間隙率對三軸向機織復合材料彈性性能的影響

白江波，熊峻江，高軍鵬，益小蘇

（1北京航空航天大學 交通科學與工程學院，北京100191；2北京航空材料研究院 先進復合材料國家重點實驗室，北京100095）

先進復合材料由于具有高的比剛度和比強度，以及性能的可設計性，因此在減重需求迫切的航空航天領域正得到日益廣泛的研究和應用[1］。紡織復合材料屬于結構型材料，可根據工程應用需求，對其微觀結構進行設計，從而實現材料的宏觀性能指標。紡織復合材料的彈性性能參數對于復合材料結構設計非常關鍵，因此，國內外很多研究人員開展了這方面的工作[2－6］。王瑞等[3］利用細觀力學的代表體積元法建立了用于預測平紋織物復合材料彈性模量的解析模型，分析了細觀結構與宏觀性能之間的關系，通過該方法預測結果與實驗結果吻合良好。Xiong等[7，8］將平紋機織復合材料經緯兩個方向彎曲的纖維束抽象為正弦曲梁模型，更加接近材料的真實構型，基于能量法預測了拉伸和壓縮彈性模量，與實驗結果吻合良好。Nguyen等[9］提出了一種預測碳纖維平紋機織復合材料剪切模量的解析模型，將纖維束簡化梁單元，預測了織物的初始滑移區、彈性變形范圍和剪切模量，與實驗結果吻合良好。李典森等[10］在四步法方型三維機織復合材料細觀結構單胞模型的基礎上，將紗線橫截簡化為六邊形面，建立了實體有限元模型，預測了材料的彈性常數，并分析了編織角和纖維體積含量對彈性常數的影響規律，預測結果與實驗結果吻合良好。Chaphalkar等[11］基于經典層合板理論，提出了一種預測斜紋織物復合材料的拉伸和剪切模量的解析模型，預測結果與實驗結果吻合良好。Kueh等[12］基于連續基爾霍夫板理論建立了單層三軸向機織復合材料的線彈性響應模型，通過橫觀各向同性的三維梁構建了單胞模型，利用有限元方法得到單胞的等效平板剛度矩陣（ABD矩陣），再利用剛度矩陣推算出面內拉伸、壓縮和剪切等彈性性能，并與實驗結果進行比較，二者吻合良好。Aoki等[13］采用與 Kueh等[12］類似的方法，基于有限元分析基礎上建立了三軸向機織復合材料的半解析模型，區別在于Aoki等通過實體單元建模，預測了三點彎曲和純彎曲的彈性性能，以及熱膨脹系數，與實驗結果吻合良好。Kueh等[14］進一步提出了三軸向機織復合材料超彈性應變能密度函數公式，該能量函數由基體、纖維束和相互作用三部分組成，表現出非線性的應力－應變響應，并且進行了實驗驗證，結果吻合良好。Zhao等[15］采用有限元和實驗方法研究了三軸向機織復合材料承受單一拉伸載荷的漸進失效過程，分別采用最大應力準則、霍夫曼準則和蔡－吳準則預測了失效過程，與實驗結果吻合良好。

從以上論述可知，已有文獻針對紡織復合材料彈性性能開展了解析、有限元和實驗方法的研究。其中三軸向機織復合材料，由于由三個方向（0°，60°和120°）纖維束編織而成，可通過樹脂預浸并固化，形成具有一定剛度的二維單層機織復合材料結構，因此，這種結構在宏觀尺度上的力學性能表現為準各向同性，所以在超低面密度復合材料結構中有很大的應用潛力。本工作對三軸向機織復合材料首先進行了幾何構型分析，在此基礎上建立了拉伸／壓縮和剪切的有限元分析模型，將有限元預測的結果與文獻中的實驗結果進行了對比，結果吻合良好，證明了模型的有效性，并且進一步研究了間隙率對三軸向機織復合材料彈性性能的影響，可為三軸向機織復合材料在工程應用中的超輕量化設計提供參考。

