基于卡爾曼濾波的磁偶極子目標張量定位

楊明明，連麗婷，高守勇

( 中國人民解放軍91388 部隊，廣東 湛江524022)

0 引 言

水中鐵磁物體，如鋼鐵航行體、水雷等，在地磁場的作用下會引起局部地磁異常，磁定位技術就是利用磁異常信號來確定這些磁性目標的位置和磁矩等參數［1-3］。基于磁偶極子模型的磁性目標定位常見于航空探潛、水下地磁反潛等領域。在航空探潛領域，通常先采用聲探測技術來確定可疑海域，再用裝載于飛機上的磁探儀接收到的潛艇磁場信號推算目標潛艇的運動要素及其與飛機的相對位置等參數，實現目標精確定位。

在各種磁性目標定位方法中，按采用的物理量可以分為基于總量磁場(梯度)［4］、磁場分量［5-7］和單點梯度張量［8-9］等方法，其中單點梯度張量定位方法基于磁偶極子目標的線性探測方程，具有計算量小、實時性好的優點，一直以來是研究的熱點［8-10］。文獻［8］對單點梯度張量定位方法進行了較為深入的研究，指出目標磁矩特征、測點與目標距離、磁探儀分辨率和磁梯度測量系統的基線距離是影響定位結果的4個主要因素，但卻忽略了測量噪聲對定位精度的影響分析。在航空探潛的實際工作中，磁場測量噪聲不可避免地存在，其主要來源為測量系統噪聲和飛機磁場干擾［12］，這些測量噪聲對定位結果具有重要影響。為此，本文以航空探潛和水下小目標磁場探測為應用背景，在考慮磁場測量噪聲情況下，采用卡爾曼濾波理論對磁偶極子目標梯度張量定位進行研究，并設計了相應的仿真實驗對其進行驗證。

1 目標定位數學模型

在卡爾曼濾波框架下，磁性目標張量定位的數學模型稱為狀態空間模型，狀態空間模型由用于描述系統動態特性的狀態模型和描述系統測量信息的量測模型2 部分組成。

1.1 狀態模型

狀態模型的3個要素為狀態變量，狀態轉移矩陣和狀態噪聲。構建狀態模型的基本原則是所建立的狀態模型既要符合系統動態特性實際，又要便于數據處理。在航空探潛過程中或小目標磁場探測中，傳感器平臺的位置、速度和姿態一般由平臺的導航系統提供，為已知量，在進行張量定位方法分析時可假定測量平臺靜止而目標運動，如圖1所示，其中坐標系原點o 為探測系統的中心，x 軸，y 軸和z軸分別平行于地磁坐標系相應的3 軸。

圖1 目標張量定位示意圖Fig.1 Schematic diagram of target gradient tensor localization

由于探測過程持續時間較短，一般假定在定位過程中潛艇目標作深度不變的勻速直線運動。基于此，可采用目標在水平方面航速vx，vy以及目標與探測系統的相對位置r 來描述其運動過程的動態特性，即可定義狀態變量x=(x，y，z，vx，vy)T，則

式中T 為測量設備采樣周期;k=0，1，2，…N 為采樣時刻。

式(1)寫成矩陣的形式為Ak+1=Ak，k－1xk+ wk，其中Ak，k－1為狀態轉移矩陣，狀態噪聲wk=(wx，k，wy，k，wz，k，wvx，k，wvy，k)T為相互獨立的高斯白噪聲，其方差為R。

1.2 量測模型

磁偶極子是磁性目標定位中使用最為廣泛且最有效的數學模型。對位于源點S的磁偶極子，其空間中任意場點P 處的磁感應強度B (Bx，By，Bz)可按下式計算:

式中:r 為由源點S 指向場點P的位置矢量;m 為磁偶極子磁矩;μ 為介質磁導率。

磁感應強度的3個分量(Bx，By，Bz)在空間3個方向(x，y，z)的變化率構成一個張量矩陣G=［Gij］3×3，Gij的表達式為:

式中:i，j=1，2，3;B1，B2和B3分別表示磁感應強度的3個分量Bx，By和Bz;r1，r2和r3分別表示矢徑r的3個分量rx，ry和rz;δij為Kronecker-Delta 函數。

由文獻［8-9］可知，磁偶極子磁場梯度張量與磁場的關系為:

