一種基于錐優(yōu)化的DG優(yōu)化配置快速計(jì)算方法

趙金利 于瑩瑩 李 鵬 孫充勃 張 楠 郭小龍 張 飛

（1. 天津大學(xué)智能電網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 天津 300072 2. 廣東電網(wǎng)公司 廣州 510000）

1 引言

在能源需求與環(huán)境保護(hù)的雙重壓力下，學(xué)術(shù)界和工業(yè)界已將更多希望寄托于分布式發(fā)電相關(guān)的研究與解決方案[1]。隨著相關(guān)政策的推出、實(shí)施以及技術(shù)水平的不斷進(jìn)步，分布式發(fā)電技術(shù)目前已得到廣泛應(yīng)用。然而，分布式電源類型豐富、形式多樣（如風(fēng)力發(fā)電、光伏發(fā)電、燃料電池、微型燃?xì)廨啓C(jī)和內(nèi)燃機(jī)等[2-4]），且其運(yùn)行特性依據(jù)其結(jié)構(gòu)組成、控制模式和技術(shù)特點(diǎn)而不同。因此，分布式電源的并網(wǎng)運(yùn)行對配電系統(tǒng)的安全性、供電可靠性、經(jīng)濟(jì)性及電能質(zhì)量等具有重要影響，而這與分布式電源的接入位置和容量配置緊密相關(guān)[4,5]。因此，對分布式電源進(jìn)行合理的規(guī)劃，不僅能充分發(fā)揮分布式電源的作用和經(jīng)濟(jì)效益，還可有效減少分布式電源接入所帶來的問題和風(fēng)險(xiǎn)。

分布式電源優(yōu)化配置問題是指在滿足給定的投資及系統(tǒng)運(yùn)行等約束條件下，對DG的選址和容量進(jìn)行優(yōu)化，使其效益最大化。國內(nèi)外學(xué)者從不同角度對DG優(yōu)化配置問題的計(jì)算模型和求解方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[6]利用電壓靈敏度方法選擇DG接入位置，提出一種DG優(yōu)化配置方法來提高電壓穩(wěn)定域，并考慮了負(fù)荷和DG的隨機(jī)特性。文獻(xiàn)[7]以系統(tǒng)無功損耗最小為目標(biāo)，采用粒子群算法對DG進(jìn)行優(yōu)化配置來增強(qiáng)系統(tǒng)的帶載能力，提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]利用蒙特卡羅法考慮負(fù)荷和DG的隨機(jī)特性，力圖實(shí)現(xiàn)DG接入給供電公司和客戶帶來的效益最大化。

DG優(yōu)化問題求解的速度和準(zhǔn)確度是目前的研究重點(diǎn)之一。求解算法分為數(shù)學(xué)微分優(yōu)化技術(shù)[6]、啟發(fā)式算法[10]、人工智能優(yōu)化方法[12]等。數(shù)學(xué)微分優(yōu)化技術(shù)一般僅能實(shí)現(xiàn)單個(gè)分布式電源的優(yōu)化配置，啟發(fā)式算法及人工智能優(yōu)化方法需調(diào)用大量潮流結(jié)果來驗(yàn)證DG配置方案的合理性[10-14]，尤其當(dāng)配電網(wǎng)規(guī)模較大時(shí)，其計(jì)算壓力將更為突出，并且解的最優(yōu)性往往取決于初始點(diǎn)和控制參數(shù)的選擇。為此，本文選取錐優(yōu)化方法來求解DG優(yōu)化配置問題。該方法可實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題和潮流計(jì)算問題的統(tǒng)一求解，大大提高了計(jì)算速度，且利用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論進(jìn)行建模，保證了解的最優(yōu)性。

本文首先從分布式電源優(yōu)化配置的基本模型出發(fā)，考慮了配電系統(tǒng)自身的運(yùn)行要求和分布式電源的接入限制等約束。然后，以錐優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)形式為指導(dǎo)，通過變量替換和形式變換實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化配置模型向錐約束的轉(zhuǎn)化，建立了分布式電源優(yōu)化定容的錐優(yōu)化模型。最后，在IEEE 33節(jié)點(diǎn)算例上，分別針對不同的DG接入情況，對錐優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化方法的正確性和計(jì)算效率進(jìn)行測試，并與模式搜索法（Pattern Search，PS）和模擬退火法（Simulated Annealing，SA）進(jìn)行比較，同時(shí)對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析。

