三維位場正則化向下延拓成像技術

陳桂廷+羅強+周宇軒+趙強

摘 要：該文采用正則化方法通過頻率域響應對位場進行向下延拓，運用牛頓切線法并引入多條件約束對正則化參數進行了合理的選取，消除了向下延拓所固有的不穩(wěn)定性。在二維剖面和三維空間的延拓都取得了較為理想的效果。

關鍵詞：向下延拓 不適定問題 正則化頻率域

中圖分類號：P6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位場的延拓已經有多種成熟的方法，能嚴格按照數學方法導出。向上延拓由于不涉及到場源，可以達到良好的效果；但向下延拓是由實測位場向場源的延拓，是一個典型的不適定問題，計算的本身存在不穩(wěn)定性。通常的下延方法在下延至場源體附近區(qū)域位場將發(fā)生強烈的震蕩效應，國內外大量學者為解決這一問題作了大量的探索。主要解決方向都是構建低通濾波器。實際上相對于正則化方法，其他方法下延深度均較淺，到達場源時無法消除高頻振蕩。相較而言正則化方法是最穩(wěn)定的算法之一，也是理論上能過源的延拓方法，可以解決反演中解的不唯一性和不穩(wěn)定性。該文基于Fourior變換在頻率域對正則化因子的選擇，參數的控制及三維下延做出了一定探討。把這種方法應用于理論模型和實際數據的向下延拓中都取得了理想的結果。

1 向下延拓的不適定性

我們知道，在場源區(qū)域S外位場u滿足Laplace方程[1]：

（1）

其中f為觀測平面的實測值，位場函數u為調和函數，由此構建成為Dirchlet問題。

解方程可得上半平面的延拓位場Poisson公式：

（2）

坐標取向下為正。其中為觀測平面位場的觀測值，為向上延拓z1以后平面位場值。轉化為褶積表達式：

× （3）

將式（3）各項做二維Fourior變換得到波數域表達式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v為空間頻率，z為常數。故向上延拓頻率因子為[3]：

可以將向下延拓看作向上延拓的反問題，于是把向上延拓因子的倒數作為向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

顯然向下延拓因子是一個高通濾波器，將對高頻成分進行放大，造成延拓位場劇烈震蕩，使得延拓結果發(fā)散，淹沒有效信息。構成了一個不適定問題。

2 正則化算法

為了能得到穩(wěn)定解的向下延拓因子我們將問題轉化第一類Fredholm線性積分[4]：

（8）

（9）

或第二類Fredhol線性積分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘數法，將上述問題轉化為無條件極值[4～5]：

（12）

其中為正則化參數，使用Fourior變換和Euler方程[4]轉化到頻率域求的解方程組（7）、（8），歷史[5]上得出了不同類型的濾波器，通過試驗效果校對本文采用陳生昌等人提出依據廣義逆運算得出的向下延拓濾波器[6]：

（13）

它的頻率特征如圖1所示。

可以看出它是一個帶通濾波器，不同取值有不同通帶的頻率響應，隨增大通帶向低頻方向移動。同時它也是一個與有關的函數，頻帶將隨著深度變化動態(tài)對下延信號進行動態(tài)壓制。達到消除向下延拓所存在的高頻振蕩問題。

圖2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力異常，圖3為利用正則化延拓因子延拓5 m的二維重力異常。

3 正則化參數的選取

正則化參數的選擇將直接影響濾波器的通帶范圍，當取的很小時濾波器近似于原始的高通向下延拓因子，會造成很強的高頻振蕩，淹沒有用信息。取值偏大時是一個低通濾波器，造成壓制過當。按單個場源的模型，做出參數不同取值延拓位場最大值（場源位置）變化曲線如圖4所示。可以看出參數還控制了場源反演深度。

