可數(shù)連續(xù)格上的兩個擴張定理

占詩源，姜廣浩

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

前人的研究中，Scott［1］第一次引入了連續(xù)格的概念.陸志軍等［2］給出了可數(shù)連續(xù)格的定義，并且證明了可數(shù)連續(xù)格與連續(xù)格有很多相類似的性質.覃鋒［3］給出了定向極小集的概念，并得到了連續(xù)格序同態(tài)的兩個擴張定理.本文受此啟發(fā)，引入可數(shù)定向極小集的概念，并得到了可數(shù)連續(xù)格序同態(tài)的兩個擴張定理.關于連續(xù)格、定向極小集以及序同態(tài)的相關理論可參考文獻［4－6］.文中的L，L1，L2都為完備格，Dc（L）為L中所有的可數(shù)定向子集所構成的集合.

1 預備知識

定義1［2］設L為一個完備格，D?L，若對于任一可數(shù)集C?D，存在d∈D，使得對于?c∈C，c≤d，則稱D是可數(shù)定向集，即D是關于可數(shù)集C定向的.

定義2［2］設L為一個完備格，其中a，b∈L，如果對于L中任意一個可數(shù)定向集D，b≤sup D，存在d∈D，使a≤d，則稱a可數(shù)way－belowb，記作a?cb.

定義3［2］設L為一個完備格，若對于?a∈L，a＝sup｛b∈L｜b?ca｝，則稱L是一個可數(shù)連續(xù)格.

定義4［7］設L1，L2都為完備格，Dc（L1）為L1中所有的可數(shù)定向子集所構成的集合，映射f：L1→L2稱為保可數(shù)定向sup的，如果對于?D∈Dc（L1），都有f（sup D）＝sup f（D）.

定義5［7］設L1，L2都為完備格，映射f：L1→L2稱為保?c的，如果a?cb，可推出f（a）?cf（b）.

定義6 如果對于A∈Dc（x）且supA∈X，有g（sup A）＝supg（A），則稱g：X→L2是保可數(shù)定向sup的.

定義7［7］設L1，L2都為完備格，如果映射f：L1→L2是保任意sup的，并且f－1是保可數(shù)定向sup的，其中f－1（b）＝sup｛a∈L1｜f（a）≤b｝，則稱f為序同態(tài).

定義8［7］設L為一個完備格，對于?a∈L，記?a＝｛x∈L｜x?ca｝，?c稱為可數(shù)逼近的，若對于?a∈L，有a＝sup?a.

定義9［7］設a∈L，B∈Dc（L），B 稱為a 的可數(shù)定向極小集，如果滿足：

1）sup B＝a；

2）當D∈Dc（L）并且a≤sup D 時，對于?b∈B，有d∈D，使得b≤d.

注1 可數(shù)定向極小集可簡稱為可數(shù)極小集.

命題1［7］設a∈L，B∈Dc（L），B 為a 的可數(shù)極小集，當且僅當supB＝a并且B??a.

證 一方面，設B為a的可數(shù)極小……