引導學生“創造”數學概念

吳汝萍

一、概念的引入，源于數學化的需要

數學的基本概念一般都具有豐富的現實原型，用數學概念來描述與刻畫這些現實原型，是源于數學化的需要，是數學發展的需求，也是人類認知的需要。在數學概念引入時，如果能將數學化的需要與學生的認知需要并軌，學生認知的需要越迫切，自主創造的積極性就越高，教學的效果也就越好。

例如，人教版五上“確定位置”第一課時，是學習用數對表示具體情境中物體的位置。教學時，先出示學生熟悉的橫成行、豎成列的教室座位場景，讓學生根據“橫成行，豎成列”的生活語境明確“列”與“行”的含義。接著設置一個找人的問題情境：“李紅坐在第2列、第4行，那李紅是哪一位？”讓學生從圖中指認出李紅所在的位置。因為沒有規定數的方向，學生指認出4個不同位置上的人，其中大部分學生指認的是從左往右第2列，從前往后第4行上的同學。此時教師引導質疑：“李紅只有一位，你們怎么會找出4人？”學生認識到不規定數行和列的方向，就難以確定李紅的位置。接著明確指出坐在第2列，第4行座位上的李紅，讓學生明白，這里的“第2列”是從左往右數的，“第4行”是從前往后數的。按“李紅坐在從左往右數的第2列，從前往后數的第4行”的形式敘述就不會有歧義。學生立即又認識到這樣敘說一個人的位置，雖然準確無誤，但顯得太啰嗦，學生意識到應該有簡單的方式。這時教師告訴學生，數學家的確創造了一種既準確又簡潔的方法，這就使學生產生了學習這種新方法的內在需求。此時教師問：“是老師直接把這種方法告訴你們，還是你們當一回數學家，自己把這種方法創造出來呢？”學生自然不希望教師直接告知，而是喜歡嘗試創造。

二、概念的形成，經歷數學化的過程

用“數對”確定位置，是約定俗成后的“規定”，它包含了三個方面的內容，一是“數對”指兩個數，即列數與行數；二是數對中前面的數表示列數，后面的數表示行數，且確定第幾列規定從左往右數，確定第幾行規定從前往后數，它和直角坐標系中確定點的位置，要先寫出橫軸上的數量，再寫出縱軸上的數量的次序是一致的；三是用數對確定位置有專屬的書寫格式。教學這樣“規定”性的數學概念，并不是直接告訴學生，并讓學生能模仿就萬事大吉了。

其實，好的數學學習不是一個被動吸收的過程，而是一個以學習者已有的認知和經驗為基礎的主動理解、建構的過程。數學概念從產生到約定俗成都有其內在的合理性，教學過程中，教師需要引導學生去體會、去理解其內在原因，讓學生經歷數學家“創造規定”的心路歷程，也就是經歷“數學化”的過程，學生才能真正理解和掌握相關數學概念。

為探索“規定”內在的合理性，先讓學生數出這個班級的人數，然后讓學生回憶數的過程：（1）你是先橫著數出一行的人數，還是先豎著數出一列的人數？（2）橫著數一行的人數時，你是從左往右數的，還是從右往左數的？（3）豎著數一列的人數時，你是從前往后數的，還是從后往前數的？并分別用舉手表決的方法來統計出各種數法的人數。通過三次操作，讓學生清楚地認識到大部分人的觀察習慣的一致性。再讓學生對照情境圖認識到“橫著從左往右數”數出的就是列數，“豎著從前往后數”數出的就是行數。

接著，讓學生猜想：“既然有這樣的習慣，數學家規定用行列確定位置時，會做出怎樣的規定？”學生自然意識到數學家會這樣規定：先列，后行，且數列數從左往右，數行數從前往后。有了這樣的規定，李紅的位置用“第2列、第4行”來述說也就不會產生歧義。這時，再讓學生回顧最初指認李紅位置的情況，雖然大家當時不知道數學家的具體規定，但大部分同學也正確指認出李紅的具體位置，讓學生進一步認識到數學家這樣規定的合理性。

在此基礎上，向學生提出更高的數學化要求：數學的魅力在于符號化，數學符號不分民族、國籍，全世界通用。你能否像數學家一樣，把這兩句話簡化一下，設計出一個數學符號，表示的還是第2列、第4行，能讓全世界的人都看得懂？學生將眾多成果展現在黑板上，最后全班交流，概括得出這些符號的共性，最終達成共識，像數學家一樣創造出“數對”。

用不同方式描述平面內一個點的位置，直至用“數對”來確定的過程，其實是一個符號化的過程。教學過程中，教師有意識地引領學生有效經歷從文辭描述，到習慣縮寫，再到符號化的過程，目的就是讓學生感悟到“數對”概念符號化形成的三個層次（文辭階段，縮寫階段，符號階段）。學生如此經歷數學化的過程，自然能真正理解“數對”的內涵，不僅知其然，更知其所以然。

三、概念的應用，解決數學化的問題

概念的教學必須經過由感性的具體發展到抽象的規定，再由抽象的規定發展到思維中的具體這兩個階段。所以數學概念的應用也是教學過程中不可或缺的，是鞏固與深化理解數學概念的重要環節。數學概念的應用，重在解決生活中數學化的問題，在分析問題、解決問題的過程中，一方面讓學生進一步理解數學概念的內涵和外延，拓展認識的深度與廣度，另一方面讓學生運用數學概念進行思考，提高數學思維的能力。

本課開始，讓學生指認李紅位置時，學生指認了不同的四個位置。學生創造出“數對”后，便讓學生用“數對”來表示另三個位置上的學生。學生寫出這三個數對后，引導學生用數學的眼光觀察李紅及其他三個位置，通過比較，學生進一步理解了“數對”的內涵，發現了其中的規律，即同一列中，數對中的前一個數相同，同一行中，數對的后一個數相同。得出這樣的規律后，在沒有情境圖的情況下，讓學生根據小軍的位置（4，3），用數對表示出小軍前、后、左、右四個同學的位置。學生解決這個數學化的問題，需有理有序進行推理，不僅有效磨礪了學生的思維，更培養了學生的空間觀念。

接著讓學生用數對表示自己的位置、好朋友的位置。然后，教師寫出數對（x，3），指出這個數對上的學生如能迅速站起來，就能成為今天的幸運學生，得到教師的小禮品。并讓學生說出類似的數對，讓更多的學生成為今天的幸運學生，學生想到了（3，x）、（x，y）等數對，讓學生進一步關注到“數對”這一數學概念的內涵與外延。最后，讓學生將目光投向生活，找出生活中可以運用數對（或類似于數對）確定位置的地方，在學生的交流過程中，教師適時出示教材練習中的相關圖片及生活中的相關場景，如體操方陣、電影院里的座位、地球表面經緯度等，讓學生體會到用數對確定位置所帶來的生產生活上的便捷。

引導學生像數學家一樣“創造”數學概念，實際上是讓學生經歷數學家發現數學的心路歷程，與其說是讓學生學習數學，不如說是引導學生學習數學化。在經歷數學化的過程中，概念的形成是在教師的引導下“生發”的，這種“生發”是學生在探索的過程中自己“創造”出來的，而不是教師“強加”的。

（作者單位：江蘇省金湖實驗小學）