小學數學概念實質分析

劉加霞

【編者按】數學概念是數學教學的基石。在部分教師的眼中，概念教學不過是一種機械的教授與訓練的結合體。而實際上，較為妥帖的認識是，數學概念的教學應融入學生的探索活動，應從探索活動開始，然后形成語言，最后提升為數學概念。學生應像數學家一樣“創造”數學概念。“教學平臺”從第11期開始，分兩期與讀者共同探討“簡約而不簡單的概念教學”。

理解并掌握數學概念的核心是把握概念實質，而不僅僅掌握概念形式的、描述的定義。就如學生會說“物體所占空間的大小叫物體的體積”不等于學生理解“體積”這個概念，教師把握數學概念的實質非常重要。小學數學所涉及的概念類型、層次各不相同，籠統地論述“數學概念的實質”既論述不清也沒有意義，一個重要方法是按照概念的類型分別論述某些數學概念的實質。自然數是小學階段的一個重要內容，在小學階段沒有哪本教材給出“什么是自然數”的定義（一般地，大多數教材在四年級會給出這樣的描述來揭示其內涵：表示物體個數的1、2、3、4、5、6等都是自然數。一個物體也沒有用0表示，0也是自然數。所有的自然數都是整數）。但作為教師必須更進一步、較為系統地了解自然數的內涵與實質，本文以自然數為例展開。

一、 自然數的現實意義

自然數概念的內涵是豐富的，弗賴登塔爾提出——數的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計數的數、數量的數、度量的數以及計算的數；而對于數學自身的發展而言，“計數的數”（序數）意義更大，他認為無論從歷史的、發生的還是從系統的角度看，數的序列都是數學發展的基石。在此基礎上，我們可以進一步細化、深入地認識每一個自然數的實質與意義。

首先看自然數的現實意義。每一個自然數的現實意義都極為豐富，其最基本的意義有兩個——基數與序數。例如自然數5，既可以表示某個集合的元素個數，（即自然數的數量數含義），也可以表示物體的位置和順序（即自然數的序數含義）。

在小學的低、中階段自然數的這兩方面（基數與序數）的教學價值非常大，但在教學實踐中往往忽視了“序數”教學的價值，僅僅停留在“第幾”的層面上，缺少對數學本身意義的挖掘，就如學生對“計數的數”的理解是“探索規律”教學的基石。

進一步拓展，我們可以知道自然數還有以下含義：1. 度量數。從某種意義上說，數量數是度量數的特例，度量數是數量數的擴充。數量數刻畫的是離散量（集合的元素）的個數多少，度量數刻畫的是連續量的大小問題，由于連續量是可以無限分割的量，因此為了更準確地測量出某個量到底有多大，就需要產生更小的測量單位，如果以最小的測量單位（或者同時用多個測量單位表示）作測量結果的單位，用自然數表示就足夠了，但表達和交流時會非常麻煩，為了更恰當地表示測量結果，就必須產生新的數——分數（但現實生活中表示量的大小通常用有限小數來表示，便于直觀感知量的大小，便于溝通交流，這是由現行的十進制計數系統導致的），這是從自然數擴充到有理數的重要現實動力。另外，為了使自然數的減法滿足封閉性，就必須將自然數集擴充到整數集，為使自然數的除法滿足封閉性，就必須將自然數集擴充到有理數集，滿足運算的封閉性也是數域擴充的重要數學動力。2. 比率數。自然數還可以表示兩個量（數）之間的比率關系。3. 計算的對象或結果。任何一個自然數都可以是計算的對象或計算的結果。4.數軸上的“點”。每一個自然數（每一個實數）都與數軸上的點建立一一對應關系。5. 用做編碼的符號。任何一個自然數都可以用來編碼。6.特別地還要強調“0”有以下幾點意義——“0”是一個概念，它表示“一個也沒有”；在位值制記數法中，“0”表示“空位（計數單位的個數是0個）”，起到占位作用；“0”是一個數，可以同其他數參與運算；“0”是標度的起點或分界。

二、自然數的數學意義

自然數除了上述現實意義外，還有其數學意義，數學意義就是從其作為一個“數”本身的角度看“數”的內涵，任何一個數都是 “計數單位與其個數乘積的累加就得到的”。“計數單位”及其“個數”是構成數的核心要素，真正認識一個數必然要認識這個數所涉及的計數單位，在小學階段“分數”與“小數”都分兩次學習，第一次學習僅是“初步認識”，第二次學習才是“意義”層次的學習。