1 幾何構型及基本參數

三軸向機織復合材料是由三個方向的纖維束編織而成。為便于對比分析和保證基本材料參數的可靠性，本工作分析時使用纖維束材料及其參數和幾何構型形式與Kueh等[12］的研究報告一致，如表1和表2所示。所有模型中絲束的寬度不變，即0.9mm，絲束的厚度為h。取出一個單胞（如圖1所示），單胞邊長分別為a和b，由中性軸組成的正六邊形（虛線部分）特征邊長為L，通過幾何關系可知：

三軸向機織復合材料的間隙率k定義為單胞間隙面積比單胞總面積，可表示為

將式（3）代入式（2），可得

一個單胞的纖維面密度為

表1 纖維與基體材料性能Table 1 Fibre and matrix properties

表2 纖維束材料性能Table 2 Tow material properties

圖1 三軸向機織復合材料幾何構型及單胞幾何參數Fig.1 Geometry construction and basic parameters of TWF composites

將式（5）進一步整理，可得

將式（4）代入式（6），得

式（4）和式（7）建立了三軸向機織復合材料單胞中性軸組成的正六邊形特征邊長L和面密度ρA與間隙率k之間的關系，在不同纖維束厚度下的關系如圖2厚度時面密度與間隙率之間的關系，同時需要指出當絲束寬度一定，最小間隙率極限值為1／3，即間隙率的取值范圍為k∈（1／3，1），這是由三軸向機織復合材料的幾何構型決定的。

圖2 面密度ρA與邊長L隨間隙率k的變化Fig.2 Surface densityρAand feature length Lwith increase of gap ratio k

2 計算模型及有效性驗證

2.1 計算模型

在前面的幾何構型的基礎之上，采用有限元方法研究了間隙率改變時對三軸向機織復合材料的拉伸剛度、壓縮剛度、剪切剛度和泊松比等面內彈性性能和比剛度的影響，采用商用軟件ANSYS中的實體單元進行建模和分析。

為了盡可能減少邊界條件對分析結果的影響，所有分析模型均采用三胞模型（如圖3所示）。對于0°拉伸／壓縮模型（如圖3（a）所示）：約束端約束x向自由度，并且在約束端選擇一個關鍵點約束所有自由度；在加載端施加位移載荷ux；計算分析后可得到約束端的支反力合力Fx及y向位移uy。0°拉伸／壓縮剛度和泊松比可表示為

式（8）中為區別拉伸和壓縮剛度，Stx和Scx分別表示拉伸和壓縮剛度；比剛度只需用相應剛度除以面密度即可。

對于90°拉伸／壓縮模型（如圖3（b）所示）：約束端約束y向自由度，并且在約束端選擇一個關鍵點約束所有自由度；在加載端施加位移載荷uy；計算分析后可得到約束端的支反力合力Fy及x向位移ux。90°拉伸／壓縮剛度表示為

式（9）中為區別拉伸和壓縮剛度，Sty和Scy分別表示拉伸和壓縮剛度；比剛度只需用相應剛度除以面密度即可。

圖3 有限元模型 （a）拉伸模型；（b）壓縮模型；（c）剪切模型Fig.3 FEA models （a）tension／compression model of 0°direction；（b）tension／compression model of 90°direction；（c）tear model

對于剪切模型（如圖3（c）所示）：約束端約束全部自由度，加載端（三個端面）先分別進行節點耦合，形成剛性端面，在大加載端面約束所有轉動自由度和z向自由度并在中心耦合節點施加一個y向力Ty，在兩個小端面分別施加一對相反的x向力Tx，可形成剪切受力狀態，根據力矩平衡可得

