MPS 方法數值模擬液艙晃蕩問題

張雨新，萬德成，日野孝則

(1.上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240;2.橫濱國立大學 工學府，日本 橫濱)

液艙晃蕩是船舶流體力學研究的熱點問題，其流動現象十分復雜，常帶有自由面的翻卷、融合、破碎和液體的飛濺等現象。晃蕩對液艙壁面產生的抨擊壓力可能會造成結構的破壞，并且影響船舶航行的穩定性。因此，對晃蕩載荷的預測是船舶航行安全性評估的重要內容之一。

早期對晃蕩的研究常借助于實驗［1-2］，但實驗周期長、費用高，提供的信息有限，且常常存在尺度效應。隨著計算機的發展，數值模擬逐漸成為研究晃蕩問題的重要手段。早期的數值求解是基于勢流理論，如Faltinsen［3］發展了邊界元方法(boundary element method，BEM)用來研究非線性晃蕩問題，Wu 等［4］基于有限元(finite element method，FEM)對三維晃蕩進行了研究，Frandsen［5］開發了一個完全非線性的有限差分(finite difference method，FDM)求解器來分析晃蕩中波形的變化。但基于勢流的研究方法忽略了粘性的影響，不能預測近壁面處粘性主導的流動現象，同時難以處理一些復雜的自由面變形，如破波、翻卷等。近二十年來，基于粘流的CFD 技術發展迅速，并被越來越多地用來研究復雜的晃蕩問題。準確預測晃蕩壓力的一個關鍵就是追蹤自由面，為此人們提出了許多方法。這些方法大部分是基于網格系統的，如Chen 等［6］利用兩相Level-set 方法分析了矩形液艙在不同水深及頻率下晃蕩產生的抨擊壓力;Liu 等［7］開發了基于VOF(volume of fluid)的兩相求解器用來研究三維六自由度的劇烈晃蕩現象;Hu 等［8］改進了CIP(constraint interpolation profile)方法，并對二維、三維劇烈晃蕩問題進行了研究;郭曉宇等［9］基于兩相VOF 方法對低充水液艙的氣墊效應進行了分析。

近年來，無網格粒子法發展較快，與傳統的網格類方法相比，粒子法具有較大的靈活性，易于處理一些大變形的自由面問題，其中SPH (smoothed particle hydrodynamics)［10-11］和MPS (moving particle semiimplicit)［12-13］是兩種常用的粒子法。這兩種方法都有各自的優缺點［14］，SPH 的計算效率較高，適于大規模并行計算，但其流體是弱可壓縮的，計算時需要較小的時間步長來滿足CFL 條件。而MPS 方法則是通過Poisson方程隱式求解壓力，可以接受較大的時間步長，其流體是真正不可壓縮的。由于粒子法在處理自由面流動問題具有較大的靈活性，因此常被用來研究復雜的流動問題，如潰壩、破波、晃蕩等。Delorme 等［15］利用SPH 對淺水液艙晃蕩進行了研究，數值模擬很好地預測了抨擊現象，但SPH 給出的壓力與實驗存在較大的偏差。Colagrossi 等為了改進SPH 的壓力計算精度引進MLS(most least square)格式對密度進行積分［16］，提高了壓力場的光滑性，并對劇烈晃蕩問題進行了研究［17］，數值得到的抨擊壓力變化曲線能夠比較好地與實驗吻合，但仍存在一定程度的振蕩。Khayyer 等［18］提出了一種高階Laplacian 模型的MPS 方法，并以晃蕩問題為例進行了驗證，結果表明高階的Laplacian 模型能夠改善壓力的預測精度。Lee 等［19］基于MPS 對晃蕩進行了研究，并對MPS 做了一系列的改進，包括核函數、壓力Poisson 方程的源項優化、粒子碰撞模型，數值得到的壓力能夠很好地與實驗吻合，不過其粒子碰撞模型中帶有較大的非物理因素。在國內，崔巖等［20］利用SPH 對二維矩形液艙的晃蕩進行了分析，數值得到的波高能夠與實驗一致。陳正云等［21］基于SPH 數值模擬了大幅晃蕩問題。潘徐杰等［22-23］利用MPS 研究了二維高充水率液艙晃蕩問題，并針對MPS 的壓力振蕩問題進行了討論。