由于向下延拓信號由于涉及到場源等問題，對于參數的選擇往往根據經驗并與實際情況相互印證。該文在前人的基礎上再引入多條件約束通過牛頓切線法確定的取值范圍。

約束條件：

（1）延拓在一定范圍內位場值是增加的；

（2）延拓位場極值變化是收斂的；

（3）

第一個條件用于約束取過大所造成的壓制過當，導致等值線過早閉合；第二個條件用于約束取過小造成延拓過源等值線不閉合的尷尬；第三個條件使延拓曲線形態(tài)趨勢與地表觀測曲線一致性最佳。

4 三維位場延拓

Step1：對觀測平面數據進行二維Fourier變換轉換到波數域；

Step2：用同樣的濾波器構造三維正則化延拓因子；

Step3：用三維正則化因子對波數域位場值進行延拓；

Step4：Fourier反變換得到延拓后的位場值；

Step5：依次取不同的Z值重復上述步驟。

5 球體重力場數值模擬

為驗證算法準確性，本文取單個球體源的重力位場作為正演模型。球體參數如表1所示。

正演公式：

處理得z=0平面的重力異常，取y=0測線剖面圖，并加上微弱的隨機高斯噪聲合成，比較符合實際工作中數據采集精度，用于驗證正則化算法對于不適定問題的響應。為了體現橫向上的變化并克服Fourier變換由于采樣不足假頻現象，取剖面長度盡量長，本文取剖面長度為埋深的6倍，點距為2m。利用三個約束條件，在保證第一、二條件下利用牛頓迭代法求取最佳正則化參數=0.0151。

圖5是向下延拓y=0剖面的等值線圖。最大下延深度為40 m。為2倍場源深度，由圖。可見等值線在場源附近閉合，并有很好的對稱性。閉合中心深度在22 m左右，和真實場源中心很接近。此外，在兩側有一些負異常震蕩現象，這是由于對高頻信息的壓制不絕對造成，在邊界還出現了Fourier變換造成的“八”字形Gibbs效應，這些都驗證了本算法在一定精度下的正確性。

按照三維延拓步驟，構建波數域正則化因子對單球體場源正演平面數據進行三維下延[7]，做切片如圖6所示。

由圖7可見，三維情況與二維反演十分吻合，反演所得的場源位置也在22 m左右，隨深度增加下延平面最大值變化趨勢為增大→極值→減小，并且在下方成功收斂。

6 結論

（1）正則化三維向下延拓方法可以很好的壓制高頻振蕩，過場源位場不發(fā)散，有很好的穩(wěn)定性。（2）利用二維快速Fourier變換將數據轉換為波數域結合廣義正則化原理可以避免大型矩陣運算，提高計算效率。（3）正則化濾波器是一個基于深度變化的帶通濾波器，在不同深度對不同頻率信號有不同的壓制程度，是一種動態(tài)的濾波器，這樣即能保證數據過場源不產生震蕩，又能保證延拓深度。（4）理論上只要選取恰當可以延拓至任意深度，并保證等值線閉合。（5）參數能控制反演場源的深度，利用多條件約束可以得到可靠的參數。

參考文獻

[1] 王邦華，王理.重磁位場的正則化向下延拓[J].物探化探計算技術，1998，20（1）.

[2] 劉彩云.頻率域位場延拓表達式的一種簡單推導[J].長江大學學報：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度變化的磁場正則化下延方法研究[D].中國石油大學，2011.

[4] 欒文貴.場位解析延拓的穩(wěn)定化算法[J].地球物理學報，1983（3）：263-274.

[5] 梁錦文.位場向下延拓的正則化方法[J].地球物理學報，1989，32（5）.

[6] 陳生昌，肖鵬飛.位場向下延拓的波數域廣義逆算法[J].地球物理學報，2007，50（6）.

