軟繩下滑問(wèn)題的研究

邱偉

摘 要：該文擬討論軟繩在非光滑面上下滑過(guò)程中轉(zhuǎn)角處的摩擦力是否可以忽略， 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)角雖然很小但彈力并不小，所產(chǎn)生的摩擦力足可以與平面相比，摩擦力做功也不小，忽略轉(zhuǎn)角處摩擦力做功，計(jì)算出的速度明顯比實(shí)際速度大；另外在研究光滑面上軟繩下滑過(guò)程中繩的長(zhǎng)度與速度的關(guān)系時(shí)，根據(jù)所研究問(wèn)題的側(cè)重點(diǎn)不同，將面視為無(wú)摩擦力的完全理想化情況，本文運(yùn)用微圓法、能量守恒定律和牛頓第二定律等對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入的分析。

關(guān)鍵詞：摩擦力 桌面 軟繩 速度

中圖分類號(hào)：O313 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）09（b）-0035-03

軟繩下滑問(wèn)題是力學(xué)研究中一種比較典型的問(wèn)題。軟繩在下滑的問(wèn)題中涉及的力學(xué)知識(shí)非常的廣，其中有牛頓的三條定律（以牛頓第二定律運(yùn)用最多），在物理問(wèn)題中常常運(yùn)用的微圓法，還有能量守恒定律等等。從中學(xué)我們就開始接觸軟繩問(wèn)題，如軟繩連接著定滑輪的問(wèn)題、軟繩的自由落體運(yùn)動(dòng)、軟繩的重心等等，再到大學(xué)中我們所學(xué)的軟繩的一些例子，如阿特伍德機(jī)。但我們很少單獨(dú)的研究軟繩的問(wèn)題，本文就以軟繩為研究對(duì)象，分析其在下滑過(guò)程中的一些情況。

1 軟繩下滑轉(zhuǎn)角處的摩擦力

1.1 軟繩在光滑的桌面上下滑

例1：如圖1所示，一根長(zhǎng)為1 m軟繩，一部分垂在桌沿下面，一部分放在桌面上，垂下部分最大長(zhǎng)度0.2 m，若保持靜止求其在桌面上的摩擦因數(shù)為多少；若此時(shí)稍有擾動(dòng)軟繩就會(huì)滑離桌面，當(dāng)軟繩全部滑出桌面時(shí)速度為多少（g取10 m/s2）。

解：據(jù)題對(duì)軟繩受力分析，如圖2、圖3所示。

設(shè)軟繩單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為p，小繩的全長(zhǎng)為s，在桌沿下的長(zhǎng)為l，全部滑出桌面的速度為。

則有 （1）

（2）

（3）

根據(jù)能量守恒定律

（4）

，在上面的問(wèn)題中沒有考慮轉(zhuǎn)角處的摩擦力情況，可能是考慮到轉(zhuǎn)角非常的小，在此處的摩擦力所做的功可以忽略。

例2：在桌面上放著一長(zhǎng)為L(zhǎng)的軟繩，繩的一端在通過(guò)小孔連接一個(gè)質(zhì)量為M的物體，如圖4所示用手拉著繩使其保持靜止，然后放開讓其運(yùn)動(dòng)。其中繩與平面的摩擦因數(shù)為m，求當(dāng)繩的尾部剛好滑到小孔時(shí)的速度。

解：對(duì)繩受力分析有如圖5所示。

設(shè)：軟繩的單位長(zhǎng)度質(zhì)量為p，則根據(jù)為能量守恒定律有：

（5）

（6）

（7）

這一結(jié)果是運(yùn)用能量守恒定律，忽略在轉(zhuǎn)角處摩擦力所做的功得出的。在實(shí)際情況中有一些數(shù)據(jù)由于與所求數(shù)據(jù)相差很多，基本不影響或影響非常小，我們可以忽略不計(jì)，但對(duì)于上述問(wèn)題中的轉(zhuǎn)角處的摩擦力我們是否可以將其視作小量而忽略，我們引入下一個(gè)例題來(lái)證明。看其是否可以忽略轉(zhuǎn)角處的摩擦力，若不能忽略，轉(zhuǎn)角處的摩擦力影響是否很大？

