幾類中立型Lurie系統(tǒng)的穩(wěn)定性及魯棒絕對穩(wěn)定性概述

王玉紅，包俊東

1.內(nèi)蒙古化工職業(yè)學院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010070

2.內(nèi)蒙古師范大學數(shù)學科學學院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010022

0 引言

利用數(shù)學上的理想模型為許多實際系統(tǒng)建模已成為當今解決問題的方法之一。而中立型Lurie 控制系統(tǒng)就是一類非常重要的數(shù)學模型。本文探索了幾類時滯中立型Lurie 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒絕對穩(wěn)定性問題，尋找使得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，這些系統(tǒng)來源于現(xiàn)實生活中廣泛存在的問題，很有研究價值。

1 發(fā)展概況

首先，在實際的控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)狀態(tài)的變化速度可能會含有時滯，即系統(tǒng)變化速度不僅依賴于當前信息，而且還會依賴于過去的信息。2005 年，徐炳吉、沈軼、廖曉昕巧妙構造Lyapunov 泛函，研究了一般中立型Lurie 控制系統(tǒng)

得到系統(tǒng)(1)絕對穩(wěn)定性的時滯相關、時滯無關的若干充分條件；2006 年，董曉梅、趙崢嶸引用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式，對一類中立型Lurie 系統(tǒng)

進行討論，得到系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的又一新的時滯相關準則；2005年，徐炳吉、劉新芝又利用Lyapunov 泛函方法，對中立型Lurie 控制系統(tǒng)

進行了絕對穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)時滯相關條件和時滯無關條件，結果均是用線性矩陣不等式形式表示的。

其次，實際系統(tǒng)的滯后和結構擾動也是系統(tǒng)不穩(wěn)定的重要因素，尤其是不確定時滯系統(tǒng)的魯棒控制問題倍受關注。目前，在系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析、魯棒控制器設計、魯棒性能分析等方面都獲得了大量的研究成果[1 -3]。Lurie 控制系統(tǒng)是一類非常重要的控制系統(tǒng)，其相關魯棒穩(wěn)定性研究已有大量的研究成果。

2003 年，彭達洲、胥布工針對一類具有范數(shù)不確定參數(shù)和未知常數(shù)時滯的Lurie 型不確定系統(tǒng)

其中 0 ≤τ,τ1≤Γ 為未知常時滯，建立了系統(tǒng)的時滯相關魯棒絕對穩(wěn)定性判據(jù)，并且所得結果用LMI 形式表示，應用Matlab LMI 工具箱迭代求解可以得到時滯的上界，從而可對系統(tǒng)的允許時滯做出較高的估計。

2004 年，李宏飛、羅學波考慮了系統(tǒng)矩陣具有可加式擾動的不確定中立型Lurie 直接控制系統(tǒng)

并給出了基于求解線性矩陣不等式的魯棒絕對穩(wěn)定性條件，且這些條件是時滯相關的；同年，他們又對如下一類Lurie 間接控制系統(tǒng)

進行了魯棒穩(wěn)定性分析，借助于Lyapunov 泛函構造方法，給出了關于Lyapunov 泛函中正定矩陣和積分項參數(shù)的線性矩陣不等式的穩(wěn)定性判別準則，且這些準則是與時滯量的大小無的。

2005 年，徐炳吉、廖曉昕考慮了不確定性中立型Lurie控制系統(tǒng)并應用Lyapunov 泛函方法，對系統(tǒng)(7)的魯棒絕對穩(wěn)定性進行了研究，并給出魯棒絕對穩(wěn)定的時滯相關充分條件。

2006 年，王海龍又討論了單時滯不確定Lurie 控制系統(tǒng)

以及多時滯多執(zhí)行機構的Lurie 系統(tǒng)

并巧妙構造Lyapunov 泛函，合理引用Razumikhin 定理，推導出系統(tǒng)在非結構不確定性下魯棒絕對穩(wěn)定的充分條件。

2 相關研究成果的推廣

1）控制項具有時滯的中立型Lurie 控制系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性

考慮系統(tǒng)

