帶電粒子在磁場中運動問題的析與解

李成林

摘 要：求解帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題往往要用到洛倫茲力、圓周運動以及數學等知識，本文從帶電粒子在磁場中的受力特點、運動規律、求解此類問題的一般方法與規律、范圍型問題四個方面分析了帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題，既有理論闡述又結合實際問題對理論進行剖析和解答。

關鍵詞：帶電粒子；勻強磁場；析與解

在高考中物理成了大多數學生的“頭痛病”，面對三道大題往往心有余而力不足。帶電粒子在磁場中運動問題近幾年在高考中屢見身影，老師重點講，學生重點學，但是考試時還是不能順利解決。求解帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題往往要用到洛倫磁力、圓周運動以及圓的幾何知識等，解題中的障礙往往是由于不能準確確定運動的軌跡，找不準半徑與給定長度之間的幾何關系難以下手。下面作者從帶電粒子在磁場中的受力特點、運動規律、數學知識幾方面談談解決此類問題方法。

一、明確帶電粒子在磁場中的受力特點

（1）產生洛倫茲力的條件。①電荷對磁場有相對運動；磁場對與其相對靜止的電荷不會產生洛倫茲力作用；②電荷的運動速度方向與磁場方向不平行。

（2）洛倫茲力大小：當電荷運動方向與磁場方向平行時，洛倫茲力f=0；當電荷運動方向與磁場方向垂直時，洛倫茲力最大，f=qvB；當電荷運動方向與磁場方向有夾角θ時，洛倫茲力f= qvB·sinθ。

（3）洛倫茲力的方向：洛倫茲力方向用左手定則判斷。

（4）洛倫茲力不做功。

二、明確規律

只受洛倫茲力作用的帶電粒子在磁場中運動的條件：

（1）當粒子速度方向與磁場方向平行時（θ=0°或180°），帶電粒子在磁場中以原來速度做勻速直線運動。

（2）當電粒子的速度方向與勻強磁場方向垂直時（θ=90°），帶電粒子在勻強磁場中以原來入射速度做勻速圓周運動。①向心力由洛倫茲力提供：qvB=m—，②軌道半徑公式：R=—，③周期：T=—=—，可見T只與—有關，與v、R無關。

三、充分運用數學知識

運用數學知識（尤其是幾何中的圓知識，切線、弦、相交、相切、磁場的圓、軌跡的圓）構建粒子運動的物理學模型，歸納帶電粒子在磁場中的題目類型，總結得出求解此類問題的一般方法與規律。

1.“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的基本型問題

（1）定圓心、定半徑、定轉過的圓心角是解決這類問題的前提。確定半徑和給定的幾何量之間的關系是解題的基礎，有時需要建立運動時間t和轉過的圓心角α之間的關系（t=—T或t=—T）作為輔助。圓心的確定，通常有以下兩種方法。①已知進入磁場方向和射出方向時，可通過進入點和射出點作垂直于進入方向和射出方向的直線，圓弧軌道的圓心是兩條直線的交點（如圖1中P為入射點，M為出射點）。②已知進入方向和射出點的位置，可以通過進入點作進入方向的垂線，連接進入點和射出點，作此線段的中垂線，圓弧軌道的圓心是這兩條垂線的交點（如圖2，P為進入點，M為射出點）。

（2）半徑的確定和計算，利用平面幾何關系，求出該圓的可能半徑或圓心角。并注意以下兩個重要的特點：①φ=α=2θ=ωt，φ為粒子速度的偏向角，α為回旋角，弦切角θ等于AB弦與切線的夾角的2倍，如圖3所示。②θ+θ'=180°即θ與相鄰的弦切角θ'互補 ，與相對的弦切角θ相等。

（3）運動時間的確定。粒子在磁場中運動一周的時間為T，當粒子運動的圓弧所對應的圓心角為α時，其運動時間可由下式表示t=—T或t=—T。（注意：帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動具有對稱性）①帶電粒子如果從一直線邊界進入又從該邊界射出，則其軌跡關于入射點和出射點線段的中垂線對稱，入射速度方向、出射速度方向與邊界的夾角相等；②在圓形磁場區域內，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。

