基于馬爾科夫鏈的食糖價格趨勢預測模型

摘 要：以馬爾科夫鏈為基礎，利用區間估計建立食糖價格變化趨勢的數學模型，通過引入0、變異系數、標準差及方差作為臨界值，確定價格落在各區間的概率，縮小了預測范圍，預測結果與實際情況相符。結論為馬爾科夫鏈應用的擴展提供一定的理論依據，并為食糖價格趨勢的預測提供了參考。

關鍵詞：馬爾科夫鏈；食糖價格；轉移概率

中圖分類號：F224；F323.7 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2014）29-0140-03

食糖是全球基礎農產品之一，在國際農產品貿易中，食糖是15 種農副產品中價格波動程度最大的商品，一直備受各國政府關注[1]。作為全球最大的食糖生產、消費國之一，中國的食糖產業仍處于弱勢地位。我國的食糖產業主要分布在經濟欠發達地區，是一些地方財政收入的主要來源，產業的發展與千萬糖農的生計息息相關。以中國糖都廣西為例，從事糖科蔗種植的總計近2 000萬農民、56個縣（市、區），其中21個縣的一半財政收入源自糖業稅收，全區49個貧困縣中有36個貧困縣的農民依靠糖科蔗生產來解決生計問題。食糖是城鄉居民的生活必需品，其價格彈性很小，產量的小幅波動就會引起食糖價格的劇烈變化。近幾年，我國食糖需求量快速增長，而食糖生產波動呈周期性，導致食糖價格極其不穩定，對糖農和制糖企業的發展造成不利的影響[2]。因此，在世界經濟疲軟和農副產品價格暴跌的大環境下，如何確保食糖市場的穩定是當前亟須解決的問題。本文運用馬爾科夫預測法，通過對食糖價格不同狀態之間轉移概率的研究，運用轉移概率矩陣技術預測食糖價格波動及變化趨勢，對我國食糖產業的穩定發展具有一定的現實意義。

一、理論概述與模型的建立

（一）馬爾科夫鏈的定義

馬爾科夫鏈是一種隨機序列，它具有離散性和無后效性[3]。假設狀態編號為1，2，…，N，當隨機序列在tn時刻所處的狀態為已知時，其在另一時刻時所處狀態的概率特性與序列在tm時刻之前的狀態無關，而只與其在tm時刻所處的狀態i有關。對于隨機序列{Xn，n≥0}，若對任意正整數m>2，0≤t1

如果序列滿足以上條件，則可用馬爾科夫鏈研究其狀態變化過程，對未來狀態轉移的各種可能性進行預測[4]。

（二）馬爾科夫鏈預測模型的建立

記xn為時刻tn時預測對象所處的狀態，用下式表示在tn時刻預測對象處于第i個狀態上，有：

在下一時刻tn+1轉變成第j個狀態的可能性，又稱為狀態i經一步轉移到狀態j的概率，即一步轉移概率。將pij按照順序排列構成一個矩陣，即轉移概率矩陣

類似地可導出多步轉移概率。若預測對象在t0時刻處于狀態i，在tn時刻處于狀態j，這種轉移的可能性的數量指標即n步轉移概率，可理解為預測對象從狀態i經過n步轉移至狀態j的概率，記為

則

為n步轉移概率矩陣。對于n步轉移概率有

以上公式為切普曼·柯爾莫哥洛夫方程式，即馬爾科夫預測模型。轉移概率矩陣具有如下性質：

（1），即每個元素都是非負的；

（2），即矩陣每行的元素之和都等于1。

Xn表示某一食糖價格第期的價格，記，本文設定狀態空間為E，且E={-1，0，1}，分別代表降、平、升三種狀態。則價格在狀態空間內的變化一共有9種可能，分別為-1→-1（持續下降），-1→0（先降后平），-1→1（先降后升），0→-1（先平后降），0→0（持續平穩），0→1（先平后升），-1→1（先升后降），1→0（先升后平），1→1（持續上升）。