利用M-矩陣的性質(zhì)[4]，并構造出合適的Lyapunov 泛函得到該系統(tǒng)相關結論，相關證明過程相見文[2]。

2）一類一般非線性中立型Lurie 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

考慮系統(tǒng)利用M-矩陣的性質(zhì)，并構造出合適的Lyapunov 泛函得到該系統(tǒng)零解是一致漸近穩(wěn)定的，相關證明過程相見文[2]。

3）一類不確定性中立型Lurie 控制系統(tǒng)的時滯相關魯棒絕對穩(wěn)定性

考慮系統(tǒng)

利用Schur 補引理、S-過程方法和相關引理，并基于線性矩陣不等式處理方法給出了系統(tǒng)(12)魯棒絕對穩(wěn)定性的判別條件，相關證明過程相見文[3]。

3 研究目的和意義

近年來，Lurie 型控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，倍受專家學者們的關注，這是因為很多控制系統(tǒng)都可以轉化為Lurie 型非線性控制系統(tǒng)，因此，對此類控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論分析、實際設計等有著實際價值。專家學者們巧妙地引用各種有效的方法，完成了控制系統(tǒng)的分析研究、綜合設計，并得到相應控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性及魯棒絕對穩(wěn)定性的充分條件和在特殊情況下的充要條件。

然而，要么是實際現(xiàn)象過于復雜，要么是理論成果很理想化，這是目前存在的現(xiàn)狀。正如我們所研究的實際控制系統(tǒng)一樣，有待于解決的問題很多，比如：其一，時滯的存在：現(xiàn)實中的閉環(huán)控制系統(tǒng)都存在滯后，滯后現(xiàn)象常常會使系統(tǒng)的性能變差甚至可能會導致系統(tǒng)振動以及不穩(wěn)定，正因如此，專家學者們開始研究具有時滯的系統(tǒng)。目前，關于Lurie 型時滯系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果。然而，無論是系統(tǒng)的狀態(tài)、狀態(tài)的變化速度亦或是對系統(tǒng)實際加以控制的控制器都不僅僅依賴于當前的信息，而且還依賴于過去的信息，于是由于在這里引入系統(tǒng)的過去狀態(tài)信息，若是此信息對滯后系統(tǒng)的影響較小，則系統(tǒng)尚可有效，若是影響較大，則原控制條件的控制效果可能不好，因此探討滯后型和中立型Lurie 系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性是有實際意義的；其二，系統(tǒng)模型的不確定性和參數(shù)攝動：為了對系統(tǒng)進行綜合，要建立起系統(tǒng)的模型，而且系統(tǒng)的綜合結果都是相對于所建立的模型而得到的。實際控制系統(tǒng)中的不確定因素、建模過程中的誤差，這些都是不可避免地存在著的，而且可能是各種各樣。因此，相對于一個實際系統(tǒng)來講，所導出的模型一般都是比較理想化的模型，但是人們?nèi)匀黄诖诖龑嶋H的控制系統(tǒng)能夠具有一定的抗干擾能力。

進入21 世紀后，已有的研究成果已經(jīng)遠不能滿足時代的需求了。因此，進一步探索不確定性的Lurie 系統(tǒng)，尤其是探索不確定時滯型Lurie 控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性已經(jīng)是時代需求的事情了。

[1]馬新軍，胥布工.不確定時滯系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性及魯棒控制研究.華南理工大學博士論文，2005.

[2]王玉紅.具有時滯的Lurie型控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性和魯棒穩(wěn)定性的研究.內(nèi)蒙古師范大學碩士學位論文，2007.

[3]王玉紅，包俊東.不確定性中立型Lurie控制系統(tǒng)的時滯相關魯棒絕對穩(wěn)定性[J].內(nèi)蒙古師范大學學報，2014，43(5)：1-6.

[4]George Poole，Thomas Boollon.A surrey on M-matrix，Siam Review，1974，16(4)：419-426.