[7] 劉銀萍，王祝文，杜曉娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正則化算法的重力數據三維約束反演[J].地球物理學報，2013，56（5）.endprint

摘 要：該文采用正則化方法通過頻率域響應對位場進行向下延拓，運用牛頓切線法并引入多條件約束對正則化參數進行了合理的選取，消除了向下延拓所固有的不穩(wěn)定性。在二維剖面和三維空間的延拓都取得了較為理想的效果。

關鍵詞：向下延拓 不適定問題 正則化頻率域

中圖分類號：P6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位場的延拓已經有多種成熟的方法，能嚴格按照數學方法導出。向上延拓由于不涉及到場源，可以達到良好的效果；但向下延拓是由實測位場向場源的延拓，是一個典型的不適定問題，計算的本身存在不穩(wěn)定性。通常的下延方法在下延至場源體附近區(qū)域位場將發(fā)生強烈的震蕩效應，國內外大量學者為解決這一問題作了大量的探索。主要解決方向都是構建低通濾波器。實際上相對于正則化方法，其他方法下延深度均較淺，到達場源時無法消除高頻振蕩。相較而言正則化方法是最穩(wěn)定的算法之一，也是理論上能過源的延拓方法，可以解決反演中解的不唯一性和不穩(wěn)定性。該文基于Fourior變換在頻率域對正則化因子的選擇，參數的控制及三維下延做出了一定探討。把這種方法應用于理論模型和實際數據的向下延拓中都取得了理想的結果。

1 向下延拓的不適定性

我們知道，在場源區(qū)域S外位場u滿足Laplace方程[1]：

（1）

其中f為觀測平面的實測值，位場函數u為調和函數，由此構建成為Dirchlet問題。

解方程可得上半平面的延拓位場Poisson公式：

（2）

坐標取向下為正。其中為觀測平面位場的觀測值，為向上延拓z1以后平面位場值。轉化為褶積表達式：

× （3）

將式（3）各項做二維Fourior變換得到波數域表達式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v為空間頻率，z為常數。故向上延拓頻率因子為[3]：

可以將向下延拓看作向上延拓的反問題，于是把向上延拓因子的倒數作為向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

顯然向下延拓因子是一個高通濾波器，將對高頻成分進行放大，造成延拓位場劇烈震蕩，使得延拓結果發(fā)散，淹沒有效信息。構成了一個不適定問題。

2 正則化算法

為了能得到穩(wěn)定解的向下延拓因子我們將問題轉化第一類Fredholm線性積分[4]：

（8）

（9）

或第二類Fredhol線性積分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘數法，將上述問題轉化為無條件極值[4～5]：

（12）

其中為正則化參數，使用Fourior變換和Euler方程[4]轉化到頻率域求的解方程組（7）、（8），歷史[5]上得出了不同類型的濾波器，通過試驗效果校對本文采用陳生昌等人提出依據廣義逆運算得出的向下延拓濾波器[6]：

（13）

它的頻率特征如圖1所示。

可以看出它是一個帶通濾波器，不同取值有不同通帶的頻率響應，隨增大通帶向低頻方向移動。同時它也是一個與有關的函數，頻帶將隨著深度變化動態(tài)對下延信號進行動態(tài)壓制。達到消除向下延拓所存在的高頻振蕩問題。

圖2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力異常，圖3為利用正則化延拓因子延拓5 m的二維重力異常。

3 正則化參數的選取

正則化參數的選擇將直接影響濾波器的通帶范圍，當取的很小時濾波器近似于原始的高通向下延拓因子，會造成很強的高頻振蕩，淹沒有用信息。取值偏大時是一個低通濾波器，造成壓制過當。按單個場源的模型，做出參數不同取值延拓位場最大值（場源位置）變化曲線如圖4所示。可以看出參數還控制了場源反演深度。