例：如圖4所示，在y<0的區域內存在磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，以速度v0運動的正電的粒子從O點射入磁場，方向在xy平面內，與x軸正向的夾角為θ，若帶正電粒子射出磁場的位置與O點的距離為L，求該粒子質量M與電量Q的比值。

審題：本題為一側有邊界的勻強磁場，粒子從一側射入，一定從邊界射出，只要根據弦切角等于回旋角的一半，應用對稱規律①畫出軌跡，畫出直角三角形可求解。

分析：根據帶電粒子在有界磁場的對稱性規律作出運動軌跡，如圖5所示，找出圓心A，作AH垂直x軸，垂足為H，由幾何關系得：

Rsinθ=—L......①

帶電粒子在磁場中作圓周運動，根據qv0B=—，求得：R=—......②

①②聯解得到：—=—。

小結：在應用一些物理和數學的特殊規律解題時，必須明確規律適用的條件，準確無誤地畫出軌跡是關鍵。

2. 運動范圍類型的問題

例：如圖6所示，寬為d的真空區域內有一勻強磁場，磁感應強度為B，方向如圖所示，質量為m的帶電負粒子q，以速度V0垂直射入磁場中，且與CD成θ角。要使粒子一定從EF射出，則初速度V0應滿足什么條件？EF上有粒子射出的區域大小？

分析：如圖7所示，當入射速度很小時電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從同一側射出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側射出，當速率大于這個臨界值時便從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡，借助幾何知識即可求解速度的臨界值；對于射出區域，只要找出上下邊界即可。

總結：帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運用“放縮法”探索出臨界點的軌跡，使問題得解；對于范圍型問題，求解時關鍵尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關系確定范圍。

3. 極值型問題

根據已學知識查找極值產生的條件：①同一圓中大弦對應大的圓心角；②最大弦是圓的直徑；③由所運動的軌跡確定半徑的極值。

例：圖9中半徑r=10cm的圓形區域內有勻強磁場，其邊界跟y軸在坐標原點O處相切；磁場B=0.33T垂直于紙面向內，在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子質量為m=6.6×10-27kg，電量q=3.2×10-19c，則α粒子在磁場中運動的最長時間t和通過磁場空間的最大偏轉角θ各是多少？

解題分析：因為α粒子速率一定，所以在磁場中圓周運動半徑一定，由于α粒子從點O進入磁場的方向不同故其相應的軌跡與出場位置均不同，則粒子通過磁場的速度偏向角θ不同，要使α粒子在運動中通過磁場區域的偏轉角θ最大，則必使粒子在磁場中運動經過的弦長最大，因而圓形磁場區域的直徑即為粒子在磁場中運動所經過的最大弦，依此作出α粒子的運動軌跡進行求解。

總結：當速度一定時，弧長（或弦長）越長，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。

4.“帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動”的多解型問題

抓住多解的產生原因：①帶電粒子電性不確定形成多解；③磁場方向不確定形成多解；②臨界狀態不唯一形成多解；④運動的重復性形成多解。

例：如圖10所示，第一象限范圍內有垂直于xoy平面的勻強磁場，磁感應強度為B。質量為m，電量大小為q的帶電粒子在xoy平面里經原點O射入磁場中，初速度v0與x軸夾角θ=60°，試分析計算：

（1）帶電粒子從何處離開磁場？

（2）穿越磁場時運動方向發生的偏轉角多大？

（3）帶電粒子在磁場中運動時間多長？

審題分析：若帶電粒子帶負電，進入磁場后做勻速圓周運動，圓心為O1，粒子向x軸偏轉，并從A點離開磁場。若帶電粒子帶正電，進入磁場后做勻速圓周運動，圓心為O2，粒子向y軸偏轉，并從B點離開磁場。粒子速率一定，所以不論粒子帶何種電荷，其運動軌道半徑一定。只要確定粒子的運動軌跡，即可利用上述公式和數學知識求解。

總結：受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負電荷，在相同的初速度下，正負粒子在磁場中運動軌跡不同，導致形成雙解。弄清軌跡后可利用公式和數學知識求解。

總之，求解帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題往往要用到洛倫磁力、圓周運動、數學等知識，通過認真審題后，描出正確的運動軌跡草圖，再結合幾方面的知識才能解出。

（作者單位：甘肅廣播電視大學定西市分校）