2 分布式電源優(yōu)化定容問題

本文基于現(xiàn)有的DG優(yōu)化配置模型[6-14,18-21]，從配電系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的角度出發(fā)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

分布式電源優(yōu)化配置問題通常根據(jù)不同的應(yīng)用背景選取相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，如系統(tǒng)有功損耗最小[9]、系統(tǒng)無功損耗最小[7]、提高電壓穩(wěn)定裕度[6]、環(huán)境效益最大等[4]，由于網(wǎng)絡(luò)損耗的改善情況能有效反應(yīng)DG安裝前后的節(jié)能效益和能源利用率，可更好的與電力系統(tǒng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性聯(lián)系起來，因此本文選取系統(tǒng)有功損耗最小化為目標(biāo)函數(shù)，可表示為

式中，n為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)；Pi為節(jié)點(diǎn)i處注入的有功功率之和，可用式（2）表示。

2.2 約束條件

約束條件包括系統(tǒng)潮流約束、運(yùn)行電壓水平約束、支路電流限制、DG容量約束、滲透率約束、DG無功出力限制及功率因數(shù)限制[6-14,18-21]，具體公式如下。

系統(tǒng)潮流約束

運(yùn)行電壓水平約束

支路電流限制

式中，N(i)為節(jié)點(diǎn)i的相鄰節(jié)點(diǎn)的集合；Vi、Vj、θij分別為節(jié)點(diǎn) i、j的電壓幅值和相角差；Gii、Bii、Gij、Bij分別為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣中的自電導(dǎo)、自電納、互電導(dǎo)和互電納；PDGi、PLDi分別為節(jié)點(diǎn)i上分布式電源注入的有功功率、負(fù)荷注入的有功功率；Qi為節(jié)點(diǎn)i處注入的無功功率之和；QDGi、QLDi分別為節(jié)點(diǎn) i上分布式電源注入的無功功率、負(fù)荷注入的無功功率；Vmax、Vmin分別為系統(tǒng)i電壓幅值的上、下限；Iij為支路ij的電流幅值；Iijmax為支路ij的電流幅值上限；SDGimax為節(jié)點(diǎn) i處分布式電源接入容量的上限；λ為滲透率水平系數(shù)；SLD為系統(tǒng)總負(fù)荷；pfDGi為節(jié)點(diǎn) i處分布式電源的功率因數(shù)；pfmax、pfmin分別為系統(tǒng)中各分布式電源功率因數(shù)的上、下限。

式（1）～式（9）構(gòu)成了以分布式電源出力PDGi、QDGi為決策變量的DG優(yōu)化定容問題的基本模型。

3 錐優(yōu)化算法的應(yīng)用

錐優(yōu)化是線性優(yōu)化的一種推廣[15]，因凸錐所具有的優(yōu)美的幾何結(jié)構(gòu)和特殊的處理方式，使其不僅能在有效時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)問題的求解，還能保證所求解的最優(yōu)性。在電力系統(tǒng)領(lǐng)域中，錐優(yōu)化已成功應(yīng)用于傳統(tǒng)配網(wǎng)重構(gòu)[16]及系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)[17]的求解等。

在傳統(tǒng)DG優(yōu)化配置求解方法中，數(shù)學(xué)微分優(yōu)化技術(shù)的計(jì)算量較小，但一般僅能實(shí)現(xiàn)單個(gè)DG的優(yōu)化配置。啟發(fā)式算法和人工智能算法主要通過調(diào)用潮流結(jié)果來反復(fù)修正DG的接入容量，往往需要足夠多的計(jì)算次數(shù)才能尋得較好的解[10]。與之相比，錐優(yōu)化算法在求解DG優(yōu)化配置問題時(shí)，能夠同時(shí)滿足快速收斂和最優(yōu)求解的要求。