為了更好地觀測食糖價格的狀態變化，本文引入各個狀態之間的臨界值，用變量來表示。鑒于不同的食糖價格的變化情況各異，在進行區間估計時，不能以單一的常數作為臨界值，因此將0、σ（變異系數）、σ（標準差）、σ2（方差）分別作為臨界值Z來劃分區間[5]。不同臨界值下的區間劃分見表1。

（三）馬氏檢驗

對于隨機序列{Xn，n≥0}，以Fij表示從狀態i經過一步轉移到狀態j的次數，Sj表示一步轉移概率矩陣中各列之和除以各行各列的總和所得的值，則

同時，

當n的取值較大時，服從自由度為（n-1）2的χ2分布。選定置信度α，通過查表得到χ2

α（（n-1）2）的值，當χ2>χ2

α（（n-1）2）時，可認為{Xn，n≥0}具有馬氏性，否則認為該序列不是馬爾科夫鏈。

二、食糖價格未來變化趨勢的預測

以原糖價格為例，連續觀察2013年6月24日至2013年10月10日起連續70期的原糖價格波動情況，利用馬爾科夫鏈預測模型預測第71期的價格變化趨勢，原始數據見表2。

（一）馬氏檢驗

將以上70期的原始數據導入SPSS17.0進行計算，得到統計量χ2=11.600。給定顯著水平α=0.05，經過查表可知分為點的值χ2（4）=9.488，由于χ2>χ2（4），因此原始數據具有馬氏性，可利用馬爾科夫鏈進行預測。

（二）臨界值的確定

為了確定原糖價格波動幅度的概率，需要進行區間估計。分別采用0、σ、σ2σ作為臨界值Z來進行區間估計。據此，將連續70期的原糖價格樣本進行統計處理，在SPSS17.0求出樣本標準差σ=0.55，樣本方差σ2=0.30，變異系數σ=0.03。分別將0、σ、σ2σ賦值給臨界值Z，以此來進行區間估計。

（三）價格變化的轉移概率矩陣

對表2中的樣本進行分析，依據已建立的模型來確定每期價格所處的狀態，得到70期價格狀態轉移情況。分別計算出-1→-1、-1→0、-1→1、0→-1、0→0、0→1、1→-1、1→0與1→1 這9種情況發生的次數，構造一步轉移概率矩陣P；以第70期作為初始狀態，算出初始狀態向量p（0）。P和p（0）皆因臨界值Z取值的變化而有所不同，經計算，分別得出不同的P與p（0）：

當Z=0時，；

當X=σ時，；

當Z=σ2時，；

當Z=σ時，。

對應的初始狀態向量P0乘以一次轉移概率矩陣P即得到預測的概率。則第一次轉移的概率矩陣為

P（1）=p（0）×P

經計算得出第一次轉移的預測概率，見表3。

（四）預測結果分析

當臨界值Z=0時，初始狀態為1，轉移概率矩陣為（0.2188，

0.1563，0.6250），說明新一期的原糖價格先升后降的概率為0.2188，先升后平的概率為0.1563，持續上升的概率為0.625。結果說明原糖價格在第71期有很大的可能會上漲。當臨界值Z=0.55時，初始狀態為0，此時的轉移概率矩陣為（0，1，0），說明原糖價格變化區間在[-0.55，0.55）的概率為1。說明第71期原糖價格上升幅度不會超過0.55。當臨界值Z=0.30時，

初始狀態為0，此時的轉移概率矩陣為（0.0313，0.9375，

0.0313），說明原糖價格變化范圍在（-∞，-0.30）及[0.30，∞）的概率都為0.0313，而變化范圍在[-0.30，0.30）的概率為0.9375。結果說明第71期原糖價格上升幅度有極大的可能不會超過0.3。當臨界值Z=0.03時，初始狀態為1，轉移概率矩陣為（0.2000，

0.3333，0.4667），說明原糖價格變化范圍在（-∞，-0.30）的概率是0.2，價格變化范圍在[-0.30，0.30）的概率是0.3333，價格變化范圍在[0.30，∞）的概率為0.4667。結果說明，第71期的原糖價格的上升幅度有較大的可能會大于或等于0.03。

