水下環(huán)肋圓柱殼彈性失穩(wěn)臨界載荷無損預(yù)報方法

陳 忱，李天勻，朱 翔，陳浩森

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

環(huán)加筋圓柱殼在水下工程中被廣泛使用，其臨界載荷的大小關(guān)系到結(jié)構(gòu)體的安全性，因此，大量學(xué)者對此進行了深入的研究。早期，Bijlaard［1］提出了研究臨界載荷的幾種方法:數(shù)值分析方法、試驗法及理論解析法。數(shù)值分析方法建模工作量大、計算時間長;試驗方法代價高、周期長。針對前兩種方法的不足，近年來求解臨界載荷的理論解析方法得到了廣泛應(yīng)用。Singer 等［2］利用振動頻率特性預(yù)估失穩(wěn)載荷的方法對加筋圓柱殼進行研究，發(fā)現(xiàn)在屈曲前高載荷處的頻率急劇下降。王震鳴等［3］分別采用剪切變形理論和經(jīng)典扁殼理論得到了加筋圓柱殼在受軸向、側(cè)壓及剪切作用力時的失穩(wěn)臨界載荷，并分析了兩種理論下產(chǎn)生失穩(wěn)臨界載荷誤差的原因。Raymond［4］揭示了固有頻率平方與臨界載荷的關(guān)系，并預(yù)測光殼臨界載荷的上下限，為臨界載荷無損預(yù)報方法打下了基礎(chǔ)。

將環(huán)肋對殼體振動的影響參數(shù)和靜水壓力所產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力計入到殼體振動方程中，研究靜水壓力和固液耦合系統(tǒng)固有頻率的關(guān)系，進而利用這一關(guān)系得出給定邊界條件、給定模態(tài)下環(huán)肋圓柱殼的臨界載荷，實現(xiàn)水下環(huán)肋圓柱殼臨界載荷的無損預(yù)報。

1 研究對象

以浸沒在水中的流場-內(nèi)環(huán)肋圓柱殼耦合系統(tǒng)為研究對象。假設(shè)圓柱殼體為薄殼，殼體厚度為h，中面半徑為R，材料密度為ρs，彈性模量為E，泊松比為μ;環(huán)肋的間距為d，筋條的高度為a，寬度為b，環(huán)肋材料的彈性模量為E1，剪切模量為G1;流體密度為ρf，聲傳播速度為Cf;殼體所受的靜水壓力為P0，流體聲載荷為Pf。以x，θ 和r 分別表示殼體的軸向、周向和徑向;u，v 和w 表示殼體中面軸向、周向和徑向位移。環(huán)肋圓柱殼的坐標(biāo)系與周向模態(tài)數(shù)n 如圖1 所示，肋骨示意如圖2 所示。

圖1 環(huán)肋圓柱殼坐標(biāo)系和周向模態(tài)數(shù)nFig.1 Coordinate system and circumferential modal shapes

圖2 肋骨示意Fig.2 Picture of siffness

2 水下環(huán)肋圓柱殼的自由振動方程

2.1 殼體振動方程

基于經(jīng)典Flügge 方程理論和正交各向異性的近似處理方法，可以得到計及外壓的環(huán)向加肋圓柱殼自由振動Flügge 方程［5］:

矩陣［G］3×3的各元素表達式如下，

需指出，這里把加筋圓柱殼簡化為正交各向異性圓柱殼進行研究，將環(huán)筋條的剛度和質(zhì)量“平均”在殼體的周向上，因此，筋條密些，所得結(jié)果更精確。

2.2 耦合聲振方程

流體聲載荷Pf滿足柱坐標(biāo)系下的Helmholtz 波動方程:

殼體振動時周向取駐波形式的解，而考慮振動波沿殼體軸向的傳播，將中面位移展開成為與殼體的軸向波數(shù)有關(guān)的簡正波形式:

式中:Uns，Vns，Wns為中面位移幅值，ω 為圓頻率(rad/s)，kns為軸向波數(shù)，s 為頻散方程中軸向波數(shù)解的序號。

對于聲壓場，用分離變量法求解Helmholtz 方程，并考慮輻射條件以及殼壁處的耦合邊界條件，滿足波動方程的流體聲壓場有如下形式的解:

式中:Pns為流體聲載荷幅值，為徑向波數(shù)，為流體中的自由波數(shù)。為Bessel 函數(shù);由于圓柱殼浸沒于流場中，則有:為n 階第二類Hankel 函數(shù)。在流體與殼體的接觸面上，流體徑向位移必須等于殼體的徑向位移，即:

將式(3)和式(4)代入式(5)中，對每一組(n，s)可得到流體的聲壓幅值:

將式(3)、(4)、(6)代入式(1)中，便得到此耦合系統(tǒng)的自由振動方程，用矩陣形式表示:

矩陣［T］3×3的各元素表達式，

T11= Ω2－(1 +T1)λ2－［T2+(1 －μ)(K +1)/2］n2;T12= －iλn(1 +μ)/2 ;T13= i［(μ －T2)λ +Kλ3－ K(1 －μ)λn2/2］;T21= iλn(1 +μ)/2 ;T22= Ω2－［T1+(1 －μ)(1 +3K)/2］λ2－(1 +μ1－Kη1+T2)n2;T23= (1 + μ1－ Kη1+ T2)n + (Kη1－ Kζ1)n3+ Kλ2n(3 － μ)/2 ;T31= － i［(μ － T2)λ + Kλ3－ K(1 －μ)λn2/2］;T32= (1 + μ1+ T2)n － Kζ1n3+ Kλ2n(3 － μ)/2 ;T33= － (1 + μ1+ K + Kζ1)－［T2－ K(2 + η1+2ζ1)］n2－ T1λ2－ Kλ4－ K(2 + ηt1)λ2n2－ K(1 + η1)n4+ Ω2－ FL。

式(7)有非零解的條件是矩陣行列式為零，即為描述無量綱軸向波數(shù)kns與無量綱頻率Ω 關(guān)系的特征方程:

2.3 邊界條件

由式(8)知，為得到環(huán)肋圓柱殼的固有頻率，軸向波數(shù)kns必須滿足一定的邊界條件。基于正交各向異性理論，已將環(huán)肋的剛度均攤到殼體上，在低頻范圍內(nèi)按低階模態(tài)振動時，可以運用Lam 等［6］提出的關(guān)于不同邊界條件下水下圓柱殼軸向波數(shù)的計算公式，其中m 表示振動時的軸向半波數(shù)。

將表1 給出的相應(yīng)公式代入式(8)，就可求得在一定的靜水壓力下耦合系統(tǒng)的無量綱頻率，得出關(guān)于水下環(huán)肋圓柱殼靜水壓力和固有頻率的關(guān)系，進而對臨界載荷進行無損預(yù)報。

表1 不同邊界下的軸向波數(shù)Tab.1 axial wave numbers under different boundaries

3 水下環(huán)肋圓柱殼臨界載荷和固有頻率的關(guān)系

3.1 模型可靠性驗證

耦合系統(tǒng)的特征方程(8)是一個復(fù)平面上的高階超越方程。用Muller 三點迭代法進行Matlab 編程，采用Pasly［7］和chu［8］的計算模型進行程序可靠性分析。

采用文獻［7］和［8］中的計算數(shù)據(jù):殼體彈性模量E =2.068 ×1011N/m2，泊松比μ =0.3，密度ρs=8 300 kg/m3，殼厚h=4.496 mm，半徑R=0.514 4 m，殼長L=1.289 m;環(huán)肋材料與殼體相同，彈性模量E1=2.068 ×1011N/m2，剪切模量G1= 0.8 ×1011N/m2，環(huán)肋高度a=45.29 mm，環(huán)肋寬度b=4.597 mm，肋骨間距d1=85.72 mm，筋條數(shù)目N=14;流體自由波傳播速度Cf=1 524 m/s，流體密度ρf=997.7 kg/m3;靜水壓力P0=14.9 kPa，邊界條件為兩端簡支。對比結(jié)果如表2 所示。

表2 列出了Pasly 的試驗結(jié)果和Chu 使用Donnell 方程的計算結(jié)果。可以看出，文中程序計算結(jié)果與Pasly 和Chu 給出的結(jié)果都存在一定的誤差，但在許可范圍內(nèi)，且規(guī)律是一致的。存在誤差是因為所采用的理論模型不同:這里采用正交各向異性板殼模型，把筋條的剛度“平均”在面板上;Chu 則采用基于Donnell理論和能量法的離散模型，充分考慮了筋條導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)不連續(xù)的影響，各內(nèi)力成分用離散級數(shù)的形式給出，筋條僅在各自的位置上相互作用;而Pasly 采用的試驗?zāi)Ｐ驮诃h(huán)肋圓柱殼兩邊各加了一段光殼，影響了環(huán)肋結(jié)構(gòu)的簡支邊界條件，因而導(dǎo)致該試驗結(jié)果與chu 的理論結(jié)果及本文計算結(jié)果的誤差。

表2 m=1 時靜水壓力下的環(huán)肋圓柱殼固有頻率Tab.2 Frequencies of ring-stiffened cylindrical shells under hydrostatic pressure(m=1)

3.2 兩端簡支環(huán)肋圓柱殼的固有頻率及臨界載荷

采用上節(jié)的殼體參數(shù)，計算兩端簡支環(huán)肋圓柱殼在不同靜水壓力下的固有頻率，所得結(jié)果如表3 所示(m=1)。

表3 兩端簡支環(huán)肋圓柱殼的固有頻率Tab.3 Frequencies of simply-supported ring-stiffened cylindrical shell

圖3 簡支環(huán)肋殼固有頻率平方與靜水壓力的關(guān)系Fig.3 Relationship between frequency squared and hydrostatic pressure of simply-supported ring-stiffened cylindrical shell