1.2 軟繩在滑輪上下滑

有一條輕繩繞在半徑為R的圓柱上，繩子與圓柱間的摩擦力為，繩子與圓柱接觸的圓心角為，設(shè)其一段繩的拉力為另一端為，當(dāng)其平衡時(shí)與的關(guān)系（見圖1）。

據(jù)題設(shè)一個(gè)小單位弧長(zhǎng)，小單位角為，受力分析則有：

據(jù)受力分析圖我們可以得到（見圖7）：

（8）

（9）

（10），因?yàn)闊o(wú)限的趨近于0，所以有，，則有：

（11）

（12）

忽略二階小量，整理得：

（13）

（14）

（15）

從這個(gè)習(xí)題我們可以看出在轉(zhuǎn)角處的摩擦力是不能夠忽略的，而且在轉(zhuǎn)角處的摩擦力的作用非常的大。在實(shí)際生活中有很多證明轉(zhuǎn)角處摩擦很大的實(shí)例，用一個(gè)很小的力拽住大負(fù)荷，例如拴著一頭牛只要很小的力拽住另一端即可將繩索固定，如圖所示，牛對(duì)繩提供T0的拉力，繩與柱的摩擦力為，為使牛不能脫離，所用的最小拉力多大？解：根據(jù)題意受力分析如圖8所示

根據(jù)牛頓第二定律有

（16）

（17）

根據(jù)上題的方法，忽略二階小量我們可以直接得出（18），當(dāng)繩在圓柱上拴上兩圈，，，則用時(shí)，就可以抵抗另一端的力。由上述的例題證明，轉(zhuǎn)角處的摩擦力是不可以忽略的。將桌子的直角部分視為四分之一圓的弧形，和上面的習(xí)題一樣，運(yùn)用微圓法，根據(jù)牛頓第二定律，設(shè)在圓弧上的摩擦因數(shù)為，在聯(lián)系例1有如圖9所示。

解：根據(jù)例題1有：

（19）

在根據(jù)我們上面對(duì)軟繩在滑輪上下滑的公式有（20），在將（19）式帶入（20）式有（21），（22），（23） 在這個(gè)方程中我們很難求出摩擦因數(shù)，但可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)，采取逐漸逼近的方法，求出摩擦因數(shù)。對(duì)比桌面上的摩擦力，我們可以看出，轉(zhuǎn)角處的摩擦因數(shù)只比桌面上的摩擦因數(shù)小0.038，所以轉(zhuǎn)角處的摩擦力不能忽略。可以看出我們上面所做的例題1和例題2是錯(cuò)誤的。

1.3 小結(jié)

轉(zhuǎn)角雖然很小，但彈力并不小；所產(chǎn)生的摩擦力足可以與平面相比。

同樣的原因也說(shuō)明轉(zhuǎn)角雖然小但摩擦力做功并不小，忽略轉(zhuǎn)角處摩擦力做功，計(jì)算出的速度明顯比實(shí)際速度大。

2 軟繩在光滑的物體上下滑過(guò)程中的速度與長(zhǎng)度的關(guān)系

2.1 軟繩在光滑的桌面上下滑

在軟繩下滑的過(guò)程中，在各個(gè)時(shí)刻的速度是不一樣，現(xiàn)在我們討論在一些，軟繩下滑到一些特殊的長(zhǎng)度時(shí)它的速度和加速度。

均勻鏈條從光滑的桌面上下滑，其中繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，長(zhǎng)為b的一段下垂，軟繩從靜止開始下滑，軟繩的下滑規(guī)律，軟繩滑出桌面的時(shí)間和速度。