由于自然數是用“十進位值制記數法”記錄的，所以計數單位是“1、10、100……”不同計數單位與其個數的累加就構成了全部的自然數（某個計數單位的個數為“0”時，也要寫出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者寫成2034=2000+30+4，即自然數的拓展式。小數也是“十進位值制”的，增加小數的計數單位“01、001、0001……”后，其累加的過程與自然數的過程基本相同，只不過有“有限次累加”與“無限次累加”兩類，有限次累加就得到“有限小數”，無限次累加又分為兩種情形，其一是，不同計數單位的“個數”是有規律地出現的，如果計數單位的個數的情況復雜，沒有規律，則無限次累加的結果是“無限不循環小數”，即無理數。

同樣，分數也可以看成是“分數單位的累加”，這不僅延續了自然數的認識，又為進一步理解分數的性質以及分數的加減運算打下了堅實的數學基礎。從這個角度來認識分數就使學生能夠真正理解為什么同分母分數加減只需要“分子相加減而分母不變”，而異分母分數加減法則必須“先通分，然后再分子相加減，分母不變”，從而進一步理解“加減法計算的本質就是相同計數單位‘個數相加減”，“通分的本質就是尋找兩個分數的相同計數（分數）單位”，這也是分數的通分、約分和擴分（尋找等值分數）的理論依據。

最后簡要回答“0”為什么是自然數？“0”是自然數的意義是什么？實際上很難回答“0為什么又是自然數”，簡單可以說是“規定”的，是修正后的皮亞諾自然數公理中規定的，皮亞諾自然數公理規定“1”是第一個數，修正后規定“0”是第一個數。而規定“0”是自然數則意義重大。例如，用“0”來描述“空集”所含元素的個數，那么所有的自然數（包括0）就能完整刻畫“有限集合元素的個數”問題；0作為自然數集合的第一個數，每個數的后面都緊跟著一個確定的數，可以把所有的自然數一個緊跟一個地排成一列數，既不重復也不遺漏等。

三、自然數蘊含的數學思想：十進制與位值制

為了表示出一個“自然數”，在歷史上曾經出現過五進制、十進制、二十進制、六十進制，但最多的是以10為數基的十進制。

古埃及記數法中有“十進制”卻沒有“位值制”的思想，如果需要記錄更大的數就必須產生表示更大單位的“新符號”，但有位值制思想后，則用有限個“符號”就能表示出無限的數，例如在“十進制”前提下只需要10個符號就能表示出所有的自然數。

但十進位記數法，離十進位值制計數法還有關鍵的一步要走，即“位置值制（簡稱‘位值制）”。所謂“位值制”，是指相同的記數符號由于所處的位置的不同而可以表示大小不同的數目。由于有了位值制，就可以用有限的幾個數字表示出無限多個自然數，這是記數歷史上的一個奇跡。

用十進位值制記數法來表示數意義巨大，一是便于比較兩個自然數的大小，自然數大小比較時首先看自然數的位數，位數越多則這個數越大。二是更便于數的計算，例如所有的加減法做的不外乎都是“20以內的加減法”，只不過“計數單位”不同，乘除法做的則都是“表內乘除法”。

四、無限集合的個數問題

學習自然數除了前面所論述的現實意義、數學意義以及所蘊含的十進制、位值制思想外，還有一個重要問題即自然數集合的元素個數問題，這個問題推動了近代集合論的發展。

對于無限集合，部分可以和全體相等，核心是建立兩個集合元素之間的“一一對應”關系，如果兩個集合之間的元素能夠建立“一一對應”關系，則這兩個集合元素的個數是相等的。因此伽利略的困惑就不難解決：從自然數集合中抽出完全平方數組成集合，當集合為有限集時，自然數集中元素的個數多于完全平方數集合中元素的個數；當集合元素為無限時，兩個集合元素個數一樣多只需要建立兩個集合元素之間的一一對應關系。

在小學階段我們可以讓學生直觀地感受到“真分數的個數與假分數的個數也一樣多”，但不能用數軸上的點來表示分數，如果用數軸上的點表示分數會錯誤地認為“假分數的個數多于真分數的個數”。為了讓學生直觀地感受真分數與假分數的“一一對應”需要將全部分數在“平面”上一個一個地列出來，即構造出“分數表”，列表的規則是：從下向上數第一行中每個分數的分子是1，分母分別是1、2、3、4……第二行中每個分數的分子是2，分母分別是1、2、3、4……第三行中每個分數的分子是3，分母分別是1、2、3、4……以此類推就構造出分數表，在這個分數表中能直觀地感受到有一個真分數就一定有一個假分數與之對應，由此可以讓學生初步感受無限集合的神秘之美。

（作者單位：北京教育學院）