將式（1）代入式（10）中，可得

計算分析后可得到大加載端在y向位移uy，剪切應變可近似表示為

剪切剛度可表示為

將式（12）代入式（13）中，可得

2.2 有效性驗證

為了驗證上述模型的有效性，根據Kueh等[12］的研究報告幾何參數（纖維束寬度為0.9mm，厚度為0.07mm；纖維束之間搭接比較致密，三角形間隙非常小）和材料參數（如表1和表2所示）建模，并且與他們實驗測定的結果進行了對比。由于三軸向機織復合材料一定會存在三角形的間隙（如圖4所示），只有當完全沒有三角形的間隙時它的間隙率k才為1／3，但實際情況下這是不可能的，所以建模時將k取0.34來進行近似。各剛度分析模型的變形位移云圖如圖5所示，有限元分析結果與Kueh等[12］的研究報告的實驗結果對比情況如表3所示，由表3可知，有限元分析與實驗吻合的很好，證明前面建立的分析模型是有效的。

圖4 三軸向機織復合材料三胞模型Fig.4 Three representative unit cell model of TWF

表3 預測與實驗結果Table 3 Predicted and measured results

3 間隙率對彈性性能的影響

在前面2.2節證明了分析模型的有效性之后，下面進一步分析三軸向機織復合材料的面內剛度隨間隙率的變化。仍然使用Kueh等[12］的研究報告中的材料參數，纖維束寬度固定為0.9mm，厚度固定為0.06mm。圖7至圖12給出了0°和90°方向拉伸／壓縮剛度、剪切剛度和泊松比以及比剛度隨間隙率k的變化，圖6給出了當h＝0.06，k＝0.5時，各剛度分析模型的變形位移云圖，可知：（1）0°方向拉伸剛度和壓縮剛度相等，90°方向拉伸剛度和壓縮剛度也相等；（2）0°和90°方向拉伸／壓縮剛度以及剪切剛度隨k的增加而減小，泊松比隨k的增加略微增加（幾乎不變）；（3）0°方向比拉伸／壓縮剛度隨k的增加而略微增加，90°方向比拉伸／壓縮剛度隨k的增加而略微減小，比剪切剛度隨k的增加幾乎不變。

圖5 當h＝0.07且k＝0.34時各剛度分析模型的變形位移云圖（a）0°方向拉伸變形；（b）0°方向壓縮變形；（c）90°方向拉伸變形；（d）90°方向壓縮變形；（e）剪切變形Fig.5 Deformation distribution of stiffness analysis models with h＝0.07and k＝0.34（a）tension deformation of 0°diretion；（b）compression deformation of 0°diretion；（c）tension deformation of 90°diretion；（d）compression deformation of 90°diretion；（e）tear deformation

圖6 當h＝0.06且k＝0.5時各剛度分析模型的變形位移云圖（a）0°方向拉伸變形；（b）0°方向壓縮變形；（c）90°方向拉伸變形；（d）90°方向壓縮變形；（e）剪切變形Fig.6 Deformation distribution of stiffness analysis models with h＝0.06and k＝0.5（a）tension deformation of 0°direction；（b）compression deformation of 0°direction；（c）tension deformation of 90°direction；（d）compression deformation of 90°direction；（e）tear deformation

圖7 0°方向拉伸剛度St x與比剛度St x／ρA隨間隙率k的變化Fig.7 Tension stiffness of 0°direction St xand specific stiffness St x／ρAwith increase of gap ratio k

圖8 0°方向壓縮剛度Scx與比剛度Scx／ρA隨間隙率k的變化Fig.8 Compression stiffness of 0°direction Scxand specific stiffness Scx／ρAwith increase of gap ratio k

圖9 90°方向拉伸剛度Sty與比剛度Sty／ρA隨間隙率k的變化Fig.9 Tension stiffness of 90°direction Styand specific stiffness Sty／ρAwith increase of gap ratio k

圖10 90°方向壓縮剛度Scy與比剛度Scy／ρA隨間隙率k的變化Fig.10 Compression stiffness of 90°direction Scyand specific stiffness Scy／ρAwith increase of gap ratio k

圖11 剪切剛度Sxy與比剛度Sxy／ρA隨間隙率k的變化Fig.11 Tear stiffness Sxyand specific stiffness Sxy／ρAwith increase of gap ratio k