解：以桌面為坐標(biāo)原點(diǎn)取向下的方向?yàn)檎较蜃鲋苯亲鴺?biāo)系有如圖10所示。

設(shè)：軟繩的單位長(zhǎng)度質(zhì)量為p。

則有軟繩的總質(zhì)量為，軟繩下垂到時(shí)，下垂部分的質(zhì)量為受到的重力為，水平部分與下垂部分的作用力為，根據(jù)牛頓第二定律有

（24）

（25）

（26）

（27）

積分得，當(dāng)時(shí)，，則帶入上式（28），將其帶入，得（29），根據(jù)初始條件和積分公式可以得出（30），則全部滑落的時(shí)間為（31），下滑的速度為（32），由上面的例題我們可以得出軟繩在光滑的桌面上下滑任意長(zhǎng)度時(shí)軟繩的速度公式。我們只需知道其長(zhǎng)度和其下垂部分的長(zhǎng)度L和b就可以求速度，其中y是軟繩下滑的到以桌面為原點(diǎn)的長(zhǎng)度。當(dāng)其全部下滑時(shí)y=L，軟繩做自由落體運(yùn)動(dòng)。

2.2 軟繩從光滑的定滑輪上下滑

一根粗細(xì)均勻長(zhǎng)為2L的軟繩，放在光滑的定滑輪上，一面長(zhǎng)為L(zhǎng)，另一面長(zhǎng)為L(zhǎng)，給繩施加一個(gè)微小的擾動(dòng)，軟繩從靜止開始下滑，問(wèn)繩的下滑規(guī)律，軟繩滑離定滑輪的瞬間其速度。

解：解這類問(wèn)題我們可以利用牛頓第二定律，類似與上題，設(shè)下滑了X，軟繩的單位質(zhì)量密度為。則在下滑的過(guò)程中一部分的質(zhì)量，，滑輪左右兩邊的相互作用力為

· （33）

（34）

（35）

帶入上式 我們可以直接求出軟繩下滑過(guò)程中速度與長(zhǎng)度（36），當(dāng)軟繩的一個(gè)端點(diǎn)剛好滑離圖釘時(shí)軟繩的速度為（將X=L帶入（36）式）（37）方法二：（能量守恒）（38）由上題的解我們知道繩從定滑輪上下滑時(shí)它的速度與繩長(zhǎng)度的關(guān)系為其中X為軟繩從一端運(yùn)動(dòng)到另一端的長(zhǎng)度。同桌面一樣當(dāng)其全部滑落時(shí)做自由落體運(yùn)動(dòng)。上述的兩道題我們都是在光滑的平面上討論軟繩下滑問(wèn)題，可以看出繩的下滑速度與繩長(zhǎng)的分布有直接關(guān)系。這也是由于繩的不可伸長(zhǎng)的特征所決定，軟繩在下滑的過(guò)程中，做變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩全部離開平面時(shí)，它就做我們所熟悉的自由落體運(yùn)動(dòng)。

2.3 小結(jié)

綜上所述的例題我們可以得出軟繩在下滑過(guò)程中長(zhǎng)度與速度的關(guān)系，速度與其下滑的長(zhǎng)度成正比，但當(dāng)其全部下滑是軟繩就做我們所熟悉的自由落體運(yùn)動(dòng)。在研究的軟繩下滑速度與其長(zhǎng)度的關(guān)系中，我們都將其為無(wú)摩擦力，無(wú)轉(zhuǎn)角處的摩擦力的完全理想化情況，如果討論繩子在有摩擦力和轉(zhuǎn)角處摩擦力的情況，我們需要大量的已知條件，這里不做深入討論。

3 結(jié)語(yǔ)

該文研究的軟繩下滑問(wèn)題主要得出兩個(gè)結(jié)論。其一軟繩在非光滑的桌面上下滑，其轉(zhuǎn)角處的摩擦力是不可忽略的，而且在其轉(zhuǎn)角處的摩擦力很大。其二在理想情況下，軟繩在光滑物體上的下滑過(guò)程它的速度與下滑的軟繩長(zhǎng)度有著直接的關(guān)系根據(jù)例題比較我們可以看出，速度與軟繩下滑的長(zhǎng)度成正比，當(dāng)全部滑落的時(shí)候軟繩做自由落體運(yùn)動(dòng)。

參考文獻(xiàn)

[1] 張漢壯，王文全.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009（12）：45-49.

[2] 漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2005，6：77-85.

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[4] 胡盤新.普通物理學(xué)（第五版）習(xí)題分析解答[M].北京：高等教育出版社，2003.1：38-41.

