從一道高考題談數量積的求法

佘雨環

向量是近代數學中重要和基本的數學概念，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，同時又是數形結合思想運用的典范。向量作為代數對象，它可以運算；作為幾何對象，它有方向和長度。正是由于向量既有幾何形式又有代數形式的雙重身份。所以使其成為中學數學知識的一個交匯點，向量的數量積更是把向量的基本知識與方法融會貫通于一體，所以成為近年高考的一個熱點，平面向量的數量積的高考考綱要求是：

（1）理解平面向量數量積的含義與物理意義。

（2）了解平面向量的數量積與向量投影的關系。

（3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的坐標運算。

（4）能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

2012年湖南文科高考第15題考查了這樣一道向量題。

如圖：在平行四邊形ABCD中，

AP⊥ BD，垂足為P，AP=3，則AP·

AC=_.

1.從兩向量數量積的定義入手

思路分析：目標為求兩向量的數量積，首先想到的是兩向量的定義a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，設AP與AC 的夾角為θ，AC與BD相交于點O，則AP·AC=|AP|·|AC|·cosθ，|AP| 是已知的，關鍵是從|AC|和cosθ入手。而△APO是直角三角形，cosθ就與AP和AC都有關系，從而找到了解題的切入點。

解法1：設AP與AC 的夾角為θ，

∵△APO是直角三角形，

∴cosθ=—=—=—

∴AP·AC=|AP|·|AC|·cosθ=

|AP|·|AC|·—=2AP2=18.

點評：此種解法充分運用數量積的定義，是最基本最經典的一種思路。這與考綱的“理解平面向量數量積的含義”相吻合。

2.從兩向量數量積的幾何意義入手

思路分析：根據教材必修4第103頁的內容，a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，設b與a的夾角為θ，如圖，b在a方向上的投影為OB1=|b|cosθ，則a·b等于|a|與b在a方向上的投影的乘積。

結合本題的圖形，那么要求AP·AC，關鍵是找出AC在AP上的投影。由此想到作輔助線的方法，過點C作AP的垂線交AP的延長線于H，則AH為向量AC在AP方向上的投影。再根據已知條件可求AH的長度。思路至此豁然開朗了。

解法2：如圖，過點C作AP的垂線交AP的延長線于H。

∵△APO和△ACH是直角三角形，且O為AC的中點。

∴PO是△ ACH的中位線。

∴AH=2AP=6

∴AP·AC=|AP|·AH=2AP2=18.

3.從兩向量數量積的坐標運算入手

思路分析：若建立了平面直角坐標系，兩向量的數量積就有了簡潔的坐標運算公式，若a=（x1，y1），b=（x2，y2）則a·b=x1x2+y1y2。按照此種思路分析，則先應想到恰當建系。

解法3：如圖，以O為原點，BD所在的直線為X軸，過點O平行于AP的直線為Y軸，作直角坐標系， 設P（-x，0），則A（-x，3），AP=（0，-3），

又O為AC中點，且O（0，0），由此可得C（X，-3），AC=（0，-6）。

所以AP·AC=18。

4.利用兩向量數量積的運算進行轉化

思路分析：如果兩向量的夾角或者兩向量的模難于直接運算時，也就是說直接運用定義比較困難時，我們有時候可以運用轉化思想來求解兩向量的數量積。轉化的目標為已知向量或與已知向量關系特殊的向量，例如此題中AP為已知向量，AP與BP和BD都垂直，兩向量垂直有一條重要性質：a⊥b = a·b=0。由此得到如下解法。

解法4：設AC∩BD=O，則AC=2（AB+BO），AP·AC=AP·2（AB+BO） =

2AP·AB+2AP·BO=2AP·AB=2AP（AP+PB）=2AP2.

縱觀此題的各種分析與方法，高考考題的生發點依然是教材，重視教材的基本概念、基本思想方法是我們復習迎考努力的方向。同時把握好考試大綱對教材的要求，掌握好數學的數形結合思想、等價轉化思想，特殊化思想等數學思想方法。我們就會在知識的海洋里自由翱翔！

（作者單位：湖南省長沙市雅禮中學）