結合以上分析，第71期原糖價格將呈現上升的狀態，上升的幅度在[-0.30，0.30）區間之內。而事實上第71期，即2013年10月10日的原糖價格為18.88美分/磅，較上期的上升幅度為0.2，預測結果與實際情況吻合。

三、結論

本文利用馬爾科夫鏈，在連續觀察原糖價格的基礎上，運用動態數學模型預測原糖價格未來的波動狀況，并通過引入臨界值，使用區間估計確定價格落在各區間的概率，縮小預測范圍，預測結果與實際情況一致。

雖然馬爾科夫鏈可以在一定概率程度上反映食糖價格的走勢，但由于食糖市場存在著大量的不確定因素，如宏觀經濟因素、市場因素、產業因素等，這些因素可能導致預測結果難以形成大概率事件，預測出的某期價格波動可能會出現偏差，因此概率僅僅作為決策的參考。此外，轉移概率矩陣并非長期不變的，使用大樣本并非提高預測結果的準確率的途徑，適當的樣本數也是預測成功的關鍵。

參考文獻：

[1] 魏振祥，劉國良.入世后中美食糖價格聯動效應動態變化的實證研究——基于2002—2012年中美食糖價格數據[J].北京工商大

學學報：社會科學版，2012，27（4）：117-122.

[2] 張諧韻.我國食糖價格波動趨勢及預測——基于GARCH模型的分析[J].價格理論與實踐，2012，（10）：52-53.

[3] 夏莉，黃正洪.馬爾可夫鏈在股票價格預測中的應用[J].商業研究，2003，（10）：62-65.

[4] 馮文權.經濟預測與決策技術[M].成都：電子科技大學出版社，1989.

[5] 蔣蓉華，李升澤.用Delphi實現基于馬氏鏈的股票走勢分析技術的研究[J].商業研究，2008，（3）：207-211.

[責任編輯 王 佳]

α（（n-1）2）的值，當χ2>χ2

α（（n-1）2）時，可認為{Xn，n≥0}具有馬氏性，否則認為該序列不是馬爾科夫鏈。

二、食糖價格未來變化趨勢的預測

以原糖價格為例，連續觀察2013年6月24日至2013年10月10日起連續70期的原糖價格波動情況，利用馬爾科夫鏈預測模型預測第71期的價格變化趨勢，原始數據見表2。

（一）馬氏檢驗

將以上70期的原始數據導入SPSS17.0進行計算，得到統計量χ2=11.600。給定顯著水平α=0.05，經過查表可知分為點的值χ2（4）=9.488，由于χ2>χ2（4），因此原始數據具有馬氏性，可利用馬爾科夫鏈進行預測。

（二）臨界值的確定

為了確定原糖價格波動幅度的概率，需要進行區間估計。分別采用0、σ、σ2σ作為臨界值Z來進行區間估計。據此，將連續70期的原糖價格樣本進行統計處理，在SPSS17.0求出樣本標準差σ=0.55，樣本方差σ2=0.30，變異系數σ=0.03。分別將0、σ、σ2σ賦值給臨界值Z，以此來進行區間估計。

（三）價格變化的轉移概率矩陣

對表2中的樣本進行分析，依據已建立的模型來確定每期價格所處的狀態，得到70期價格狀態轉移情況。分別計算出-1→-1、-1→0、-1→1、0→-1、0→0、0→1、1→-1、1→0與1→1 這9種情況發生的次數，構造一步轉移概率矩陣P；以第70期作為初始狀態，算出初始狀態向量p（0）。P和p（0）皆因臨界值Z取值的變化而有所不同，經計算，分別得出不同的P與p（0）：

當Z=0時，；

當X=σ時，；

當Z=σ2時，；

當Z=σ時，。

對應的初始狀態向量P0乘以一次轉移概率矩陣P即得到預測的概率。則第一次轉移的概率矩陣為

P（1）=p（0）×P

經計算得出第一次轉移的預測概率，見表3。

（四）預測結果分析

當臨界值Z=0時，初始狀態為1，轉移概率矩陣為（0.2188，

0.1563，0.6250），說明新一期的原糖價格先升后降的概率為0.2188，先升后平的概率為0.1563，持續上升的概率為0.625。結果說明原糖價格在第71期有很大的可能會上漲。當臨界值Z=0.55時，初始狀態為0，此時的轉移概率矩陣為（0，1，0），說明原糖價格變化區間在[-0.55，0.55）的概率為1。說明第71期原糖價格上升幅度不會超過0.55。當臨界值Z=0.30時，