[5] 梁昆淼.力學(xué)（上冊(cè)）[M].人民教育出版社，1978，12：124-127.

則有軟繩的總質(zhì)量為，軟繩下垂到時(shí)，下垂部分的質(zhì)量為受到的重力為，水平部分與下垂部分的作用力為，根據(jù)牛頓第二定律有

（24）

（25）

（26）

（27）

積分得，當(dāng)時(shí)，，則帶入上式（28），將其帶入，得（29），根據(jù)初始條件和積分公式可以得出（30），則全部滑落的時(shí)間為（31），下滑的速度為（32），由上面的例題我們可以得出軟繩在光滑的桌面上下滑任意長(zhǎng)度時(shí)軟繩的速度公式。我們只需知道其長(zhǎng)度和其下垂部分的長(zhǎng)度L和b就可以求速度，其中y是軟繩下滑的到以桌面為原點(diǎn)的長(zhǎng)度。當(dāng)其全部下滑時(shí)y=L，軟繩做自由落體運(yùn)動(dòng)。

2.2 軟繩從光滑的定滑輪上下滑

一根粗細(xì)均勻長(zhǎng)為2L的軟繩，放在光滑的定滑輪上，一面長(zhǎng)為L(zhǎng)，另一面長(zhǎng)為L(zhǎng)，給繩施加一個(gè)微小的擾動(dòng)，軟繩從靜止開始下滑，問(wèn)繩的下滑規(guī)律，軟繩滑離定滑輪的瞬間其速度。

解：解這類問(wèn)題我們可以利用牛頓第二定律，類似與上題，設(shè)下滑了X，軟繩的單位質(zhì)量密度為。則在下滑的過(guò)程中一部分的質(zhì)量，，滑輪左右兩邊的相互作用力為

· （33）

（34）

（35）

帶入上式 我們可以直接求出軟繩下滑過(guò)程中速度與長(zhǎng)度（36），當(dāng)軟繩的一個(gè)端點(diǎn)剛好滑離圖釘時(shí)軟繩的速度為（將X=L帶入（36）式）（37）方法二：（能量守恒）（38）由上題的解我們知道繩從定滑輪上下滑時(shí)它的速度與繩長(zhǎng)度的關(guān)系為其中X為軟繩從一端運(yùn)動(dòng)到另一端的長(zhǎng)度。同桌面一樣當(dāng)其全部滑落時(shí)做自由落體運(yùn)動(dòng)。上述的兩道題我們都是在光滑的平面上討論軟繩下滑問(wèn)題，可以看出繩的下滑速度與繩長(zhǎng)的分布有直接關(guān)系。這也是由于繩的不可伸長(zhǎng)的特征所決定，軟繩在下滑的過(guò)程中，做變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩全部離開平面時(shí)，它就做我們所熟悉的自由落體運(yùn)動(dòng)。

2.3 小結(jié)

綜上所述的例題我們可以得出軟繩在下滑過(guò)程中長(zhǎng)度與速度的關(guān)系，速度與其下滑的長(zhǎng)度成正比，但當(dāng)其全部下滑是軟繩就做我們所熟悉的自由落體運(yùn)動(dòng)。在研究的軟繩下滑速度與其長(zhǎng)度的關(guān)系中，我們都將其為無(wú)摩擦力，無(wú)轉(zhuǎn)角處的摩擦力的完全理想化情況，如果討論繩子在有摩擦力和轉(zhuǎn)角處摩擦力的情況，我們需要大量的已知條件，這里不做深入討論。

3 結(jié)語(yǔ)

該文研究的軟繩下滑問(wèn)題主要得出兩個(gè)結(jié)論。其一軟繩在非光滑的桌面上下滑，其轉(zhuǎn)角處的摩擦力是不可忽略的，而且在其轉(zhuǎn)角處的摩擦力很大。其二在理想情況下，軟繩在光滑物體上的下滑過(guò)程它的速度與下滑的軟繩長(zhǎng)度有著直接的關(guān)系根據(jù)例題比較我們可以看出，速度與軟繩下滑的長(zhǎng)度成正比，當(dāng)全部滑落的時(shí)候軟繩做自由落體運(yùn)動(dòng)。