雖然粒子法已在晃蕩問題中顯示出了較好的靈活性，能夠處理劇烈晃蕩時復雜的自由面變形，但粒子法仍然存在許多問題需要解決。如何改進粒子法并獲得穩定光滑的壓力場是十分重要和值得探討的，另外，對于晃蕩中抨擊壓力預測的可靠性還需要更多的驗證。本文的主要目的是應用MPS 方法對液艙晃蕩問題進行研究，然而傳統的MPS 方法中壓力振蕩十分明顯，目前已有一些學者提出了改進方法。Sueyoshi［24］建議對壓力進行時間和空間上平均，這是參照壓力應變片的工作原理，這種方法能夠給出較為合理的壓力結果。但對于數值計算而言這是一種后處理方法，難以用于帶有浮體的流動問題。Hibi［25］提出求解壓力Poisson 方程(PPE)兩次。第一次求解的PPE 與傳統的方程一樣，而第二個PPE 則采用速度散度作為方程的源項，得到的壓力用來對前一個壓力進行修正。然而，這個修正壓力沒有參與粒子的移動，因此這種方法并不能提高計算的穩定性，并且增加了計算量。Khayyer 等［26］提出了高階源項法，其中源項是對通過粒子數密度求導得到的，此外還提出了弱可壓縮的MPS 方法，數值結果表明這兩種方法對于壓力有一定程度的改善。Tanaka［27］提出了一種混合源項法，這種方法結合了粒子數密度和速度散度作為PPE 的源項。其重要部分是速度源項，而粒子數密度的保留僅是為了保證流體體積的守恒。由于速度場比較光滑，因此混合源項法可以很大程度地光滑壓力。

除了PPE 源項對壓力有較大影響外，自由面的判斷精度對壓力計算的影響也很大，Koshizuka［13］討論了自由面判斷參數對自由面粒子數和自由面形狀的影響，給出了參數的合理范圍，但沒有討論其對壓力的影響。Ataie-Ashtiani［28］分析了粒子作用域半徑對自由面粒子數的影響，但同樣沒有涉及壓力。Tanaka［27］改進了傳統的自由面判斷方法，即采用鄰居粒子數而非粒子數密度來判斷自由面粒子，這種判斷方法在某種程度上提高了自由面的判斷精度，但其精度仍然有限。作者曾提出了一個新的判斷方法，即基于鄰居粒子的不對稱性來判斷，數值驗證表明其判斷精度很好。

目前，MPS 方法在晃蕩問題中的應用還相對較少，對于其預測抨擊壓力的可靠性還需要進一步驗證，因此將利用MPS 方法對二維液艙的晃蕩問題進行研究。為了消除傳統MPS 方法中壓力振蕩問題，采用了一些改進方法，如:1)無奇點的核函數;2)混合源項法;3)更加精確的自由面判斷方法。基于改進后的MPS 方法對二維液艙在不同的激勵頻率和運動方式時的晃蕩進行了數值模擬，分析了波形的變化和特點，并將數值預測得到的壓力與實驗結果進行對比，驗證了MPS 方法的可靠性。

1 數值方法

1.1 控制方程

對于粘性不可壓縮流體，控制方程包括連續性方程和N-S 方程，可寫成如下形式:

式中:ρ 為流體密度，P 為壓力，V 為速度向量，g 為重力加速度向量，ν 是運動粘性系數。式(1)和式(2)的時間導數項是以物質導數形式給出的。在粒子法中，粒子的位置和其他物理量都是基于拉格朗日描述法表達的，因此不需要計算對流項。

1.2 粒子作用模型

在粒子法中，粒子間的相互影響是通過核函數來實現的。核函數的形式可以有很多種。在MPS 中常用的核函數是由Koshizuka 等［5］給出的:

式中:r =| rj－ri| 為兩個粒子間的距離，而下標i 和j 表示粒子編號;re為粒子作用域的半徑，一般取一適當的有限距離。

式(3)所示的核函數一個最大的特點就是在零點處有奇異性，根據Koshizuka 的建議，這樣做可以避免粒子的聚集，保證流體的不可壓縮性。但在模擬流動變化劇烈的問題時，兩個近距離的相鄰粒子易造成過大的排斥力而影響計算的穩定性。這里采用另一種核函數［29］:

式(4)與式(3)的形式相似，但沒有奇點，這樣既可以避免粒子的聚集，又可以使兩個距離很近的粒子不會產生過大的壓力，有利于計算的穩定性。

1.3 梯度模型

梯度算子的離散可表示成徑向函數的加權平均。例如對于粒子i，其壓力梯度可寫成［30-31］:

其中:D 為空間維數，n0為初始粒子數密度。在MPS 方法中，粒子數密度定義為:

式(5)是滿足動量守恒的，其形式與SPH 中的梯度模型相似，其中粒子j 對i 的影響與i 對j 的影響是相同的，且壓力將是對稱的推力。

1.4 Laplacian 模型

在MPS 方法中，Laplacian 模型是由Koshizuka 等［32］給出的，其公式為:

其中:

式(7)是一種守恒格式，其推導源于非定常擴散問題，λ 的引入是為了使數值結果與擴散方程的解析解相一致。

1.5 時間積分

MPS 中一個時間步的計算過程是分成兩步完成的:基于質量力和粘性力的顯式修正以及壓力的隱式修正。具體求解過程如下:

1)以粘性力和質量力為源項對粒子速度進行顯式修正，獲得臨時速度V*i ，并使粒子按照該速度移動至臨時位置r*i :

其中:Δt 為時間步長。

2)計算粒子在臨時位置處的粒子數密度n*。

3)求解壓力Poisson 方程，獲得下一時刻的壓力:

4)根據求得的壓力，對速度和粒子位置進行隱式修正:

式(11)中的右端項為壓力Poisson 方程的源項。從式中可以看到，源項的大小取決于粒子數密度與初始值的差值。在傳統MPS 方法中，不可壓縮條件就是通過保持粒子數密度為常數來實現的，由于粒子數密度場不光滑，式(11)給出的壓力常常存在著強烈的非物理振蕩。Tanaka 等［14］把速度散度加入到了壓力Poisson方程的源項，并保留了粒子數密度項，Lee［19］將這種混合源項法寫成如下更合理的表達式:

其中:γ 為一參數。當γ = 1 時，上式與傳統MPS 方法表達式相同;當γ = 0 時，Poisson 方程源項則完全由速度散度決定。一般而言γ 越小壓力場越光滑，但過小的γ 容易造成流體體積的不守恒，根據數值測試γ ≥0.01 時流體體積能夠保持不變，因此這里取γ = 0.01。

1.6 自由面的判斷

在MPS 方法中，自由液面的判斷相對較為簡單，當粒子的數密度＜n ＞*

i 滿足:

時即被判定為自由面粒子。在求解壓力Poisson 方程時，自由面粒子被指定0 壓力邊界條件，而β 是一參數，通常取β = 0.98 。

式(15)的判斷精度不高，當內部粒子具有較小的數密度時容易被誤判為自由面粒子，從而被賦以0 壓力值，這導致誤判粒子周圍不正確的壓力場。文中采用另外一種自由面判斷方法［33］，首先定義矢量:

時即被判定為自由面粒子，其中α 為一參數。取α = 0.9 | F|0，| F|0為初始時自由面粒子的| F| 值。

需要注意的是，式(17)僅被應用于滿足0.8n0＜n*＜0.97n0的粒子。這是因為n*≤0.8n0的粒子其粒子數密度過小應該被判定為自由面粒子，無需進行多余的判斷，而0.97n0≤n*的粒子不是自由面粒子，應該參與壓力Poisson 方程的求解。

2 數值結果及分析

本節將MPS 方法應用到液艙晃蕩問題計算中，首先對一個矩形液艙縱蕩時的晃蕩進行模擬，將計算得到的和實驗測得的壓力進行對比，驗證文中采用的數值方法的可靠性，同時計算一個較復雜的晃蕩問題，即帶隔板的液艙晃蕩問題，分析隔板的存在對液體運動的影響。

2.1 矩形液艙晃蕩

計算模型為二維矩形液艙，大小為0.8 m(L)×0.5 m(H)，如圖1 所示。為了便于與實驗結果進行比較，在艙壁上設置了2 個壓力監測點，實驗數據來自于DSME(Daewoo Shipbuilding ＆ Marine Engineering Co.，Ltd.)研究所。艙內水深為0.25 m，對應的填充率為50%。液艙做受迫縱蕩運動，運動方程如下:

式中:a=0.02 m 為運動幅值，ω =6.469 rad/s 為激勵頻率。

計算所用的總粒子數為14 312 粒子，其中流體粒子數為12 338，其他為邊界粒子，對應粒子間距為0.004 m。水的密度設為1 000 kg/m3，重力加速度取為9.8 m/s2，運動粘性系數ν=1.01 ×10－6m2/s。

圖1 液艙幾何模型(單位mm)Fig.1 Geometry of tank (Unit:mm)

圖2 不同時刻的晃蕩流動瞬間Fig.2 Snapshots of sloshing flows

圖2 給出了不同時刻的流場瞬間，可以看到流體以駐波的方式在艙內運動，由于該晃蕩的激勵頻率與共振頻率相差較大，因此沒有發生共振現象。圖3 對比了P1 處壓力的實驗和數值結果。可以看到，晃蕩產生了明顯的拍擊現象，由于流動沒有發生破碎等復雜現象，因此拍擊壓力的變化整體上很有周期性。MPS 的計算結果能夠很好地與實驗吻合，壓力峰值和拍擊的時刻都能夠與實驗相一致。這表明文中采用的MPS 方法能夠較好預測晃蕩問題中的拍擊壓力變化。