初始狀態為0，此時的轉移概率矩陣為（0.0313，0.9375，

0.0313），說明原糖價格變化范圍在（-∞，-0.30）及[0.30，∞）的概率都為0.0313，而變化范圍在[-0.30，0.30）的概率為0.9375。結果說明第71期原糖價格上升幅度有極大的可能不會超過0.3。當臨界值Z=0.03時，初始狀態為1，轉移概率矩陣為（0.2000，

0.3333，0.4667），說明原糖價格變化范圍在（-∞，-0.30）的概率是0.2，價格變化范圍在[-0.30，0.30）的概率是0.3333，價格變化范圍在[0.30，∞）的概率為0.4667。結果說明，第71期的原糖價格的上升幅度有較大的可能會大于或等于0.03。

結合以上分析，第71期原糖價格將呈現上升的狀態，上升的幅度在[-0.30，0.30）區間之內。而事實上第71期，即2013年10月10日的原糖價格為18.88美分/磅，較上期的上升幅度為0.2，預測結果與實際情況吻合。

三、結論

本文利用馬爾科夫鏈，在連續觀察原糖價格的基礎上，運用動態數學模型預測原糖價格未來的波動狀況，并通過引入臨界值，使用區間估計確定價格落在各區間的概率，縮小預測范圍，預測結果與實際情況一致。

雖然馬爾科夫鏈可以在一定概率程度上反映食糖價格的走勢，但由于食糖市場存在著大量的不確定因素，如宏觀經濟因素、市場因素、產業因素等，這些因素可能導致預測結果難以形成大概率事件，預測出的某期價格波動可能會出現偏差，因此概率僅僅作為決策的參考。此外，轉移概率矩陣并非長期不變的，使用大樣本并非提高預測結果的準確率的途徑，適當的樣本數也是預測成功的關鍵。

參考文獻：

[1] 魏振祥，劉國良.入世后中美食糖價格聯動效應動態變化的實證研究——基于2002—2012年中美食糖價格數據[J].北京工商大

學學報：社會科學版，2012，27（4）：117-122.

[2] 張諧韻.我國食糖價格波動趨勢及預測——基于GARCH模型的分析[J].價格理論與實踐，2012，（10）：52-53.

[3] 夏莉，黃正洪.馬爾可夫鏈在股票價格預測中的應用[J].商業研究，2003，（10）：62-65.

[4] 馮文權.經濟預測與決策技術[M].成都：電子科技大學出版社，1989.

[5] 蔣蓉華，李升澤.用Delphi實現基于馬氏鏈的股票走勢分析技術的研究[J].商業研究，2008，（3）：207-211.

[責任編輯 王 佳]

α（（n-1）2）的值，當χ2>χ2

α（（n-1）2）時，可認為{Xn，n≥0}具有馬氏性，否則認為該序列不是馬爾科夫鏈。

二、食糖價格未來變化趨勢的預測

以原糖價格為例，連續觀察2013年6月24日至2013年10月10日起連續70期的原糖價格波動情況，利用馬爾科夫鏈預測模型預測第71期的價格變化趨勢，原始數據見表2。

（一）馬氏檢驗

將以上70期的原始數據導入SPSS17.0進行計算，得到統計量χ2=11.600。給定顯著水平α=0.05，經過查表可知分為點的值χ2（4）=9.488，由于χ2>χ2（4），因此原始數據具有馬氏性，可利用馬爾科夫鏈進行預測。

（二）臨界值的確定

為了確定原糖價格波動幅度的概率，需要進行區間估計。分別采用0、σ、σ2σ作為臨界值Z來進行區間估計。據此，將連續70期的原糖價格樣本進行統計處理，在SPSS17.0求出樣本標準差σ=0.55，樣本方差σ2=0.30，變異系數σ=0.03。分別將0、σ、σ2σ賦值給臨界值Z，以此來進行區間估計。