由于向下延拓信號由于涉及到場源等問題，對于參數的選擇往往根據經驗并與實際情況相互印證。該文在前人的基礎上再引入多條件約束通過牛頓切線法確定的取值范圍。

約束條件：

（1）延拓在一定范圍內位場值是增加的；

（2）延拓位場極值變化是收斂的；

（3）

第一個條件用于約束取過大所造成的壓制過當，導致等值線過早閉合；第二個條件用于約束取過小造成延拓過源等值線不閉合的尷尬；第三個條件使延拓曲線形態(tài)趨勢與地表觀測曲線一致性最佳。

4 三維位場延拓

Step1：對觀測平面數據進行二維Fourier變換轉換到波數域；

Step2：用同樣的濾波器構造三維正則化延拓因子；

Step3：用三維正則化因子對波數域位場值進行延拓；

Step4：Fourier反變換得到延拓后的位場值；

Step5：依次取不同的Z值重復上述步驟。

5 球體重力場數值模擬

為驗證算法準確性，本文取單個球體源的重力位場作為正演模型。球體參數如表1所示。

正演公式：

處理得z=0平面的重力異常，取y=0測線剖面圖，并加上微弱的隨機高斯噪聲合成，比較符合實際工作中數據采集精度，用于驗證正則化算法對于不適定問題的響應。為了體現橫向上的變化并克服Fourier變換由于采樣不足假頻現象，取剖面長度盡量長，本文取剖面長度為埋深的6倍，點距為2m。利用三個約束條件，在保證第一、二條件下利用牛頓迭代法求取最佳正則化參數=0.0151。

圖5是向下延拓y=0剖面的等值線圖。最大下延深度為40 m。為2倍場源深度，由圖。可見等值線在場源附近閉合，并有很好的對稱性。閉合中心深度在22 m左右，和真實場源中心很接近。此外，在兩側有一些負異常震蕩現象，這是由于對高頻信息的壓制不絕對造成，在邊界還出現了Fourier變換造成的“八”字形Gibbs效應，這些都驗證了本算法在一定精度下的正確性。

按照三維延拓步驟，構建波數域正則化因子對單球體場源正演平面數據進行三維下延[7]，做切片如圖6所示。

由圖7可見，三維情況與二維反演十分吻合，反演所得的場源位置也在22 m左右，隨深度增加下延平面最大值變化趨勢為增大→極值→減小，并且在下方成功收斂。

6 結論

（1）正則化三維向下延拓方法可以很好的壓制高頻振蕩，過場源位場不發(fā)散，有很好的穩(wěn)定性。（2）利用二維快速Fourier變換將數據轉換為波數域結合廣義正則化原理可以避免大型矩陣運算，提高計算效率。（3）正則化濾波器是一個基于深度變化的帶通濾波器，在不同深度對不同頻率信號有不同的壓制程度，是一種動態(tài)的濾波器，這樣即能保證數據過場源不產生震蕩，又能保證延拓深度。（4）理論上只要選取恰當可以延拓至任意深度，并保證等值線閉合。（5）參數能控制反演場源的深度，利用多條件約束可以得到可靠的參數。

參考文獻

[1] 王邦華，王理.重磁位場的正則化向下延拓[J].物探化探計算技術，1998，20（1）.

[2] 劉彩云.頻率域位場延拓表達式的一種簡單推導[J].長江大學學報：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度變化的磁場正則化下延方法研究[D].中國石油大學，2011.

[4] 欒文貴.場位解析延拓的穩(wěn)定化算法[J].地球物理學報，1983（3）：263-274.

[5] 梁錦文.位場向下延拓的正則化方法[J].地球物理學報，1989，32（5）.

[6] 陳生昌，肖鵬飛.位場向下延拓的波數域廣義逆算法[J].地球物理學報，2007，50（6）.

