基于狀態空間法的無接觸供電PDM 調制建模

張 炯 樓佩煌 錢曉明 武 星

（南京航空航天大學機電學院 南京 210016）

1 引言

無接觸供電（Contectless Power Transfer，CPT）系統由原邊和副邊兩部分組成的松耦合結構。為了獲得較大的電能傳輸，通常原邊能量發射電路需要很大的恒流激勵電流[1,2]，導致很大的能量損耗。因此，系統需要動態調節原邊電流并工作于軟開關條件下，從而提高系統綜合效率、降低損耗。尤其在物流自動化輸送的移動供電等高壓、大功率場合，逆變器軟開關工作狀態十分必要[3,4]。

常用的諧振系統能量調節方式主要有：加入DC-DC 環節的直流調壓調功（PAM）[5,6]、調整系統進入非調諧狀態的脈沖頻率調制（PFM）[7]、控制逆變器上下橋臂導通相位的脈沖寬度調制（PWM）[8]。其主要不足有：①增加了輔助開關電路；②工作頻率變動較大，不利于多個副邊拾電器同時工作；③一般不具有軟開關特性，需要通過復雜的頻率跟蹤才可以實現ZVZCS。

文獻[9]提出一種ACAC 能量注入控制方法，應用于電壓型串聯諧振的CPT 系統。在每次原邊諧振電流過零時，控制器根據反饋誤差信號進行控制。這種方法可以實現軟開關，但是電路和控制都比較復雜，還處于理論階段。

文獻[13]給出一種基于軟開關工作點跳動法的能量控制策略，其本質是一種具有軟開關特性的脈沖頻率能量調制。但是分析發現，某些補償電路（不帶隔直電容）由于軟開關工作點數量極少，導致能量調節離散嚴重，甚至無法按需調節。

另外，文獻[10,11]給出一種PDM（Pulse-Density Modulated，PDM）調制方法，針對RLC 串聯的二階阻尼系統，通過控制脈沖密度調節輸出功率。可實現近零電流開通和關斷（ZCS）。但通常系統開關控制頻率通過交流阻抗法近似求解。

CPT 系統中，原、副邊的諧振電路具有典型的高階開關非線性特性。傳統的交流阻抗法難以精確計算控制頻率和實現軟開關。例如文獻[12]中，系統的非線性造成滿功率情況下，不再工作于軟開關狀態。

本文采用非線性動力學中的頻閃映射方法及不動點理論，推導出基于PDM 調制的系統軟開關工作點的計算方法，通過系統不動點函數推導和數值計算驗證了“近似軟開關”特性。從而實現 PDM能量調制模式下，高階非線性系統穩態時的軟開關理論分析和論證。

2 不動點理論與分段線性化方法

頻閃映射（stroboscopic mapping）方法是一種離散映射建模方法，即以固定的頻率采樣目標系統，通常該采樣頻率與系統工作頻率一致。對狀態呈周期變化的系統來說，其頻閃映射模型必然對應為一個不動點（fixed point）[13]。

對于m 維線性系統，其微分方程模型狀態空間描述可以表示為

式中，x為系統狀態向量，維數為m；u為系統輸入向量，維數為n；A為系統狀態系數矩陣，是m 階方陣；B為系統輸入系數矩陣，為m×n 階。

式（1）的解析表達式如下：

式中，Φ(t)=eAt為系統狀態轉移矩陣；x0為系統初始狀態。

當矩陣A 可逆，且u為常數時，則式（2）可以簡化為

CPT 系統應用的逆變電路是典型的開關電路，可以假設開關瞬間系統狀態不變，則整個開關電路可以分段線性化為若干線性模態。假設系統有k個線性模態，ξi為每個模態持續的時間，各模態的狀態映射函數如下：

系統穩態時，諧振網絡的狀態呈現周期變化，可得系統周期不動點x*為

式中，?為復合算子，定義為f?g(t)=f(g(t))。

3 PDM 調制原理建模分析

對于二階阻尼系統，在正弦激勵下，其時域響應為指數系數與正弦的疊加，具有過零等時特點，PDM 能量調節只需要近似按正弦頻率操作，即可實現軟開關控制。

CPT 系統諧振電路是典型的高階非線性開關電路，主要為了分析PDM 調制在高階開關電路控制下的可行性及其控制頻率設計計算，并驗證其軟開關特性。本文以LCL 型CPT 系統為例，采用上述分段線性化及狀態空間法對系統進行分析。

