基于低秩矩陣填充的XLPE電力電纜壽命評估

許 剛 談元鵬 黃 琳

（華北電力大學電氣與電子工程學院 北京 102206）

1 引言

近年來，隨著國家電網建設的持續發展，交聯聚乙烯（Cross-Linked Polyethylene，XLPE）電力電纜被廣泛應用于城市電網建設中。與油紙絕緣電纜相比，XLPE電力電纜具有生產周期短、安裝工藝簡便、抗高溫、防腐蝕等優點。然而，隨著運行時間的推移，早期投運的XLPE電力電纜由于受熱老化、局部放電、電樹枝、水樹枝和機械損傷等因素的影響發生了絕緣老化[1,2]，導致電纜提前接近原設計使用壽命的終點，給電網的安全運行帶來重大隱患。若無選擇地對所有電纜進行檢測，這將會是一個費時費力、耗資巨大的工程[3]。因此，對在役XLPE電力電纜進行壽命評估，預測電纜的剩余壽命已成為當前最重要的課題之一。

目前，國內外對 XLPE電力電纜的壽命評估方法大多偏向于對單一檢測指標的分析。通過分析加速熱老化拉伸斷裂實驗[4]、加速熱延伸實驗[5]、局放測量實驗[6,7]、等溫松弛電流實驗[8]、差示掃描量熱實驗[9]、分步加壓擊穿實驗[10]及直流泄漏電流實驗[11]等電纜檢測實驗所測得的實驗數據與電纜壽命之間的線性或非線性關系，實現對XLPE電力電纜定性或定量的壽命評估。基于單一檢測指標的電纜壽命評估方法的研究，也有學者提出考慮多種檢測指標的電纜壽命綜合評估方法來提高壽命評估的精度，如模糊綜合評定法[12]及神經網絡法[13]等。然而，在現實生產實踐中，由于各廠家與檢測機構對電纜的檢測條件不同，相關檢測設備較為復雜昂貴，導致大多數電纜樣本的檢測指標類別并非完全相同。由于上述傳統的電纜壽命綜合評估方法要求電纜樣本之間的檢測指標類別相同，這就導致來自不同廠家與檢測機構的部分樣本與檢測指標得不到有效利用，對現有的XLPE電力電纜檢測資源造成了極大浪費。同時，這種小樣本情況也為XLPE電力電纜壽命評估帶來巨大挑戰，使得傳統的電纜壽命評估方法效果不佳甚至失效。

為應對傳統算法所不能處理的電纜樣本檢測指標類別不統一導致的小樣本壽命評估問題，本文提出一種基于低秩矩陣填充技術，并適用于部分電纜檢測指標缺失的XLPE電力電纜壽命評估方法。該方法能有效利用現有的電纜檢測指標，在對缺失的電纜檢測指標信息進行恢復的同時，實現對目標電纜樣本精確、定量的壽命綜合評估。

2 基于低秩矩陣填充的電纜壽命評估方法

2.1 電纜壽命評估問題重述

在對電纜樣本壽命進行評估時，設電纜樣本的絕緣狀態檢測指標向量與其壽命yi∈R所構成有序對存在映射T:RM→R，使得yi=T(xi)，其中M為電纜樣本的絕緣狀態檢測指標的類別數量，N為廠家與檢測機構的數量，，fj為第j項電纜檢測指標的數據預處理函數，為對第i個電纜樣本的第j項檢測指標的第k項檢測數據。傳統的電纜壽命綜合評估正是從已有數據中分析、挖掘這一映射關系后，應用該映射關系對目標電纜樣本進行壽命評估的。但正如上文中所述，在現實生產實踐中，大多數電纜樣本的檢測指標類別并非完全相同，即電纜檢測指標信息是不完整的、缺失的，如圖1所示。

圖1 電纜檢測指標信息缺失示意圖Fig.1 Schematic diagram of missing information on cable test categories