3.1 錐優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)形式

錐優(yōu)化是線性空間中凸錐上的數(shù)學(xué)規(guī)劃，它是線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃的推廣。錐優(yōu)化問題可描述為在有限個(gè)非空尖凸錐的笛卡爾乘積與仿射子空間的交集上求一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)最小的問題，即在非空尖凸錐導(dǎo)入偏序下，線性等式、線性不等式約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的問題，其標(biāo)準(zhǔn)形式如下

min{cTx|Ax=b, x≥K0} （10）

式中，K為有限個(gè)非空尖凸錐的笛卡爾乘積，一般用旋轉(zhuǎn)錐表示，如式（12）；x為n維決策變量。

錐優(yōu)化方法對優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型有嚴(yán)格要求，錐優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)必須是決策變量x的線性函數(shù)，且其可行域由線性等式/不等式約束和非線性二階錐或旋轉(zhuǎn)錐不等式約束構(gòu)成，第一項(xiàng) Ax=b表示線性約束，第二項(xiàng)x≥K0表示非線性約束。

3.2 錐模型的轉(zhuǎn)化

3.2.1 基本約束條件的錐轉(zhuǎn)化

上述分布式電源優(yōu)化定容模型屬于非線性規(guī)劃，應(yīng)用錐優(yōu)化算法進(jìn)行求解時(shí)，需根據(jù)錐優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)形式對模型做相應(yīng)的變換處理，使之滿足對于線性目標(biāo)函數(shù)和凸錐搜索空間的要求。首先，根據(jù)式（2）的數(shù)學(xué)描述，通過變量替換的方式實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)（1）的線性化，即利用 Xi、Yij、Zij將優(yōu)化定容模型中 Vi、Vj、θij乘積的非線性形式進(jìn)行變量替換[16]

變量替換后，非線性目標(biāo)函數(shù)（1）變換為如式（13）所示的線性形式。

與此同時(shí)，含 Vi、Vj、θij的約束條件（2）～（5）相應(yīng)地變換為

由式（12）可發(fā)現(xiàn)，替換后的變量自然滿足式（18）的等式約束，式（13）～式（17）所形成的約束條件與原問題的等價(jià)。其中，式（13）滿足錐優(yōu)化方法對目標(biāo)函數(shù)的線性要求，式（14）～式（17）滿足線性約束條件的要求。式（18）剛好可使得電壓決策變量構(gòu)成旋轉(zhuǎn)錐的笛卡爾乘積形式，滿足搜索空間在凸錐的范圍內(nèi)。對此模型，在采用較成熟的求解工具進(jìn)行求解時(shí)，需將式（18）修改為

這一處理雖擴(kuò)大了解的搜索空間，但并不改變解的最優(yōu)性。這一點(diǎn)可在后續(xù)的優(yōu)化結(jié)果中得到驗(yàn)證。

3.2.2 DG約束條件的錐轉(zhuǎn)化

基本約束條件的錐轉(zhuǎn)化方法[16]僅對系統(tǒng)運(yùn)行約束中的電壓變量Vi、Vj和θij的線性變換進(jìn)行闡述說明，而未涉及分布式電源自身運(yùn)行約束的轉(zhuǎn)換。因此，本文還需對只含決策變量PDGi、QDGi的分布式電源約束條件進(jìn)行錐轉(zhuǎn)化。

通過觀察可知，式（6）為非線性不等式約束，既不滿足錐優(yōu)化模型對于線性約束的要求，也不滿足旋轉(zhuǎn)錐的約束形式。因此，本文提出分布式電源接入容量約束的錐轉(zhuǎn)換公式

式（20）不僅與式（6）等價(jià)，且剛好可使得決策變量PDGi、QDGi構(gòu)成旋轉(zhuǎn)錐的笛卡爾乘積形式，滿足搜索空間在凸錐的范圍內(nèi)。而式（7）～式（9）為線性等式/不等式約束，滿足錐優(yōu)化算法中對線性約束條件的要求，無需進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

因此，式（7）～式（9）及式（12）～式（20）從經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的角度出發(fā)，綜合考慮分布式電源無功輸 出 特 性 ， 構(gòu) 成 了 以 Xi、Xj、 Yij、Zij、PDGi、QDGi為決策變量的分布式電源優(yōu)化配置的錐優(yōu)化模型。