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則有軟繩的總質(zhì)量為，軟繩下垂到時(shí)，下垂部分的質(zhì)量為受到的重力為，水平部分與下垂部分的作用力為，根據(jù)牛頓第二定律有

（24）

（25）

（26）

（27）

積分得，當(dāng)時(shí)，，則帶入上式（28），將其帶入，得（29），根據(jù)初始條件和積分公式可以得出（30），則全部滑落的時(shí)間為（31），下滑的速度為（32），由上面的例題我們可以得出軟繩在光滑的桌面上下滑任意長(zhǎng)度時(shí)軟繩的速度公式。我們只需知道其長(zhǎng)度和其下垂部分的長(zhǎng)度L和b就可以求速度，其中y是軟繩下滑的到以桌面為原點(diǎn)的長(zhǎng)度。當(dāng)其全部下滑時(shí)y=L，軟繩做自由落體運(yùn)動(dòng)。

2.2 軟繩從光滑的定滑輪上下滑

一根粗細(xì)均勻長(zhǎng)為2L的軟繩，放在光滑的定滑輪上，一面長(zhǎng)為L(zhǎng)，另一面長(zhǎng)為L(zhǎng)，給繩施加一個(gè)微小的擾動(dòng)，軟繩從靜止開始下滑，問(wèn)繩的下滑規(guī)律，軟繩滑離定滑輪的瞬間其速度。

解：解這類問(wèn)題我們可以利用牛頓第二定律，類似與上題，設(shè)下滑了X，軟繩的單位質(zhì)量密度為。則在下滑的過(guò)程中一部分的質(zhì)量，，滑輪左右兩邊的相互作用力為

· （33）

（34）

（35）

帶入上式 我們可以直接求出軟繩下滑過(guò)程中速度與長(zhǎng)度（36），當(dāng)軟繩的一個(gè)端點(diǎn)剛好滑離圖釘時(shí)軟繩的速度為（將X=L帶入（36）式）（37）方法二：（能量守恒）（38）由上題的解我們知道繩從定滑輪上下滑時(shí)它的速度與繩長(zhǎng)度的關(guān)系為其中X為軟繩從一端運(yùn)動(dòng)到另一端的長(zhǎng)度。同桌面一樣當(dāng)其全部滑落時(shí)做自由落體運(yùn)動(dòng)。上述的兩道題我們都是在光滑的平面上討論軟繩下滑問(wèn)題，可以看出繩的下滑速度與繩長(zhǎng)的分布有直接關(guān)系。這也是由于繩的不可伸長(zhǎng)的特征所決定，軟繩在下滑的過(guò)程中，做變加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)繩全部離開平面時(shí)，它就做我們所熟悉的自由落體運(yùn)動(dòng)。

2.3 小結(jié)

綜上所述的例題我們可以得出軟繩在下滑過(guò)程中長(zhǎng)度與速度的關(guān)系，速度與其下滑的長(zhǎng)度成正比，但當(dāng)其全部下滑是軟繩就做我們所熟悉的自由落體運(yùn)動(dòng)。在研究的軟繩下滑速度與其長(zhǎng)度的關(guān)系中，我們都將其為無(wú)摩擦力，無(wú)轉(zhuǎn)角處的摩擦力的完全理想化情況，如果討論繩子在有摩擦力和轉(zhuǎn)角處摩擦力的情況，我們需要大量的已知條件，這里不做深入討論。

3 結(jié)語(yǔ)

該文研究的軟繩下滑問(wèn)題主要得出兩個(gè)結(jié)論。其一軟繩在非光滑的桌面上下滑，其轉(zhuǎn)角處的摩擦力是不可忽略的，而且在其轉(zhuǎn)角處的摩擦力很大。其二在理想情況下，軟繩在光滑物體上的下滑過(guò)程它的速度與下滑的軟繩長(zhǎng)度有著直接的關(guān)系根據(jù)例題比較我們可以看出，速度與軟繩下滑的長(zhǎng)度成正比，當(dāng)全部滑落的時(shí)候軟繩做自由落體運(yùn)動(dòng)。

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