[7] 劉銀萍，王祝文，杜曉娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正則化算法的重力數據三維約束反演[J].地球物理學報，2013，56（5）.endprint

摘 要：該文采用正則化方法通過頻率域響應對位場進行向下延拓，運用牛頓切線法并引入多條件約束對正則化參數進行了合理的選取，消除了向下延拓所固有的不穩(wěn)定性。在二維剖面和三維空間的延拓都取得了較為理想的效果。

關鍵詞：向下延拓 不適定問題 正則化頻率域

中圖分類號：P6 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）09（b）-046-03

目前位場的延拓已經有多種成熟的方法，能嚴格按照數學方法導出。向上延拓由于不涉及到場源，可以達到良好的效果；但向下延拓是由實測位場向場源的延拓，是一個典型的不適定問題，計算的本身存在不穩(wěn)定性。通常的下延方法在下延至場源體附近區(qū)域位場將發(fā)生強烈的震蕩效應，國內外大量學者為解決這一問題作了大量的探索。主要解決方向都是構建低通濾波器。實際上相對于正則化方法，其他方法下延深度均較淺，到達場源時無法消除高頻振蕩。相較而言正則化方法是最穩(wěn)定的算法之一，也是理論上能過源的延拓方法，可以解決反演中解的不唯一性和不穩(wěn)定性。該文基于Fourior變換在頻率域對正則化因子的選擇，參數的控制及三維下延做出了一定探討。把這種方法應用于理論模型和實際數據的向下延拓中都取得了理想的結果。

1 向下延拓的不適定性

我們知道，在場源區(qū)域S外位場u滿足Laplace方程[1]：

（1）

其中f為觀測平面的實測值，位場函數u為調和函數，由此構建成為Dirchlet問題。

解方程可得上半平面的延拓位場Poisson公式：

（2）

坐標取向下為正。其中為觀測平面位場的觀測值，為向上延拓z1以后平面位場值。轉化為褶積表達式：

× （3）

將式（3）各項做二維Fourior變換得到波數域表達式[2]：

（4）

其中：

（5）

（6）

其中u，v為空間頻率，z為常數。故向上延拓頻率因子為[3]：

可以將向下延拓看作向上延拓的反問題，于是把向上延拓因子的倒數作為向下延拓因子，得向下延拓因子：

（7）

顯然向下延拓因子是一個高通濾波器，將對高頻成分進行放大，造成延拓位場劇烈震蕩，使得延拓結果發(fā)散，淹沒有效信息。構成了一個不適定問題。

2 正則化算法

為了能得到穩(wěn)定解的向下延拓因子我們將問題轉化第一類Fredholm線性積分[4]：

（8）

（9）

或第二類Fredhol線性積分：

其中：

（10）

（11）

利用Lagrange乘數法，將上述問題轉化為無條件極值[4～5]：

（12）

其中為正則化參數，使用Fourior變換和Euler方程[4]轉化到頻率域求的解方程組（7）、（8），歷史[5]上得出了不同類型的濾波器，通過試驗效果校對本文采用陳生昌等人提出依據廣義逆運算得出的向下延拓濾波器[6]：

（13）

它的頻率特征如圖1所示。

可以看出它是一個帶通濾波器，不同取值有不同通帶的頻率響應，隨增大通帶向低頻方向移動。同時它也是一個與有關的函數，頻帶將隨著深度變化動態(tài)對下延信號進行動態(tài)壓制。達到消除向下延拓所存在的高頻振蕩問題。

圖2是原始延拓因子向下延拓5 m的二位重力異常，圖3為利用正則化延拓因子延拓5 m的二維重力異常。

3 正則化參數的選取

正則化參數的選擇將直接影響濾波器的通帶范圍，當取的很小時濾波器近似于原始的高通向下延拓因子，會造成很強的高頻振蕩，淹沒有用信息。取值偏大時是一個低通濾波器，造成壓制過當。按單個場源的模型，做出參數不同取值延拓位場最大值（場源位置）變化曲線如圖4所示。可以看出參數還控制了場源反演深度。