從表3 可知，各模態(tài)下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率隨靜水壓力的增加而減小，但減小速率各不同。現(xiàn)將模態(tài)(1，2)和模態(tài)(1，3)對應(yīng)的固有頻率的平方與外壓的關(guān)系繪于圖3 中。

從圖3 可看出，環(huán)肋圓柱殼固有頻率的平方與靜水壓力近似呈線性關(guān)系。考慮用f2= ka(P0－Pcr)來描述它們的關(guān)系，f 是環(huán)肋圓柱殼的固有頻率，Pcr是環(huán)肋圓柱殼的臨界載荷，ka是用最小二乘法得出的擬合直線斜率。經(jīng)計算，模態(tài)(1，3)對應(yīng)的擬合直線斜率ka= －0.219 5 Hz2/MPa。同時，給定邊界條件下任意模態(tài)(m，n)對應(yīng)的固有頻率平方與靜水壓力也近似成線性關(guān)系。這與文獻［9］和［10］中的結(jié)論是一致的。

圓柱殼失穩(wěn)時，結(jié)構(gòu)體的剛度喪失，固有頻率為零。若能求出在不同模態(tài)(m，n)下頻率為零時對應(yīng)的靜水壓力(圖3 中實線與橫軸交點的橫坐標(biāo))的最小值，則此壓力即可認(rèn)為是該環(huán)肋圓柱殼臨界載荷的最小彈性理論解。由表3 和圖3 可知，模態(tài)(1，3)對應(yīng)的擬合直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)最小，則知該模態(tài)為環(huán)肋圓柱殼的失穩(wěn)模態(tài)，其頻率為零時對應(yīng)的靜水壓力即為該環(huán)肋圓柱殼的臨界載荷。用最小二乘法得出的擬合直線方程為f2= －0.219 5(P0－21.45)，則知該兩端簡支環(huán)肋圓柱殼的最小臨界載荷Pcr為21.45 MPa。

按兩端簡支條件下徑向、軸向承受靜水壓力的環(huán)肋圓柱殼臨界載荷米塞斯公式(針對中等長度殼，n =2～3)，可得到理論值［11］:

式中:a1= πR/L 為殼體長度參數(shù);J 是肋骨截面與附連板對其中性軸的慣性矩。代入計算模型數(shù)據(jù)，則得臨界載荷的理論值Pcr= 21.83 MPa，這與文中擬合曲線求得的計算結(jié)果21.45 MPa，相對誤差為－1.74%，也進一步證實了本方法的正確性。

為了方便驗證，采用了文獻［7］和［8］的中等長度殼體計算模型。而對于細(xì)長殼(n =2)，應(yīng)該按照希曼斯基公式計算理論臨界載荷。

計算分析表明，其規(guī)律性是一致的。

3.3 其它邊界環(huán)肋圓柱殼的固有頻率及臨界載荷

采用3.2 節(jié)給出的計算模型，不同邊界條件環(huán)肋圓柱殼的固有頻率及其臨界載荷如表4、表5 及圖4 所示(m=1，n=3)。由圖4 知，給定模態(tài)的不同邊界條件環(huán)肋圓柱殼的固有頻率平方與靜水壓力也近似成線性關(guān)系。并且邊界條件不同，環(huán)肋圓柱殼的臨界載荷也不同，兩端剛固(C-C)時的臨界載荷比其他邊界條件的臨界載荷要大，說明邊界約束越強，環(huán)肋圓柱殼的臨界載荷越大。

圖4 不同邊界條件下固有頻率平方與靜水壓力的關(guān)系Fig.4 Relationship between frequency squared and hydrostatic pressure of ring-stiffened cylindrical shell under different boundaries

表4 不同邊界下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率Tab.4 Frequencies of ring-stiffened cylindrical shell under different boundaries

表5 不同邊界下環(huán)肋圓柱殼的臨界載荷Tab.5 Buckling loads of ring-stiffened cylindrical shell under different boundaries

以上計算得到的是靜壓下環(huán)肋圓柱殼臨界載荷的彈性理論解。對求得的臨界載荷值還要經(jīng)過幾何非線性修正和物理非線性修正［12］，才能應(yīng)用于工程設(shè)計中。

4 結(jié) 語

運用正交各向異性理論求出水下環(huán)肋圓柱殼臨界載荷的彈性理論解。基于Flügge 殼體理論建立了水下環(huán)肋圓柱殼固－液耦合系統(tǒng)自由振動方程，基于波傳播法得到了水下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率，進而通過線性擬合得出水下環(huán)肋圓柱殼臨界載荷的彈性理論解。計算結(jié)果表明，任意邊界的同一模態(tài)下，固有頻率平方與靜水壓力成正比，且邊界約束越強，環(huán)肋圓柱殼的臨界載荷越大，其中兩端剛固(C-C)時的臨界載荷最大。與相關(guān)文獻的數(shù)值計算結(jié)果進行對比，表明了本方法及程序的準(zhǔn)確性，它為水下環(huán)肋圓柱殼臨界載荷的無損預(yù)報提供了一種新的方法。

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