周期函數(shù)淺思

◆姜 平

(內(nèi)蒙古呼倫貝爾市海拉爾鐵路第一中學(xué))

對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)任何一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做f(x)的周期。

為了體現(xiàn)出學(xué)生舉一反三的思維靈活性以及特有的數(shù)學(xué)邏輯，函數(shù)的周期也會以其他形式給出。

設(shè)a為非零常數(shù)

特例 1:若f(x+a)=－f(x)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T=2a為它的一個周期。

證明:f(x)= －f(x+a)=f［(x+a)+a］ =f(x+2a)∴T=2a

評述:與定義相對比、f(x+a)=－f(x)中多一個負號所以T≠a，但以此式為依據(jù)展開數(shù)學(xué)邏輯推理，可得f(x)=－f(x+a)，把“x+a”看作整體，再依據(jù)已知等式即可得－f(x+a)=f［(x+a)+a］，即f(x)=f(x+2a)

特例3:若f(x+a)=f(x－ a)，則f(x)為周期函數(shù)，T=2a為函數(shù)f(x)的一個周期

證明:f(x)=f［(x+a)－ a］ =f［(x+a)+a］=f(x+2a)

評述:f(x+a)=f(x－a)描述的是函數(shù)的周期性，而f(a+x)=f(ax)描述的是函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱的對稱性，二者應(yīng)相互區(qū)別。

特例4:若函數(shù)f(x)同時關(guān)于x=a與x=b對稱(a＜b)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T=2(b－a)是它的一個周期

證明:若函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱，則f(a+x)=f(a－x)…………①

若函數(shù)f(x)關(guān)于x=b對稱，則f(b+x)=f(b－x)…………②

因此f(x)=f［a－ (a－ x)］

=f［a+(a－x)］……(依據(jù)式①)

=f(2a－ x) ……(T≠2a，繼續(xù)推理)

=f［b+(－b+2a－ x)］

=f［b－ (－b+2a－ x)］……(依據(jù)式②)

=f(2b－2a+x)

即 f(x)=f［x+2(b－a)］

特例5:若f(x)關(guān)于點(a，0)對稱同時關(guān)于點(b，0)對稱，則f(x)是一個周期函數(shù)，T=2(b－a)是f(x)的一個周期

證明:若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a，0)對稱，則 f(a+x)= －f(a－x)…………①

若函數(shù)f(x)關(guān)于點(b，0)對稱，則f(b+x)=－f(b－x)…………②

因此 f(x)=f［a－(a－x)］

= －f［a+(a－x)］……(依據(jù)式①)

= －f(2a－x)

= －f［b+(－b+2a－x)］

=f［b－(－b+2a－x)］……(依據(jù)式②)

=f［(2b －2a)+x］

即 f(x)=f［x+(2b－2a)］

練習(xí)1:已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=－f(x)，

則f(2010)=________。

分析:

f(x+2)=－f(x)，根據(jù)特例1，f(x)是以4為周期的周期函數(shù)

因此f(2010)=f(502×4+2)=f(2)

由已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)

因此f(0)=0

因此f(2)=f(0+2)= －f(0)=0，即f(2010)=0。

練習(xí)2:f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在［0，4)上單調(diào)遞增，若f(x+2)也為奇函數(shù)，試判斷f(x)在［4，8)上的單調(diào)性。

分析:

f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

因此f(x)關(guān)于點(0，0)對稱

由已知f(x+2)也為奇函數(shù)

因此f(x)也關(guān)于點(2，0)對稱

依據(jù)特例6，f(x)為T=4的周期函數(shù)

由已知f(x)在［0，4)上單調(diào)遞增

因此在［4，8)上也單調(diào)遞增。

分析:由特例2可知f(x)是T=4的周期函數(shù)

因此f(5)=f(4+1)=f(1)=－5

而f(－5)=f(－5+4)=f(－1)

函數(shù)的周期性、奇偶性是函數(shù)在其定義域內(nèi)的性質(zhì)，是函數(shù)的整體性質(zhì)。了解函數(shù)性質(zhì)間的聯(lián)系，準確判斷，合理使用，可以大大提高分析、解決問題的能力。