數(shù)學建模思想融入《數(shù)學分析》教學的研究與實踐

(懷化學院 數(shù)學系，湖南 懷化 418008)

0 引言

《數(shù)學分析》是高等院校數(shù)學與應用系數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學兩個數(shù)學類專業(yè)的基礎課程和骨干課程，也是學時數(shù)最多的課程，歷時三個學期[1-2].《數(shù)學分析》課程具有概念多、抽象難懂的特點，在傳統(tǒng)的教學中，很多學生還沒有適應從中學生到大學生的學習角色的轉(zhuǎn)換，就要面臨《數(shù)學分析》課程中的一大堆抽象理論和知識的學習，如“極限的ε-δ 語言”、“一致連續(xù)性”等，一開始就對學習產(chǎn)生懼怕心理，覺得很枯燥、不自信，學習積極性受到嚴重影響，而且該課程的教學效果對后續(xù)分析類課程教學影響很大.因此，在《數(shù)學分析》教學中怎樣進行教學改革，如何正確處理具體與抽象、實踐與認識的關系，提高學生的學習積極性，一直是教學工作者探討的課題[3-4].本文針對傳統(tǒng)《數(shù)學分析》教學的弊端，結合作者自己多年《數(shù)學分析》課程教學實踐，首先論述了《數(shù)學分析》課程教學中融入數(shù)學建模思想的重要性，接著就數(shù)學建模思想全方位融入到《數(shù)學分析》教學的各個環(huán)節(jié)中的具體方法進行了探討，為數(shù)學分析課程的教學改革提供有益的參考.

1 數(shù)學建模思想融入教學中的重要性

數(shù)學建模是通過建立數(shù)學模型解決各種實際問題，即用數(shù)學的語言刻畫和描述實際問題，然后經(jīng)過數(shù)學的處理得到定量的結果.數(shù)學建模是實際問題經(jīng)過適當?shù)暮喕⒊橄蠖纬蓴?shù)學公式、方程、函數(shù)式或幾何問題等[5].學生通過參與數(shù)學建模，充分體會到數(shù)學本身就是刻畫客觀世界的數(shù)學模型，感受到數(shù)學應用的廣泛性.傳統(tǒng)的《數(shù)學分析》教學過分地強調(diào)數(shù)學語言描述和邏輯思維，很容易讓學生覺得數(shù)學分析的學習就是學習一堆枯燥的概念、定義和定理.事實上，數(shù)學分析中的概念、定義和定理都是有自然背景的，都是從客觀事物中抽象出來的.將數(shù)學建模的思想融入《數(shù)學分析》教學中，重現(xiàn)了當時發(fā)現(xiàn)這些概念和定理的過程，建模過程能夠充分調(diào)動學生應用數(shù)學知識分析和解決實際問題的積極性和主動性，激發(fā)學生把數(shù)學知識和方法應用到實際問題中去的渴望，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和熱情.將數(shù)學建模思想融入到基礎課程教學的想法和建議，是很多數(shù)學教學工作者經(jīng)歷了相當長時間的教學實踐得出來的經(jīng)驗總結[6-7].本人從事《數(shù)學分析》課程教學已有多年，認為數(shù)學建模的思想方法是可以滲透到《數(shù)學分析》教學中各個環(huán)節(jié)中的，而且這種滲透可以起到非常好的教學效果.在《數(shù)學分析》課程教學的各個主要環(huán)節(jié)中融入數(shù)學建模思想的教學實踐證明，它可以幫助學生理解抽象的概念定理，培養(yǎng)學生的應用意識，激發(fā)學生主動學習的興趣.從教學改革來說，加強數(shù)學建模思想在《數(shù)學分析》教學各個教學環(huán)節(jié)中的滲透，是我們探索處理上述問題的一條有效途徑.

2 數(shù)學建模思想在各個教學環(huán)節(jié)中的滲透

2.1 課堂教學中滲透

《數(shù)學分析》課程中含有大量概念、定義和定理，課堂教學的重點和難點就是如何讓學生掌握這些枯燥、抽象的概念、定義和定理.對于概念和定義的教學，傳統(tǒng)的教學方式就是強調(diào)概念和定義的數(shù)學描述和邏輯思維，這樣讓學生感覺到《數(shù)學分析》就是概念多、抽象、無趣和難懂.如果我們改變這種教學方式，在概念和定義的講授中融入數(shù)學建模的思想，比如《數(shù)學分析》中函數(shù)、極限、導數(shù)、積分、級數(shù)等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關系或空間形式中抽象出來的數(shù)學模型，我們在教學中應從它們的實際“原型”和學生熟悉的日常生活中的例子自然而然地引出來，使學生感到課本里的概念不是硬性規(guī)定的，而是與實際生活有密切聯(lián)系的，這樣學生不再感到這些概念抽象、難懂和無趣了.

對于定理的教學，傳統(tǒng)的教學方式強調(diào)定理的結論以及證明過程的邏輯思路和方法，這種教學方式讓學生感到定理的證明抽象、難懂，更加談不上靈活應用了.如何講授才能使學生理解定理的內(nèi)容，靈活運用定理與定理的證明方法，是處理教學過程的一大難點.改變現(xiàn)有教學方式，在定理的教學中融入數(shù)學建模思想這種現(xiàn)狀會有明顯的改善.事實上《數(shù)學分析》中的很多定理，在歷史上發(fā)明它們的時候，本來是有很自然的背景的，但經(jīng)過抽象之后得到的.如果在定理教學中讓學生能在一定程度上了解所學知識的來龍去脈及歷史淵源，這樣可激發(fā)學生的求知欲望.然后，把定理的結論看作是一個特定的模型，需要我們?nèi)ソ⑺?于是，當把定理的條件看作是模型的假設時，即可根據(jù)預先設置的問題情景引導學生一步一步地發(fā)現(xiàn)定理的結論.這種融入數(shù)學建模思想的教學方法，不但使學生學到知識，而且讓他們體驗到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和能力的好途徑.