圖12 泊松比νxy隨間隙率k的變化Fig.12 Poisson′s ratioνxywith increase of gap ratio k

4 結論

（1）根據三軸向機織復合材料幾何構型，建立了三軸向機織復合材料的面密度和單胞特征邊長與間隙率之間的關系。

（2）建立了三軸向機織復合材料拉伸、壓縮和剪切的有限元計算模型，并將預測的拉伸剛度、壓縮剛度、剪切剛度和泊松比與實驗結果進行了比較，吻合良好。

（3）分析了間隙率改變時對三軸向機織復合材料的拉伸剛度、壓縮剛度、剪切剛度和泊松比和比剛度的影響，發現剛度隨間隙率的增加而顯著下降，而比剛度和泊松比隨間隙率的增加變化較小。

[1]中國航空研究院.復合材料結構設計手冊[M］.北京：航空工業出版社，2001.11.

[2]易洪雷，丁辛.三維機織復合材料的彈性性能預報模型[J］.力學學報，2003，35（5）：570－577.YI H L，DING X.A model to predict elastic properties of 3D woven composites[J］.Acta Mechanica Sinica，2003，35（5）：570－577.

[3]王瑞，王建坤，武玲.平紋織物復合材料的彈性模量預測[J］.復合材料學報，2002，19（1）：90－94.WANG R，WANG J K，WU L.Prediction for elastic properties of plain weave fabric composites[J］.Acta Materiae Composite Sinica，2002，19（1）：90－94.

[4]CALLUS P J，MOURITZ A P，BANNISTER M K，etal.Tensile properties and failure mechanisms of 3Dwoven GRP composites[J］.Composites：Part A，1999，30（11）：1277－1287.

[5]SHENG S Z，HOA S V.Three dimensional micro－mechanical modeling of woven fabric composites[J］.J Compos Mater，2003，37（9）：763－89.

[6]KING M J，JEARANAISILAWONG P，SOCRATE S.A continuum constitutive model for the mechanical behavior of woven fabrics[J］.International Journal of Solids and Structures，2005，42（13）：3867－3896.

[7]XIONG J J，SHENOI R A，CHENG X.A modified micromechanical curved beam analytical model to predict the tension modulus of 2Dplain weave fabric composites[J］.Composites：Part B，2009（40）：776－783.

[8]CHENG X，XIONG J J.A novel analytical model for predicting the compression modulus of 2DPWF composites[J］.Composite Structures，2009，88（2）：296－303.

[9]NGUYEN M，HERSZBERG I，PATON R.The shear properties of woven carbon fabric[J］.Composite Structures，1999，47（1－4）：767－779.

[10]李典森，盧子興，藺曉明，等.三維四向編織復合材料彈性性能的有限元預報[J］.北京航空航天大學學報，2006，32（7）：828－832.LI D S，LU Z X，LIN X M，etal.Finite element prediction of elastic properties of three dimensional and four directional braided composites[J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006，32（7）：828－832.

[11]CHAPHALKAR P，KELKAR A.Classical laminate theory model for twill weave fabric composites[J］.Composites：Part A，2001，32（9）：1281－1289.

[12]KUEH A B H，PELLEGRINO S.Triaxial weave fabric composites[R］.European Space Contractor Report，Department of Engineering，University of Cambridge，30June 2007.

[13]AOKI T，YOSHIDA K，WATANABE A.Feasibility study of triaxially－woven fabric composite for deployable structures[C］／／48th AIAA／ASME／ASCE／AHS／ASC Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference，23－26April 2007，Honolulu，Hawaii.AIAA 2007－1811.

[14]KUEH A B H.Fitting－free hyperelastic strain energy formulation for triaxial weave fabric composites[J］.Mechanics of Materials，2012，47（4）：11－23.

[15]ZHAO Q，HOA S V，OUELLETTE P.Progressive failure of triaxial woven fabric（TWF）composites with open holes[J］.Composite Structures，2004，65（3－4）：419－431.