2.2 二維帶隔板液艙晃蕩

從上節的算例中可以看到，液體晃蕩對艙壁產生了較大的沖擊力，在工程實際中，為了減小晃蕩載荷，人們有時會在艙內加入隔板來減小晃蕩幅值。隔板的存在會對流動產生較大的影響，隔板附近的流動較劇烈，這給數值計算帶來一定的影響。本節針對一個二維帶垂直隔板的液艙晃蕩問題進行研究，驗證MPS 方法在帶有隔板的晃蕩問題中的計算可靠性。計算模型如圖4 所示，液艙長為0.57 m，高度為0.5 m，艙內水深為0.18 m，對應充水率為36%。艙內帶有一垂直隔板，隔板高度為0.15 m，隔板厚度為0.006 m。液艙運動幅值為a=0.1 m，激勵頻率為ω =3.53 rad/s。為了記錄水面的高度變化，在液艙內設置了三個波高探測器，分別位于(a)x= －0.275 m;(b)x=0 m;(c)x= +0.275 m。坐標軸中心位于初始時自由面中心處。粒子間距取0.002 m，總粒子數為27 780，其中流體粒子為25 560，其他為邊界粒子。

圖3 壓力隨時間變化曲線的實驗與數值結果對比Fig.3 Comparison of impact pressure between experimental and numerical results

圖4 帶隔板液艙的幾何尺寸(單位:m)Fig.4 Geometry of baffled tank (Unit:m)

圖5 給出了不同時刻下的流場瞬間，可以看到隔板的存在極大地影響了液體的水平運動，隔板左側大部分水體的流動速度很小。隔板附近的流動較劇烈，當水流流過隔板上部時呈現出了較大的速度，該水流撞入另一側的液體中，造成流場強烈的紊動，可以觀察到自由面的翻卷、破碎和融合等現象，采用的MPS 方法能夠很好地模擬這一現象。圖6 對比了不同波高監測處的水面高度隨時間變化曲線，計算與實驗結果［34］較好地吻合，波高的峰值和相位都能夠與實驗一致。圖6 還給出了VOF 的計算結果［34］，相對于VOF 方法，MPS的波高幅值與實驗更接近，尤其是在x=0 m 位置，從圖中能夠看到，x=0 m 位置處正是流動最劇烈的地方，MPS 能給出較好的結果主要是因為粒子法更易處理這類劇烈的自由面流動。

圖5 二維帶隔板液艙晃蕩流動瞬間Fig.5 Snapshots of sloshing in baffled tank

圖6 波高隨時間變化曲線Fig.6 Time histories of wave height

2.3 三維帶隔板液艙晃蕩

本節將MPS 方法擴展到帶垂直隔板的三維液艙晃蕩問題計算中。液艙長度和高度與2.2 節中的二維液艙相同，在深度方向為0.6 m。艙內水深為0.2 m，隔板高為h =0.15 m，隔板位于自由面處，距離液艙底部0.5 m，隔板厚為0.006 m，距離左側艙壁0.275 m。與2.2 節二維算例相似，液艙做受迫縱蕩運動。運動幅值a=0.03 m，激勵頻率為ω =6.582 rad/s，該頻率等于液艙一階共振頻率。

圖7 三維帶隔板晃蕩流動瞬間Fig.7 Snapshots of sloshing in 3D baffled tank

圖8 隔板附近的速度Fig.8 Velocity around baffle

圖9 三維帶隔板液艙晃蕩的自由面高度Fig.9 Wave height evolution in 3D baffled tank

計算使用的粒子總數為376 695，其中流體粒子數為274 195，其他為邊界粒子。對應粒子間距為0.005 m，因此隔板的三維表達存在微小差別。圖7給出了數值計算得到的流動瞬間，可以看到隔板的存在阻礙了自由面附近的液體運動，隔板兩側水面高度有較大差別，因此當流體流過隔板時發生了自由面的破碎，同時伴隨著液體的飛濺。從圖8 中也可以看到隔板附近的流動速度變化較大。圖9 顯示了波高監測點處水面高度隨時間變化歷程的實驗和數值結果對比。計算結果能夠與實驗數據較好地吻合，但在峰值處存在一定的偏差，這主要是由于該三維算例中粒子間距較大，影響了自由面的捕捉精度，但壓力的整體變化趨勢與實驗相一致。

3 結 語

文中將移動粒子法(MPS)應用于液艙晃蕩問題計算，對二維液艙在縱蕩運動時的晃蕩進行了模擬，將計算得到的拍擊壓力與實驗做了對比，結果表明:MPS 方法能夠很好地模擬晃蕩中的拍擊現象。同時，對二維和三維帶隔板的液艙晃蕩進行了計算，結果顯示隔板附近出現了波面的破碎和融合現象，采用MPS 方法能夠較好地模擬這些復雜的流動現象。此處對比了數值計算得到的和實驗測得的波高，二者吻合較好，表明MPS 方法能夠較好地模擬帶隔板的液艙晃蕩問題。

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