LCL 型CPT 系統的典型主電路拓撲如圖1 所示。LP1、CP、LP2構成原邊諧振電路，副邊采用LS、CS串聯補償，其中RP1、RP2、RS分別是LP1、LP2、LS的串聯等效電阻。采用LCL 諧振補償電路，其優點就是可以起到類似電壓“Boost”的效果，在低輸入直流電壓下，可以在原邊諧振電容上得到較高的諧振電壓。副邊采用串聯補償，其優點是在諧振頻率下，可以使反射阻抗為純阻性。

圖1 LCL 型CPT 系統主電路等效電路Fig.1 Main circuit of an LCL-type CPT system

假設逆變器開關控制為理想開關，在PDM 控制模式時，逆變器的輸出電壓電流波形如圖2 所示，其中T為穩態控制周期，Edc為逆變輸出電壓，在每個周期初始階段，電壓激勵與電流同相位，持續時間分別為t1，t2。在不同的功率下，控制周期T 各不相同，通過T 的變化切換，構成了脈沖密度的變化，實現動態調節原邊諧振電流。調節t1，t2使電壓電流同相位，實現電路軟開關。因此，求解t1，t2和T，可獲得系統的控制參數。根據軟開關條件可以列出方程求解，但狀態空間轉移函數為超越方程，一般沒有解析解，只能求數值解。

圖2 PDM 調制逆變器電壓電流波形Fig.2 Voltage and current of inverter under PDM

根據每個電壓周期內對應的電流周期不同，分為以下兩種情況：

（1）在PDM 模式下，通常改變的只是脈沖的密度，每個控制電壓周期等于電流周期。每個脈沖的正半周和負半周相等，因此假設脈沖寬度t1=t2=τ。考慮軟開關特性和電流波形在過零點時刻不發生突變，則有脈沖周期T=2nτ，n為自然數。可見，相同的脈沖寬度下，改變脈沖周期，就實現了PDM。

（2）當每個控制電壓周期內有若干個電流周期，則t1=t2=k τ，此時周期T=2 m τ+n τ，m、n為自然數。該方式需m、n 聯合能量調節，周期內有效脈沖占空比調節范圍更大，如果求解成功，則功率調整精度優于第一種。

以上兩種情況符合分段線性化條件，適用于本文的建模及其求解。為了簡化分析求解，本文以第一種情況為例，可知，在這種控制模式下，系統可以分段線性化為三個穩態線性模態：

模態1：開關管Q1，Q4導通，Q2，Q3關斷，系統輸入變量u1=Edc，模態持續時間ξ1=τ。

模態2：開關管Q1，Q4關斷，Q2，Q3導通，系統輸入變量u2=?Edc，模態持續時間ξ2=τ。

模態3：開關管Q1，Q3關斷，Q2，Q4導通，系統輸入變量u3=0，模態持續時間ξ3=T?2τ。

電路在每個模態時，諧振網絡參數不變，則其狀態轉移矩陣相同，由式（4）可得各模態下的狀態映射函數為

根據式（5），可知穩態時，周期初始狀態的系統周期不動點x*為

求解可得系統的周期不動點x*為

對應軟開關電路，系統軟開關工作條件為開關瞬間，流過開關管的電流為0，即零電流開關（Zero Current Switching，ZCS）。如圖所示，開關切換時，各邊界狀態不動點函數如下：

式中，S為狀態選擇向量，從狀態向量中取出軟開關對應的逆變器電流參數。

式（8）代入式（9）通過簡化可得

令式（10）三個方程均為0，構成系統軟開關狀態條件。公式給出的是超越方程，一般沒有解析解，只能結合實際系統求解數值解。為了求解簡便，對系統PDM 調制做了簡化假設，使方程只含有一個未知數τ。使用一個未知數滿足三個方程，只有在某些特定系統參數下，才可以獲得全部開關時刻的軟開關狀態。對于一般的系統，可通過H1(0,x*)=0求解τ，獲得周期初始時刻的零電流；通過邊界狀態H2和H3的電流大小驗證此時的近似軟開關條件。

4 CPT 系統數值求解

4.1 系統狀態空間描述

如圖所示系統，根據互感模型的原理[3]有

根據基爾霍夫電壓電流定律，結合式（1），可以建立系統的電路微分方程如下：

令x=(iP1uCPiP2iSuCS)T為系統狀態向量，u=(ui)分別為系統的輸入向量，則根據式（1）可知，微分方程可采用狀態空間法描述為其中

將系統參數代入式（8）、式（10），并令S=(1 0 0 0 0)，可獲得穩態時開關切換時刻的電流，以此求解不同的脈沖密度時，軟開關時刻對應的系統控制脈沖寬度τ，實現軟開關。