4 分析與驗(yàn)證

本文采用Mosek數(shù)學(xué)工具在IEEE 33節(jié)點(diǎn)算例上對上述錐優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換方法的有效性進(jìn)行測試驗(yàn)證，如下圖所示。首先，針對錐優(yōu)化算法求解潮流的正確性進(jìn)行驗(yàn)證；然后，對不同 DG接入情況下的錐優(yōu)化算法的尋優(yōu)能力及收斂特性進(jìn)行測試并與 PS、SA算法進(jìn)行對比。最后，基于網(wǎng)損靈敏度方法[21]進(jìn)行選址，分析了不同滲透率、不同功率因數(shù)下的DG配置方案對配電系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的優(yōu)化作用。

圖 IEEE 33配電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig. The structure of IEEE 33 case

4.1 錐優(yōu)化算法驗(yàn)證

錐優(yōu)化算法可在優(yōu)化分布式電源容量的同時(shí)對系統(tǒng)的潮流狀態(tài)進(jìn)行求解。為驗(yàn)證錐優(yōu)化算法求解潮流的正確性，采用美國電科院（EPRI）研發(fā)的配電網(wǎng)仿真平臺OpenDSS作為檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，將二者的潮流計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，具體數(shù)據(jù)詳見表1。

表1 錐優(yōu)化算法與OpenDSS的潮流結(jié)果對比Tab.1 Comparison of power flow results between CP algorithm and OpenDSS

由表1可知，二者的電壓計(jì)算結(jié)果十分相近，最大偏差量為 0.000 93。可見，錐優(yōu)化算法能夠精確地實(shí)現(xiàn)潮流求解，而潮流結(jié)果的一致性也驗(yàn)證了將式（18）擴(kuò)大為式（19）并未改變原問題的解。另外，與OpenDSS相比CP算法的電壓計(jì)算結(jié)果略低，這并非二者進(jìn)行潮流計(jì)算的收斂精度不同，而是仿真工具內(nèi)置的數(shù)值計(jì)算精度不同，在數(shù)據(jù)寫入讀出過程中小數(shù)位的取舍所致。所以，在計(jì)算需要各節(jié)點(diǎn)電壓、支路電流不斷加和的參量（如網(wǎng)損）時(shí)，二者的計(jì)算結(jié)果則會因?yàn)閱蝹€(gè)小偏差的逐漸累積體現(xiàn)為更大的偏差。

在優(yōu)化搜索方面，錐優(yōu)化算法通過對優(yōu)化模型進(jìn)行線性化處理，將決策變量的搜索空間限制為凸錐，以大幅度縮減尋優(yōu)范圍來提高優(yōu)化效率。為進(jìn)一步驗(yàn)證上述錐轉(zhuǎn)化模型的正確性及錐優(yōu)化算法的高效性，將 CP與模式搜索法及模擬退火法進(jìn)行比較（二者均采用OpenDSS計(jì)算潮流），隨機(jī)選取分布式電源的接入位置，針對不同的DG個(gè)數(shù)及滲透率水平分別對3種算法進(jìn)行100次測試，統(tǒng)計(jì)結(jié)果詳見表2。

表2 錐優(yōu)化算法收斂特性測試結(jié)果Tab.2 Comparison of convergence for the CP, PS and SA algorithm

表2所示測試結(jié)果表明，與模式搜索法及模擬退火法相比，錐優(yōu)化算法大幅度提高了搜索過程的求解速度，并且在解的最優(yōu)性上具有很強(qiáng)的穩(wěn)定性。