（三）價格變化的轉移概率矩陣

對表2中的樣本進行分析，依據已建立的模型來確定每期價格所處的狀態，得到70期價格狀態轉移情況。分別計算出-1→-1、-1→0、-1→1、0→-1、0→0、0→1、1→-1、1→0與1→1 這9種情況發生的次數，構造一步轉移概率矩陣P；以第70期作為初始狀態，算出初始狀態向量p（0）。P和p（0）皆因臨界值Z取值的變化而有所不同，經計算，分別得出不同的P與p（0）：

當Z=0時，；

當X=σ時，；

當Z=σ2時，；

當Z=σ時，。

對應的初始狀態向量P0乘以一次轉移概率矩陣P即得到預測的概率。則第一次轉移的概率矩陣為

P（1）=p（0）×P

經計算得出第一次轉移的預測概率，見表3。

（四）預測結果分析

當臨界值Z=0時，初始狀態為1，轉移概率矩陣為（0.2188，

0.1563，0.6250），說明新一期的原糖價格先升后降的概率為0.2188，先升后平的概率為0.1563，持續上升的概率為0.625。結果說明原糖價格在第71期有很大的可能會上漲。當臨界值Z=0.55時，初始狀態為0，此時的轉移概率矩陣為（0，1，0），說明原糖價格變化區間在[-0.55，0.55）的概率為1。說明第71期原糖價格上升幅度不會超過0.55。當臨界值Z=0.30時，

初始狀態為0，此時的轉移概率矩陣為（0.0313，0.9375，

0.0313），說明原糖價格變化范圍在（-∞，-0.30）及[0.30，∞）的概率都為0.0313，而變化范圍在[-0.30，0.30）的概率為0.9375。結果說明第71期原糖價格上升幅度有極大的可能不會超過0.3。當臨界值Z=0.03時，初始狀態為1，轉移概率矩陣為（0.2000，

0.3333，0.4667），說明原糖價格變化范圍在（-∞，-0.30）的概率是0.2，價格變化范圍在[-0.30，0.30）的概率是0.3333，價格變化范圍在[0.30，∞）的概率為0.4667。結果說明，第71期的原糖價格的上升幅度有較大的可能會大于或等于0.03。

結合以上分析，第71期原糖價格將呈現上升的狀態，上升的幅度在[-0.30，0.30）區間之內。而事實上第71期，即2013年10月10日的原糖價格為18.88美分/磅，較上期的上升幅度為0.2，預測結果與實際情況吻合。

三、結論

本文利用馬爾科夫鏈，在連續觀察原糖價格的基礎上，運用動態數學模型預測原糖價格未來的波動狀況，并通過引入臨界值，使用區間估計確定價格落在各區間的概率，縮小預測范圍，預測結果與實際情況一致。

雖然馬爾科夫鏈可以在一定概率程度上反映食糖價格的走勢，但由于食糖市場存在著大量的不確定因素，如宏觀經濟因素、市場因素、產業因素等，這些因素可能導致預測結果難以形成大概率事件，預測出的某期價格波動可能會出現偏差，因此概率僅僅作為決策的參考。此外，轉移概率矩陣并非長期不變的，使用大樣本并非提高預測結果的準確率的途徑，適當的樣本數也是預測成功的關鍵。

參考文獻：

[1] 魏振祥，劉國良.入世后中美食糖價格聯動效應動態變化的實證研究——基于2002—2012年中美食糖價格數據[J].北京工商大

學學報：社會科學版，2012，27（4）：117-122.

[2] 張諧韻.我國食糖價格波動趨勢及預測——基于GARCH模型的分析[J].價格理論與實踐，2012，（10）：52-53.

[3] 夏莉，黃正洪.馬爾可夫鏈在股票價格預測中的應用[J].商業研究，2003，（10）：62-65.

[4] 馮文權.經濟預測與決策技術[M].成都：電子科技大學出版社，1989.

[5] 蔣蓉華，李升澤.用Delphi實現基于馬氏鏈的股票走勢分析技術的研究[J].商業研究，2008，（3）：207-211.

[責任編輯 王 佳]