表貼式永磁同步電動機永磁體氣隙磁場解析計算＊

劉 珂 讓余奇

（海軍工程大學 武漢 430033）

1 引言

永磁同步電動機以永磁體提供的磁通替代電勵磁同步電動機的由勵磁繞組提供機電能量轉換所需要的磁場，具有結構簡單、體積小、重量輕、效率高的特點。永磁體的結構設計是永磁同步電動機優化設計的重要方面，而電機內氣隙磁場分布的準確計算是電機優化設計和性能分析的必要過程。解析方法可以較準確地計算氣隙磁場分布波形，同時可以觀察到氣隙磁場分布于結構尺寸之間的關系［1～4］，具有很強的實用性。本文針對表貼式永磁同步電動機，利用等效面電流法推導出了永磁同步電動機永磁體在徑向充磁和平行充磁兩種充磁方式下的氣隙磁密的解析計算公式。通過比較不同永磁體結構在上述兩種充磁方式下產生的氣隙磁場，給出了一種偏心不等半徑瓦片形磁極結構來改善氣隙磁場，使得氣隙磁場的波形更好，從而降低電機的振動和噪聲。同時解析計算易于與計算機結合應用，計算時間短，為永磁同步電動機的優化設計提供了基本的分析手段。

2 永磁同步電動機永磁體的數學模型

應用解析法對永磁同步電動機電磁場進行分析時，一般采用以下一些假設［5］：

1）電機的定轉子鐵心的磁導率為無窮大；

2）忽略電機的端部影響；

3）永磁體退磁曲線為直線，永磁體為均勻磁化；

4）電樞表面光滑，開槽用等效氣隙考慮。

在處理永磁體勵磁作用時做了以下兩點假設：

1）設永磁體的磁導率與空氣的磁導率相同，即相對回復磁導率μr＝1；

2）永磁體極性交替分布，呈現出一定的周期性，但是極間還是斷開的。假設永磁體極間部分也全部由永磁體充滿，只是極間永磁段未被磁化。

3 永磁體的等效面電流法

電流與磁場的基本關系表明，任何磁場都可以認為是由分布電流產生的。面電流法在永磁體邊界上模擬電流的存在，如果永磁體被均勻磁化，則永磁體內部等效體電流密度為零，在平行于磁化方向的永磁體邊界上，存在一層等效面電流。如圖1所示，三角形為一個永磁體單元。

圖1（a）假設永磁體的磁化方向垂直于邊ij，則在邊ij上無電流，在邊jm和mi上的電流為

圖1（b）假設永磁體的磁化方向是任意的，磁化方向與x軸的夾角為θn，則三條邊上對應的等效電流分別為

圖1 永磁體單元磁化圖

在永磁體內部（永磁邊界上的單元邊除外），任何一條邊都被兩個三角形單元共有，兩個單元在該邊上的等效電流符號相反、大小相同，那么就互相抵消。因為對兩個單元來講，磁化方向相同，但l矢量的方向相反（單元逆時針方向編號），因此只有永磁邊界上才存在等效電流［6］。

4 永磁體產生的氣隙磁場解析計算

在表貼式永磁同步電動機中，瓦片形磁極應用最廣泛，瓦片形磁極有平行充磁和徑向充磁兩種充磁方式［7］。

1）徑向充磁同圓心不同半徑瓦片形永磁產生的氣隙磁密

圖2 徑向充磁時的面電流等效

根據面電流法，同心圓徑向充磁永磁體等效面電流如圖2所示，AD和BC邊垂直于充磁方向，面電流密度大小等于零；AB和CD邊平行于充磁方向，面電流密度大小等于永磁體矯頑力。

設一個徑向充磁的永磁體磁極等效線圈的徑向面電流微元為di，徑向長度微元為dr，永磁體的矯頑力為Hcb，于是AB和CD邊的等效面電流微元為

由式（3）可得到永磁體表面等效的電流微元di在氣隙所產生的磁密為

對上式積分可以得到在氣隙圓周定子內表面產生的磁密為

式中：α為瓦片形永磁體AB邊到中心線的機械角；θ為氣隙圓周上某一點到中心線的機械角；hm為永磁體徑向長度；Rs為定子內半徑，Rr為轉子外半徑；P為永磁體極對數；Kym＝sinmα為m 次諧波的節距因數。

多極永磁同步電動機中永磁體依次放置在轉子圓周表面，那么其它永磁磁極產生的氣隙磁密可采用類似的方法進行計算，只是沿定子內徑表面的角度不同，然后只用對每個永磁磁極所產生的磁密進行累加即可。

設有2P個徑向充磁的永磁體放置于轉子表面，且極性交叉放置，則第l個永磁磁極在定子內表面產生的磁密為

可得2P個磁極在定子內表面產生的磁密為

上述公式都是在假設永磁電機定子和轉子表面光滑時得到的，但是現代永磁電機的定、轉子鐵芯一般都有不同程度的開槽，電樞繞組嵌放在開槽的電樞鐵心里，開槽一方面改變氣隙磁場的分布，另一方面使氣隙磁阻增大。在磁場計算時，通常把開槽的影響作為有效氣隙放大來考慮。本文只考慮定子側開槽影響，此時用卡氏系數kc進行修正，使有效氣隙放大，即δ′＝kcδ。其中卡氏系數的計算式為［8～10］