首先，最優(yōu)解概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示不同DG接入情況下，CP算法的全局尋優(yōu)概率均為100%，PS、SA算法的尋優(yōu)能力則隨決策變量的增多而有所降低，且 SA的不確定性尤為顯著，然而，二者目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值和平均值相差甚小，可見此兩種算法雖然不能保證解的最優(yōu)性，但其優(yōu)化所得的次優(yōu)解足以接近最優(yōu)解。由此可知，錐優(yōu)化算法通過對原優(yōu)化問題的錐轉(zhuǎn)化，避免了SA、PS算法陷入局部極值的情況，能夠保證解的全局最優(yōu)性。其次，計(jì)算時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，CP算法的運(yùn)行時(shí)間均在 1s以內(nèi)，計(jì)算時(shí)間不隨決策變量的增多而急劇增長，而 PS、SA算法的計(jì)算時(shí)間則隨優(yōu)化維數(shù)的升高而增長，其中 PS算法運(yùn)行時(shí)間的增長更為突出。可見，對于大規(guī)模系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)，PS、SA的計(jì)算量問題將使其可實(shí)現(xiàn)性受到制約，與之相反，PC計(jì)算速度的高效性將更加明顯。最后，PS、SA算法的最優(yōu)性、求解效率和收斂特性往往取決于初始可行解、控制量的選擇，應(yīng)用前需根據(jù)大量測試經(jīng)驗(yàn)來設(shè)置相應(yīng)參數(shù)，即一旦問題規(guī)模有所改變控制量就需重新選取，而CP算法則無此問題。因此，錐優(yōu)化算法在計(jì)算速度、收斂特性及全局最優(yōu)性上顯出極大優(yōu)勢。需要注意，PS和SA的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值雖小于錐優(yōu)化方法，但這并非 CP算法未搜索到最優(yōu)方案，而是由數(shù)學(xué)仿真工具內(nèi)置數(shù)值計(jì)算精度所致，三者的最優(yōu)結(jié)果實(shí)則是一致的。

綜上所述，將錐優(yōu)化算法應(yīng)用于分布式電源優(yōu)化配置問題中，不僅能實(shí)現(xiàn)問題的快速、有效求解，還能保證所求解的最優(yōu)性。

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值信息采用網(wǎng)損靈敏度分析法[21]進(jìn)行選址，選取12、14、18、30、33為DG的接入節(jié)點(diǎn)，將不同DG接入滲透率水平、不同功率因數(shù)下的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行對比，結(jié)果見表3。

表3 不同滲透率、不同功率因數(shù)下的系統(tǒng)有功損耗Tab.3 Comparison of loss under different scenarios

由表3所示的有功損耗對比結(jié)果可見，在保證系統(tǒng)安全可靠運(yùn)行的前提下，分布式電源的降損作用隨滲透率的增大而愈加顯著。并且，相對于增加有功滲透率接入水平，通過調(diào)節(jié)分布式電源的無功出力對系統(tǒng)的降損效果更為顯著。因此，在DG優(yōu)化定容問題上，應(yīng)綜合考慮分布式電源的無功輸出特性，將無功出力同樣作為優(yōu)化對象，在促進(jìn)系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)高效運(yùn)行的同時(shí)進(jìn)一步發(fā)揮了 DG的潛在效益。另一方面，上述優(yōu)化結(jié)果也一并驗(yàn)證了通過錐優(yōu)化方法所轉(zhuǎn)化的DG優(yōu)化定容模型的合理性和有效性。

5 結(jié)論

隨著電力產(chǎn)業(yè)日臻朝著環(huán)境友好、可持續(xù)發(fā)展的方向邁進(jìn)，加速綠色分布式能源的大規(guī)模并網(wǎng)應(yīng)用將成為發(fā)展趨勢。分布式電源數(shù)量的急劇增加使其優(yōu)化規(guī)劃問題的維數(shù)迅速擴(kuò)大，因而計(jì)算量隨之呈現(xiàn)爆炸式增長。因此，快速、準(zhǔn)確、高效的優(yōu)化算法將是分布式電源優(yōu)化配置的研究重點(diǎn)之一。為此，本文應(yīng)用錐優(yōu)化方法對分布式電源優(yōu)化配置問題進(jìn)行求解。與傳統(tǒng)的智能化算法相比，錐優(yōu)化方法通過對模型的轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一求解，既可實(shí)現(xiàn)多個(gè)分布式電源的同時(shí)優(yōu)化，又可避免大量的迭代計(jì)算和繁瑣的測試，極大地提高了計(jì)算效率，并能保證解的全局最優(yōu)性。由于其兼并快速收斂和最優(yōu)求解的特性，錐優(yōu)化方法也將為大規(guī)模配電網(wǎng)的綜合規(guī)劃優(yōu)化、運(yùn)行管理優(yōu)化以及經(jīng)濟(jì)環(huán)保效益優(yōu)化等問題的求解提供一個(gè)強(qiáng)有力的支持工具。

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