在磁偶極子目標定位實際工程中，目標磁場一般采用精度較高的超導量子磁力儀進行測量，其測量精度可達到pT 級，磁場測量值中包含目標磁場值、地磁噪聲和載體磁場干擾等。磁場梯度張量可采用5個三軸磁傳感器［9］或10個單軸磁傳感器［13］的輸出經差分后得到，該測量方式極大地降低了同模測量噪聲的干擾，因此可認為梯度張量測量值即為目標梯度張量真值。為此，觀測方程可寫為:

式中:Yk和xk分別為k 時刻的觀測值(磁場測量值)和狀態向量;vk為k 時刻的測量噪聲，一般認為其為方差為Q的高斯白噪聲;Hk為觀測矩陣，具體表達式為:

此外，在估計得到目標與探測系統的相對位置后，可采用式(7)計算目標磁矩參數，該參數可用于目標的分類識別。

1.3 可觀測性分析

采用卡爾曼濾波求解式(1)和式(5)描述的磁性目標定位模型的前提是定位模型可觀測。由線性系統理論，可采用如下的觀測性矩陣Qo來分析其可觀測性:

若Qo矩陣的秩大于等于待觀測向量維數，則系統可觀測。將H，A 代入上式后，取Qo陣的某一六階子陣如下:

明顯，若| | G| | ≠0，則TG 至少存在一個行列式不為0的2 階子陣;從而Qo1至少存在一個行列式不為0的5 階子陣，即若| | G| | ≠0，系統可觀測。

2 卡爾曼濾波基本原理

卡爾曼濾波是一種線性最小方差統計估算方法，它是通過處理一系列帶有誤差的實際測量數據而得到物理參數的最佳估算。其實質是以預測方程和測量方程為基礎，用遞推的方法計算系統狀態變量xk的最小均方估計值。對于式(1)和式(5)描述的狀態空間模型，其遞推公式為:

狀態預測:

方差預測:

增益計算:

狀態估計:

方差更新:

給定初值x0和P0后，根據k 時刻(k=1，2，…)的觀測值Yk，就可以遞推計算得k 時刻的狀態估計的最小均方估計值。

3 數值算例分析

采用與文獻［9］中類似的數值算例來檢驗本定位方法的有效性，數值算例各參數具體取值如表1所示。

表1 數值算例參數Tab.1 Numerical example parameters

卡爾曼濾波迭代起始點x0由相對位置和水平方向的速度兩部分組成，其中相位位置可通過直接求解式(4)得到，而在迭代起始時刻的速度無法獲知，因此取速度的2個分量為0。P0隨著遞推的進行，將較快收斂，因此實際使用時，P0可以取得稍大一些。在該算例中取P0=diag (10 m，10 m，10 m，5 m/s，5 m/s)。

分析步驟為:1)假設目標與探測系統的相對速度vx=3 m/s和vy=1 m/s，由采樣周期和探測線L 計算各采樣時刻目標與探測系統的相對位置(記為理論值);由相對位置和磁偶極子磁矩按式(2)計算各采樣時刻的磁場感應強度，并由文獻［9］中方法計算相應的目標磁場梯度張量;2)分別采用文獻［9］中的直接計算法(記為直接計算值)和本文的卡爾曼濾波方法計算目標位置 (記為卡爾曼濾波值)后，按式(7)計算相應的目標磁矩;3)比較相對位置和磁矩的直接計算值、卡爾曼濾波值與理論值，結果如圖2和圖3所示。

從圖中可以看出，磁場測量噪聲的存在導致直接計算的位置參數具有較大的振蕩，相應的磁矩參數計算結果也具有較大的振蕩，說明直接計算的穩定性較差。而采用卡爾曼濾波得到的位置參數和磁矩參數在濾波器收斂后，能有效克服測量噪聲對位置參數計算的影響，具有較強的穩定性，且設計的濾波器具有較快的收斂速度。

圖2 定位結果比較圖Fig.2 Comparison chart of localization result

圖3 磁矩參數計算結果比較圖Fig.3 Comparison chart of magnetic moment calculation result

4 結 語

本文在磁偶極子模型的基礎上，建立了適用于磁梯度張量定位的狀態空間模型。在目標磁感應強度測量不可避免地存在測量噪聲的實際情況下，采用卡爾曼濾波對模型進行了求解。設計了相應的數值算例，計算結果表明，基于卡爾曼濾波的定位方法具有較高的定位精度，且具有較強的穩定性。該研究工作對航空磁探測和水下小目標磁場探測，都具有一定的指導意義。

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