式中，τ為槽距，δ為氣隙長度，b0為槽口寬。

圖3 徑向充磁同心不同半徑氣隙磁密

下面給出一永磁電機氣隙磁密解析計算結果，該電機相關參數為：轉子外半徑Rr＝89.8mm，定子內半徑Rs＝105mm，極對數P＝2，永磁體厚度hm＝12mm，永磁體張角2α＝90°，矯頑力 Hcb＝920550A／m，槽距τ＝13.74mm，槽口寬b0＝4mm。其解析計算結果如圖3所示。

2）平行充磁同圓心不同半徑瓦片形永磁產生的氣隙磁密

由于制作工藝的限制，標準的徑向充磁很難達到；實際應用中，平行充磁永磁體的工藝簡單易行，因此分析平行充磁永磁體產生的氣隙磁場更具實用性［11］。

平行充磁時磁化方向平行于瓦片形永磁體的中心線，其磁化方向和永磁體各邊等效面電流方向如圖4所示。

圖4 平行充磁永磁體面電流等效

由面電流法，沿永磁體表面AB與CD的電流層方向相反，大小相同，其面電流密度大小為

沿AD和BC邊變化的面電流密度的大小為

那么平行充磁同心瓦片形永磁體AB＿CD段面電流產生的氣隙磁密為

BC段面電流產生的氣隙磁密為

其中，b＝Rr＋hm。

AD段面電流產生的磁密：

一個平行充磁的永磁體在定子內表面產生的磁密B1（θ）為AB、CD、BC和AD 各段的疊加，即：

與徑向充磁時多極永磁體磁密計算類似，則平行充磁時2P個磁極的AB、CD、AD、BC各段在定子內表面產生的磁密為

式（15）中A、Cm、Kym和式（11）相同。

上式中A、Cm和式（12）相同。

上式中A、Cm和式（13）相同。

于是多極平行充磁瓦片形永磁體在定子內表面產生的磁密為

圖5 平行充磁同心不同半徑氣隙磁密

下面給出一永磁同步電動機氣隙磁密解析計算結果，該電機相關參數為轉子外半徑Rr＝28mm，定子內半徑Rs＝36mm，極對數P＝1，永磁體厚度hm＝6.5mm，永磁體張角2α＝180°，矯頑力 Hcb＝935000A／m，槽距τ＝12.56mm，槽口寬b0＝2.5mm。其解析計算結果如圖5所示。

3）平行充磁不同圓心不同半徑瓦片形永磁體產生的磁密

為了滿足在平行充磁條件下獲得理想的磁密波形的要求，本文給出了一種偏心不等半徑瓦片形磁極結構。下面對其產生的氣隙磁密進行分析推導。一個極下的永磁體尺寸如圖6所示，其永磁體的面電流等效與圖4一致。

圖6 不同圓心不同半徑永磁體尺寸

在已知最小氣隙長度δmin，最大氣隙長度δmax，定子內半徑Rs，轉子外半徑Rr，永磁體張角2α，永磁體矯頑力Hcb前提下，可計算與氣隙磁場有關的參數。

永磁體AB邊和CD邊的圓心距為

永磁體上以O′為圓心，BC為邊的圓弧半徑為

永磁體BC邊上某一點E與O點對應的角度為θ0，那么與O′點對應的角度為θ′0，即：

E點到O點的距離R（θ0）為

沿AB和CD 邊的面電流密度大小為式（9），沿AD邊的面電流密度大小為式（10），沿BC邊的面電流密度的大小為

式中，θ′0為BC上某一點到中心線的機械角。

BC邊的等效面電流微元為

該電流微元產生的磁密為

由上可得BC邊的磁密為

上式不能直接給出磁密的解析表達式，需用數值積分的方法求解。多極時，處理方法同1）、2）中的相關介紹。

AB、CD、AD邊上等效面電流產生的磁密解析計算公式分別和式（15）、式（16）一樣。

圖7 平行充磁不同心不同半徑時氣隙磁密

算例分析：永磁同步電動機電機中，最小氣隙長度δmin＝3.2mm，最大氣隙長度δmax＝5.5mm，定子內半徑Rs＝105mm，轉子外半徑Rr＝89.8mm，永磁體張角2α＝90°，永磁體矯頑力 Hcb＝920550A／m，計算得到的圓心距H＝8.4mm，BC邊的圓弧半徑為Rm＝107.9mm。其解析計算結果如圖7所示。

由圖7可知，通過調整最大、最小氣隙的數值，可以使得平行充磁磁極的氣隙磁密波形平頂部分很平直，并且可以獲得所需要的波寬。同時，我們可以改變永磁體的形狀或者幾種不同形狀的永磁體混合，使電機的氣隙磁密達到我們需要的波形，例如不同平頂寬度的梯形波磁密、正弦波磁密等。

5 結語

本文根據等效面電流法推導了表貼式永磁同步電動機永磁體氣隙磁場在徑向充磁和平行充磁兩種充磁方式下的解析計算公式；通過對兩種充磁方式下不同磁極結構的對比分析，本文給出了一種偏心不等半徑瓦片形磁極結構，可以使得氣隙磁場的波形更好，從而降低電機的振動和噪聲；同時，解析計算可以便捷地得到永磁同步電動機的氣隙磁場分布波形，為永磁同步電動機的優化設計提供了基本的分析手段。

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