4.2 不動點函數曲線

以實驗系統的實際參數為例，進行數值求解，系統的參數見下表。

表 系統參數Tab. Parameters of CPT system circuit

為了直觀地看出不動點函數的特征，分別取n=2、4、6，計算各邊界狀態不動點函數曲線如圖3所示。根據曲線圖可以看出，通過系統不動點函數曲線圖，可以實現高階非線性系統軟開關工作點的數值求解；并且n 取值不同時，在τ=25μs 處，不動點函數H1、H2、H3均近似為0，說明在系統該數值解控制頻率下，調節不同的PDM 調制密度，能獲得近似的ZCS 和諧振電流周期。

圖3 開關切換時邊界狀態不動點函數曲線圖Fig.3 Curves of bounder fixed points functions

4.3 PDM 能量調制原理

如前所述，給定不同的n，可以調節每個穩態周期中，能量注入的時間，從而調節原邊諧振電流。通過求解表明，給定不同的n，對應的系統諧振電流周期基本相同，符合CPT 系統副邊的諧振工作。圖4 所示為系統在不同脈沖密度下，對應的功率切換示意圖，其中虛線脈沖所示為逆變器輸出電壓ui的波形，實線振蕩曲線所示為逆變器輸出電流ip1。

圖4 PDM 工作點間來回切換的示意圖Fig.4 Schematic of working points switchover based on PDM

PDM 能量調制原理為：對于不同的功率需求，系統根據誤差反饋在不同的脈沖密度工作點之間來回切換，從而實現對功率的控制。即在求解確定脈沖寬度后，只需要根據功率需求調節參數n，達到調節脈沖密度實現能量控制。

5 實驗研究

為了驗證本文關于PDM 調制原理的不動點函數的理論分析和軟開關特性，按照圖1 所示的電路完成了實驗系統。系統采用ARM 產生PWM 脈沖，然后經過IR2130 電路驅動MOSFET 管，以實現死區和過電流保護，樣機如圖5 所示。樣機參數見表，其中，原副邊的互感通過串聯耦合測試法獲得。系統輸入電壓10V，測量電流探頭轉換比例為10mV/A。

圖5 實驗樣機系統Fig.5 Prototype of IPT

首先驗證不動點函數和軟開關工作點求解，以n=4 時，脈沖初始時刻的不動點函數為例。不斷調節樣機控制輸出的脈沖寬度t，觀察示波器電流探頭檢測獲得脈沖初始時刻的開關電流大小，實驗結果和理論計算曲線H1如圖6 所示。實驗發現，軟開關對應的脈沖寬度為25.6～25.7μs，與理論數值解25μs 有微弱的誤差，誤差可能由死區時間和實際系統測量誤差和趨膚效應等綜合引起。由圖6 可知，實驗數據與理論計算結果的變化趨勢基本吻合，這說明不動點函數的理論分析正確。

圖6 脈沖初始時刻實測電流Fig.6 Measuring pulse current at initial time

由上述實現可知系統在脈沖寬度為 25.6μs 附近，可以獲得軟開關特性。將此參數固定為系統脈沖寬度，然后調節n 分別為2、4、6、8，使系統分別工作于不同的脈沖密度下，獲得逆變器輸出電壓和電流的實驗波形，如圖7 所示。

圖7 逆變器輸出電流電壓波形Fig.7 Waveforms of prototype voltage and current

由圖7 可知，不同的脈沖密度下，在每個開關時刻，均獲得了近似零電流軟開關。驗證了本文PDM 調制軟開關工作點的理論分析和計算。同時，在不同的脈沖密度下電流大小明顯不同，實現了基于PDM 方法的諧振能量調節。

6 總結

為了實現無接觸供電系統能量控制，本文通過將高階、非線性的CPT 系統分段線性化，基于狀態空間法建立了系統模型，并根據不動點理論推導出了系統的穩態響應分段解析函數式。以此為基礎，提出了基于PDM 能量調制的系統工作模式，完成了系統控制參數的計算，驗證了軟開關特性。最后，開發了樣機系統，并對比理論計算和實測數據。結果表明，本文的方法完成了系統建模和控制參數求解，可實現能量調節，對實現CPT 系統的高效、節能具有一定的理論和應用價值。同時，本文的方法也可為其他類似諧振變換電路的建模及穩態工作點分析提供一定的理論參考。

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