基于Esscher 變換的巨災(zāi)債券定價模型研究

韓雪

摘 要：本文基于Esscher變換這一精算工具，建立以損失指數(shù)為觸發(fā)條件的巨災(zāi)債券定價模型，并利用1996—2012年我國臺風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)，運用該定價模型測算不同觸發(fā)條件下臺風(fēng)巨災(zāi)債券的發(fā)行價格。本文采用Merton的方法，因為該方法直接適用于如巨災(zāi)衍生產(chǎn)品，作為原生品的損失指數(shù)并不是一種可投資資產(chǎn)的狀況。而巨災(zāi)風(fēng)險損失的非交易性可以通過引進(jìn)自然風(fēng)險的市場價格來解決。

關(guān)鍵詞：臺風(fēng)災(zāi)害；Esscher 變換；巨災(zāi)債券

中圖分類號：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨災(zāi)債券是一種對巨災(zāi)風(fēng)險進(jìn)行證券化的產(chǎn)品，保險公司通過風(fēng)險證券化將風(fēng)險轉(zhuǎn)移到資本市場上去。而價格的合理與否也就成了巨災(zāi)債券發(fā)行成功的關(guān)鍵。目前對巨災(zāi)債券（衍生品）價格的研究主要借鑒比較成熟的資產(chǎn)定價理論，采用無風(fēng)險套利定價方法來為其定價。

針對普通金融資產(chǎn)的定價模型是基于金融資產(chǎn)價格連續(xù)變動的假設(shè)，也就是其對應(yīng)的風(fēng)險是可預(yù)料的，用無風(fēng)險套利定價方法具有可行性。但對巨災(zāi)債券所要轉(zhuǎn)移的巨災(zāi)風(fēng)險，如地震、臺風(fēng)等自然風(fēng)險來說，對應(yīng)的損失（指數(shù)）是不可預(yù)料的。這就要求用一種在隨機(jī)的時間點上存在跳躍的隨機(jī)過程來描述這一風(fēng)險，一般使用復(fù)合泊松分布來描述這一損失過程。正是損失（指數(shù)）的隨機(jī)跳躍導(dǎo)致了不完全市場的出現(xiàn)。

而要想使用無風(fēng)險套利定價方法來為巨災(zāi)債券等證券化產(chǎn)品定價，還必須解決不完全市場和保險損失指數(shù)不可交易這兩個問題。既然存在著不完全市場，那么復(fù)制技術(shù)就無法應(yīng)用。對此有幾種解決方法：一是Merton[1]假設(shè)具有跳躍特征的風(fēng)險可以被分散，也就是只含有此種非系統(tǒng)風(fēng)險投資組合的β為0，其期望收益等于無風(fēng)險利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一種方差最小化的對沖方法來求得等價鞅測度；三是Davis[4]基于歷史概率，通過投資者效用函數(shù)的最大化來確定價格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出構(gòu)造一個完全市場的框架。

當(dāng)然，在無風(fēng)險套利定價理論的實際應(yīng)用中，如何求得Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)以進(jìn)行概率測度變換是又一關(guān)鍵和難點。通常使用傅利葉變換和偏微分方程這樣復(fù)雜的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]將精算學(xué)中的Esscher變換引入了資產(chǎn)定價領(lǐng)域，該方法極大地簡化了計算。Christensen[8]利用其對PCS期權(quán)進(jìn)行定價，本文將在此基礎(chǔ)上研究如何為巨災(zāi)債券定價，并求出了巨災(zāi)債券價格的顯式表達(dá)式。

參考文獻(xiàn)：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（責(zé)任編輯：孟 耀）

摘 要：本文基于Esscher變換這一精算工具，建立以損失指數(shù)為觸發(fā)條件的巨災(zāi)債券定價模型，并利用1996—2012年我國臺風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)，運用該定價模型測算不同觸發(fā)條件下臺風(fēng)巨災(zāi)債券的發(fā)行價格。本文采用Merton的方法，因為該方法直接適用于如巨災(zāi)衍生產(chǎn)品，作為原生品的損失指數(shù)并不是一種可投資資產(chǎn)的狀況。而巨災(zāi)風(fēng)險損失的非交易性可以通過引進(jìn)自然風(fēng)險的市場價格來解決。

關(guān)鍵詞：臺風(fēng)災(zāi)害；Esscher 變換；巨災(zāi)債券

中圖分類號：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨災(zāi)債券是一種對巨災(zāi)風(fēng)險進(jìn)行證券化的產(chǎn)品，保險公司通過風(fēng)險證券化將風(fēng)險轉(zhuǎn)移到資本市場上去。而價格的合理與否也就成了巨災(zāi)債券發(fā)行成功的關(guān)鍵。目前對巨災(zāi)債券（衍生品）價格的研究主要借鑒比較成熟的資產(chǎn)定價理論，采用無風(fēng)險套利定價方法來為其定價。

針對普通金融資產(chǎn)的定價模型是基于金融資產(chǎn)價格連續(xù)變動的假設(shè)，也就是其對應(yīng)的風(fēng)險是可預(yù)料的，用無風(fēng)險套利定價方法具有可行性。但對巨災(zāi)債券所要轉(zhuǎn)移的巨災(zāi)風(fēng)險，如地震、臺風(fēng)等自然風(fēng)險來說，對應(yīng)的損失（指數(shù)）是不可預(yù)料的。這就要求用一種在隨機(jī)的時間點上存在跳躍的隨機(jī)過程來描述這一風(fēng)險，一般使用復(fù)合泊松分布來描述這一損失過程。正是損失（指數(shù)）的隨機(jī)跳躍導(dǎo)致了不完全市場的出現(xiàn)。