2.2 開設數(shù)學實驗課

隨著計算機的飛速發(fā)展，許多實際問題的解決都離不開計算機的參與.數(shù)學軟件的成熟(比如Matlab，Mathematica)，使得許多數(shù)學計算都可以通過計算機來實現(xiàn).目前數(shù)學系正在進行專業(yè)課程的實踐教學體系改革，《數(shù)學分析》課程也納入該改革體系中.結合實踐教學改革體系，在《數(shù)學分析》教學中開設數(shù)學實驗課，既可以提高學生學習《數(shù)學分析》的興趣，也可以提高他們的動手實踐能力.數(shù)學實驗一般要結合數(shù)學模型，數(shù)學軟件為平臺，模擬實驗環(huán)境進行教學.在《數(shù)學分析》教學中，每個學期開始2-3次實驗課，主要包括:(1)本學期內(nèi)容在數(shù)學軟件中的實現(xiàn);(2)熟悉數(shù)學建模過程并組隊完成與本學期內(nèi)容相關及難度適宜的數(shù)學建模競賽任務.

2.3 作業(yè)布置中滲透

《數(shù)學分析》傳統(tǒng)教學中給學生布置的習題來源于教材中的課后習題，而教材中的習題形式單調(diào)、陳舊、缺乏應用性.僅僅從教材中課后習題給學生布置作業(yè)，不能很好訓練學生解決實際問題的能力和實踐動手能力.為彌補這一缺陷，在作業(yè)安排上亦可融入數(shù)學建模的思想方法，適當布置一些開放型的作業(yè)，如可以布置一些讓學生自由組隊完成的與課程內(nèi)容緊密聯(lián)系的數(shù)學建模競賽題，培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新，團結互助的精神;也可布置一些應用數(shù)學軟件完成內(nèi)容相關的數(shù)學實驗題，培養(yǎng)學生的實踐動手能力.

2.4 考核方式中滲透

《數(shù)學分析》課程傳統(tǒng)的考核方式就是閉卷考試，考試命題一般以教材中的例題和習題的形式為主，或者把教材中的某些問題和結論設計成填空題、判斷題和選擇題等，這樣僅僅能夠考查學生解題的水平，無法考查學生靈活地應用數(shù)學知識解決問題的能力，這樣做也許對教師閱卷方便，但卻導致許多學生高分低能，不會在知識的學習中體會和提煉數(shù)學思想和方法.這違背了《數(shù)學分析》教學的初衷，也與我校“三位一體”的人才培養(yǎng)模式相違背.為改變這種現(xiàn)狀，在考核方式上可做一些改革.首先考核方式可以分為兩部分，理論閉卷考試和數(shù)學實驗上機考查.其次對于理論閉卷考試部分可以適當加入一道開放型的應用題，要求按數(shù)學建模的方法去完成;對于數(shù)學實驗上機考查部分，除了考查學生對數(shù)學軟件的初步了解，也可以采取數(shù)學建模競賽方式，三個一組完成一道適當難度的數(shù)學建模實際問題.

3 數(shù)學建模思想滲透的教學實踐

如何在《數(shù)學分析》教學的各個環(huán)節(jié)中融入數(shù)學建模思想，既能保證在教學中做到理論與實踐相結合，激發(fā)學生的學習興趣，又能不占用太多的課程去講授數(shù)學建模內(nèi)容.對于這個問題，找到合適的切入點是關鍵.我們在教研過程中經(jīng)常針對某一內(nèi)容反復討論，找出合適的典型案例，按照提出問題、解決問題、數(shù)學理論和實踐應用的步驟，把數(shù)學建模思想融入到《數(shù)學分析》的教學.表1給出了我們多年教學實踐中的典型案例.這些案例可以在課堂教學中講授概念、定理時與數(shù)學分析相關內(nèi)容相結合，也可以在作業(yè)布置、實驗課和考核等其他教學環(huán)節(jié)中體現(xiàn).

表1 數(shù)學分析教學實踐中典型數(shù)學建模案例

4 結論

隨著電子計算機的飛速發(fā)展，傳統(tǒng)《數(shù)學分析》教學不能適應高校現(xiàn)代化教學，教學改革勢在必行.本文針對傳統(tǒng)教學的一些弊端，結合自己多年《數(shù)學分析》教學實踐，探討了將數(shù)學建模思想融入到《數(shù)學分析》教學各個主要環(huán)節(jié)的具體方法，提出了數(shù)學建模思想融入的關鍵是找到合適的典型案例切入，力爭將數(shù)學建模思想與數(shù)學分析有關內(nèi)容有機結合，幫助學生理解抽象的概念、定義和定理，激發(fā)學生主動學習的興趣，培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新，團結協(xié)作精神和實踐動手能力.

[1]華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[2]劉玉璉.數(shù)學分析講義[M](第五版).北京:高等教育出版社，2001.

[3]李忠.歷史的回顧:中國數(shù)學分析課程內(nèi)容體系的變遷[Z].大學數(shù)學課程報告論壇，2007:19-27.

[4]陳順清.數(shù)學分析教學改革談-省級精品課程《數(shù)學分析》建設探討[J].四川文理學院學報(自然科學版)，2009，19 (2):73-76.

[5]姜啟源.數(shù)學建模與數(shù)學實驗[M].北京:高等教育出版社，2003.

[6]李大潛.將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程[A].大學數(shù)學課程報告論壇論文集2005[C].北京:高等教育出版社，2006:15-19.

[7]許先云，楊永清.突出數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力[J].大學數(shù)學，2007，23 (4):137-140.