。分析得到工作臺固有頻率，見表2。工作臺前4階模態(tài)如圖4所示。

表2 工作臺固有頻率

由圖4可見，在1、2、3階固有頻率時，工作臺呈現(xiàn)出微小的局部模態(tài)，當(dāng)固有頻率超過1kHz后，工作臺出現(xiàn)了整體的擺動模態(tài)。

圖4 工作臺前4階模態(tài)

直線電機(jī)空載啟動，在0.1s處突加載荷，則工作臺的水平方向和法向振動加速度的時域響應(yīng)曲線和頻域曲線分別如圖5和圖6所示。

圖5 工作臺振動加速度的時域響應(yīng)曲線

由圖5a可見，空載時，將工作臺離散成多柔性體，工作臺水平方向振動加速度變化幅值大于工作臺視為剛體時的加速度值；突加載荷時，柔性體比剛體的變化量大，載荷平穩(wěn)后兩種情況的加速度幅值相差較少。由圖5b可見，柔性體工作臺法向加速度幅值大于剛體工作臺的法向加速度幅值，加載后較明顯。由負(fù)載變化時加速度的響應(yīng)可見，剛體系統(tǒng)的伺服剛度要比柔性體系統(tǒng)的伺服剛度大，如果僅將工作臺定義成剛體則不能真實(shí)反映系統(tǒng)的動態(tài)性能。

圖6 工作臺振動加速度的頻域響應(yīng)曲線

由圖6可見，柔性體工作臺和剛體工作臺在0～5kHz頻率范圍內(nèi)加速度曲線變化規(guī)律大致相同；圖6a中柔性工作臺水平方向的加速度在頻率大于1kHz后，當(dāng)工作臺作為剛體時，頻率響應(yīng)出現(xiàn)明顯的波動，而柔性工作臺頻率響應(yīng)出現(xiàn)了波動現(xiàn)象，但幅值相對較小；圖6b中，柔性工作臺法向加速度比剛性工作臺加速度幅值大，而且對應(yīng)加速度峰值處的頻率比剛性體時的頻率高。結(jié)合圖4中的工作臺模態(tài)，可見對于高精度機(jī)床，在工作臺運(yùn)動時，零部件本身的變形及高階模態(tài)不可忽視，為提高系統(tǒng)精度，有必要將零部件的柔性效應(yīng)引入系統(tǒng)的動態(tài)特性分析中。

直線進(jìn)給系統(tǒng)為直接驅(qū)動機(jī)電耦合系統(tǒng)，由于無機(jī)械阻尼作用，控制參數(shù)以及外部擾動對系統(tǒng)特性的影響較為顯著。利用已建立的直線進(jìn)給系統(tǒng)多柔性體機(jī)電耦合模型對系統(tǒng)進(jìn)行振動特性分析。

伺服系統(tǒng)速度環(huán)采用PI控制器。空載運(yùn)行，控制參數(shù)KI＝100，KP＝5，直線進(jìn)給系統(tǒng)的工作臺的速度曲線和法向加速度響應(yīng)如圖7所示。控制參數(shù)KI＝100，KP＝3時，直線進(jìn)給系統(tǒng)的工作臺的速度曲線和法向加速度響應(yīng)如圖8所示。

圖7 KP＝5時直線電機(jī)速度曲線和工作臺法向加速度曲線

圖8 KP＝3時直線電機(jī)速度曲線和工作臺法向加速度曲線

由圖7、圖8可見，在兩種控制參數(shù)作用下直線電機(jī)的運(yùn)行速度無明顯變化，但是工作臺法向加速度明顯不同，圖8b中法向振動加速度出現(xiàn)了大的波動。單獨(dú)研究直線電機(jī)，兩種控制參數(shù)都是滿足要求的，但將進(jìn)給系統(tǒng)的機(jī)械系統(tǒng)和電氣系統(tǒng)耦合為一個系統(tǒng)時，控制參數(shù)發(fā)生改變，耦合系統(tǒng)的剛度發(fā)生變化，導(dǎo)致工作臺振動加大。

當(dāng)擾動頻率和機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有頻率接近或相等時，造成了系統(tǒng)振蕩，將嚴(yán)重影響機(jī)床的運(yùn)行及加工精度。對工作臺施加頻率為319Hz（與工作臺一階固有頻率相同）的擾動時，工作臺的加速度響應(yīng)如圖9所示。

由圖9可見，由于擾動頻率與直線進(jìn)給系統(tǒng)的固有頻率相同，引起了系統(tǒng)共振，出現(xiàn)了拍振現(xiàn)象，這是數(shù)控機(jī)床在設(shè)計和使用過程中應(yīng)該避免的。

圖9 工作臺加速度曲線

3 實(shí)驗(yàn)

永磁直線同步電機(jī)系統(tǒng)測量設(shè)備包括：四個LC0101型壓電加速度傳感器，BVM－300－4M 四通道振動測試與模態(tài)分析儀及LC1301型力錘。裝置如圖10所示。該系統(tǒng)主要由三部分組成：激勵部分，響應(yīng)測量部分，數(shù)據(jù)分析處理部分。其中各部件動剛度測試時激勵用力錘進(jìn)行瞬態(tài)激振法添加，并用速度傳感器測取各拾振點(diǎn)響應(yīng)，將加速度傳感器呈三角形布置在工作臺臺面上，力錘豎直敲擊工作臺面。其中力錘與振動測試儀的通道1相連，三個加速度傳感器分別與通道2、3、4相連。

圖10 永磁直線同步伺服電機(jī)測試工作臺

將時域信號經(jīng)FFT變換得到各個傳感器響應(yīng)的頻率，分析頻率設(shè)置為5kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為2048。每個測點(diǎn)進(jìn)行5次激振和拾振，然后將得到的頻率做平均處理以消除干擾，由于錘擊的能量有限，僅能激發(fā)工作臺的低階頻率，高階頻率沒有激發(fā)出來。工作臺固有頻率與實(shí)驗(yàn)測量值對比見表3。

表3 工作臺仿真固有頻率與實(shí)驗(yàn)測量值對比

實(shí)驗(yàn)測得的工作臺固有頻率與仿真得到的工作臺固有頻率有偏差，由于仿真模型中工作臺施加的約束和支承為理想狀態(tài)，所以其固有頻率相對較高，但仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差在允許的范圍內(nèi)。

4 結(jié)論

（1）由于在直線進(jìn)給系統(tǒng)的多柔性體機(jī)電耦合數(shù)學(xué)模型中，不同物理場的參數(shù)間存在復(fù)雜的、非線性的耦合關(guān)系，不易進(jìn)行解析求解，故建立了直線進(jìn)給系統(tǒng)多柔性體機(jī)電耦合仿真模型。通過分析、對比系統(tǒng)的動態(tài)性能，能夠有針對地對系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，對提高精密機(jī)床加工精度具有非常重要的意義。

（2）剛性工作臺與柔性工作臺振動加速度對比結(jié)果表明：把工作臺處理成柔性體，不僅振動加速度最大值比剛性工作臺最大值有所增大，而且對工作臺的變形也產(chǎn)生了嚴(yán)重影響。

（3）控制系統(tǒng)參數(shù)、諧波擾動對系統(tǒng)的振動特性有顯著的影響。

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