而要想使用無風(fēng)險套利定價方法來為巨災(zāi)債券等證券化產(chǎn)品定價，還必須解決不完全市場和保險損失指數(shù)不可交易這兩個問題。既然存在著不完全市場，那么復(fù)制技術(shù)就無法應(yīng)用。對此有幾種解決方法：一是Merton[1]假設(shè)具有跳躍特征的風(fēng)險可以被分散，也就是只含有此種非系統(tǒng)風(fēng)險投資組合的β為0，其期望收益等于無風(fēng)險利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一種方差最小化的對沖方法來求得等價鞅測度；三是Davis[4]基于歷史概率，通過投資者效用函數(shù)的最大化來確定價格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出構(gòu)造一個完全市場的框架。

當(dāng)然，在無風(fēng)險套利定價理論的實際應(yīng)用中，如何求得Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)以進(jìn)行概率測度變換是又一關(guān)鍵和難點。通常使用傅利葉變換和偏微分方程這樣復(fù)雜的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]將精算學(xué)中的Esscher變換引入了資產(chǎn)定價領(lǐng)域，該方法極大地簡化了計算。Christensen[8]利用其對PCS期權(quán)進(jìn)行定價，本文將在此基礎(chǔ)上研究如何為巨災(zāi)債券定價，并求出了巨災(zāi)債券價格的顯式表達(dá)式。

參考文獻(xiàn)：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（責(zé)任編輯：孟 耀）

摘 要：本文基于Esscher變換這一精算工具，建立以損失指數(shù)為觸發(fā)條件的巨災(zāi)債券定價模型，并利用1996—2012年我國臺風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)，運用該定價模型測算不同觸發(fā)條件下臺風(fēng)巨災(zāi)債券的發(fā)行價格。本文采用Merton的方法，因為該方法直接適用于如巨災(zāi)衍生產(chǎn)品，作為原生品的損失指數(shù)并不是一種可投資資產(chǎn)的狀況。而巨災(zāi)風(fēng)險損失的非交易性可以通過引進(jìn)自然風(fēng)險的市場價格來解決。

關(guān)鍵詞：臺風(fēng)災(zāi)害；Esscher 變換；巨災(zāi)債券

中圖分類號：F830.91 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨災(zāi)債券是一種對巨災(zāi)風(fēng)險進(jìn)行證券化的產(chǎn)品，保險公司通過風(fēng)險證券化將風(fēng)險轉(zhuǎn)移到資本市場上去。而價格的合理與否也就成了巨災(zāi)債券發(fā)行成功的關(guān)鍵。目前對巨災(zāi)債券（衍生品）價格的研究主要借鑒比較成熟的資產(chǎn)定價理論，采用無風(fēng)險套利定價方法來為其定價。

針對普通金融資產(chǎn)的定價模型是基于金融資產(chǎn)價格連續(xù)變動的假設(shè)，也就是其對應(yīng)的風(fēng)險是可預(yù)料的，用無風(fēng)險套利定價方法具有可行性。但對巨災(zāi)債券所要轉(zhuǎn)移的巨災(zāi)風(fēng)險，如地震、臺風(fēng)等自然風(fēng)險來說，對應(yīng)的損失（指數(shù)）是不可預(yù)料的。這就要求用一種在隨機(jī)的時間點上存在跳躍的隨機(jī)過程來描述這一風(fēng)險，一般使用復(fù)合泊松分布來描述這一損失過程。正是損失（指數(shù)）的隨機(jī)跳躍導(dǎo)致了不完全市場的出現(xiàn)。

而要想使用無風(fēng)險套利定價方法來為巨災(zāi)債券等證券化產(chǎn)品定價，還必須解決不完全市場和保險損失指數(shù)不可交易這兩個問題。既然存在著不完全市場，那么復(fù)制技術(shù)就無法應(yīng)用。對此有幾種解決方法：一是Merton[1]假設(shè)具有跳躍特征的風(fēng)險可以被分散，也就是只含有此種非系統(tǒng)風(fēng)險投資組合的β為0，其期望收益等于無風(fēng)險利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一種方差最小化的對沖方法來求得等價鞅測度；三是Davis[4]基于歷史概率，通過投資者效用函數(shù)的最大化來確定價格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出構(gòu)造一個完全市場的框架。

當(dāng)然，在無風(fēng)險套利定價理論的實際應(yīng)用中，如何求得Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)以進(jìn)行概率測度變換是又一關(guān)鍵和難點。通常使用傅利葉變換和偏微分方程這樣復(fù)雜的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]將精算學(xué)中的Esscher變換引入了資產(chǎn)定價領(lǐng)域，該方法極大地簡化了計算。Christensen[8]利用其對PCS期權(quán)進(jìn)行定價，本文將在此基礎(chǔ)上研究如何為巨災(zāi)債券定價，并求出了巨災(zāi)債券價格的顯式表達(dá)式。

參考文獻(xiàn)：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（責(zé)任編輯：孟 耀）