由于向下延拓信號由于涉及到場源等問題，對于參數的選擇往往根據經驗并與實際情況相互印證。該文在前人的基礎上再引入多條件約束通過牛頓切線法確定的取值范圍。

約束條件：

（1）延拓在一定范圍內位場值是增加的；

（2）延拓位場極值變化是收斂的；

（3）

第一個條件用于約束取過大所造成的壓制過當，導致等值線過早閉合；第二個條件用于約束取過小造成延拓過源等值線不閉合的尷尬；第三個條件使延拓曲線形態(tài)趨勢與地表觀測曲線一致性最佳。

4 三維位場延拓

Step1：對觀測平面數據進行二維Fourier變換轉換到波數域；

Step2：用同樣的濾波器構造三維正則化延拓因子；

Step3：用三維正則化因子對波數域位場值進行延拓；

Step4：Fourier反變換得到延拓后的位場值；

Step5：依次取不同的Z值重復上述步驟。

5 球體重力場數值模擬

為驗證算法準確性，本文取單個球體源的重力位場作為正演模型。球體參數如表1所示。

正演公式：

處理得z=0平面的重力異常，取y=0測線剖面圖，并加上微弱的隨機高斯噪聲合成，比較符合實際工作中數據采集精度，用于驗證正則化算法對于不適定問題的響應。為了體現橫向上的變化并克服Fourier變換由于采樣不足假頻現象，取剖面長度盡量長，本文取剖面長度為埋深的6倍，點距為2m。利用三個約束條件，在保證第一、二條件下利用牛頓迭代法求取最佳正則化參數=0.0151。

圖5是向下延拓y=0剖面的等值線圖。最大下延深度為40 m。為2倍場源深度，由圖。可見等值線在場源附近閉合，并有很好的對稱性。閉合中心深度在22 m左右，和真實場源中心很接近。此外，在兩側有一些負異常震蕩現象，這是由于對高頻信息的壓制不絕對造成，在邊界還出現了Fourier變換造成的“八”字形Gibbs效應，這些都驗證了本算法在一定精度下的正確性。

按照三維延拓步驟，構建波數域正則化因子對單球體場源正演平面數據進行三維下延[7]，做切片如圖6所示。

由圖7可見，三維情況與二維反演十分吻合，反演所得的場源位置也在22 m左右，隨深度增加下延平面最大值變化趨勢為增大→極值→減小，并且在下方成功收斂。

6 結論

（1）正則化三維向下延拓方法可以很好的壓制高頻振蕩，過場源位場不發(fā)散，有很好的穩(wěn)定性。（2）利用二維快速Fourier變換將數據轉換為波數域結合廣義正則化原理可以避免大型矩陣運算，提高計算效率。（3）正則化濾波器是一個基于深度變化的帶通濾波器，在不同深度對不同頻率信號有不同的壓制程度，是一種動態(tài)的濾波器，這樣即能保證數據過場源不產生震蕩，又能保證延拓深度。（4）理論上只要選取恰當可以延拓至任意深度，并保證等值線閉合。（5）參數能控制反演場源的深度，利用多條件約束可以得到可靠的參數。

參考文獻

[1] 王邦華，王理.重磁位場的正則化向下延拓[J].物探化探計算技術，1998，20（1）.

[2] 劉彩云.頻率域位場延拓表達式的一種簡單推導[J].長江大學學報：自科版，2013，10（28）.

[3] 李中芹.基于深度變化的磁場正則化下延方法研究[D].中國石油大學，2011.

[4] 欒文貴.場位解析延拓的穩(wěn)定化算法[J].地球物理學報，1983（3）：263-274.

[5] 梁錦文.位場向下延拓的正則化方法[J].地球物理學報，1989，32（5）.

[6] 陳生昌，肖鵬飛.位場向下延拓的波數域廣義逆算法[J].地球物理學報，2007，50（6）.

[7] 劉銀萍，王祝文，杜曉娟，等.基于Extrapolation Tikhonov正則化算法的重力數據三維約束反演[J].地球物理學報，2013，56（5）.endprint