圖1所示表格中的行坐標為檢測指標類型，列坐標為廠家類別，帶“？”標記的白色格子表示因廠家不能檢測相應指標而導致的數據缺失。傳統的電纜壽命綜合評估方法使用所有廠家共同具有的檢測指標類別（如圖1中粗線框所示的指標1、指標3、指標4及指標5等）進行壽命評估，余下的檢測指標（如圖1中指標2、指標M-1及指標M）的信息將被丟棄。然而，若能利用這部分被丟棄的信息對缺失信息進行恢復，則可能達成更高精度的壽命評估。若將缺失的指標信息xij的值標記為0，則可得到一個包含所有樣本的所有指標信息的受損矩陣，而缺失信息的恢復則可看作是該受損矩陣的填充問題。值得注意的是，若電纜樣本的絕緣狀態檢測指標與壽命滿足線性相關性，則電纜樣本信息所構成的受損矩陣可被看做一個受損的低秩矩陣，其填充問題可由低秩矩陣填充技術進行求解。更進一步的，參考文獻[14,15]，在應用低秩矩陣填充技術對缺失信息進行恢復的同時，也可實現對目標電纜的壽命評估。

2.2 低秩矩陣填充原理

矩陣填充技術（Matrix Completion，MC）主要研究了如何通過已知的部分矩陣元素來恢復整個矩陣這一問題。一般來說，滿足要求的矩陣有無窮多個。然而，若原始信息矩陣D是一個受損的低秩矩陣，則可通過優化方法將其唯一分解為一個完好的低秩矩陣A與一個稀疏的噪聲矩陣E之和，從而實現對原始信息矩陣D的精確恢復。對該受損矩陣D進行恢復的優化問題可表述如下

式中，μ為不可行點懲罰因子，μ＞0。參考文獻[18]，則可通過迭代的方式對增廣拉格朗日乘式優化問題進行求解（詳見算法1）。

2.3 基于低秩矩陣填充的電纜壽命預測模型

若所研究的電纜樣本的絕緣狀態檢測指標的總類別為M，則對于已知壽命的N1個電纜樣本（即訓練集）的絕緣狀態檢測指標向量RM∈可建立訓練集檢測指標矩陣，i=1,2,…,N1。由于不同電纜樣本所測試的絕緣狀態檢測指標并不一定完全相同，易知訓練集檢測指標矩陣Xtr中存在若干零元素。將N1個電纜樣本的壽命yi∈R寫為一行，則可得到訓練集壽命矩陣。同理，對于需要進行壽命估計的N2個電纜樣本（即測試集）的絕緣狀態檢測指標向量（zi1,zi2,...,ziM）T∈RM，也可建立測試集檢測指標矩陣，i=1,2,…,N2。同樣地，測試集檢測指標矩陣Xte也會存在若干零元素。建立零矩陣作為測試集壽命矩陣。則原始信息矩陣D可記為

將原始信息矩陣D中非零元素的位置記為Ω。則部分檢測指標缺失的電纜壽命預測問題就轉化為2.2節中提到的受損矩陣恢復問題，可通過對式（3）所示的優化問題的求解求得N2個電纜樣本的壽命進行評估。具體算法步驟如下所示。

輸入訓練集的絕緣狀態檢測指標與壽命iR∈y，i=1,2,…,N1；測試集的絕緣狀態檢測指標向量，i=1,2,…,N2；懲罰因子λ＞0；不可行點懲罰因子μ＞0；收縮步長ρ；收斂閾值ε；并初始化。

（2）為實現對原始信息矩陣D的填充修復，依照以下步驟實施，直到收斂：

通過特征值分解和算子收縮方法求解

輸出測試集電纜樣本的預測壽命AΛ。

值得注意的是，只有當電纜樣本所測試的絕緣狀態檢測指標與老化時間或剩余壽命滿足線性相關性時，樣本之間絕緣狀態檢測指標向量才能表現出顯著的相關性，即原始信息矩陣才能被認定為受損的低秩矩陣。為保證絕緣狀態檢測指標與老化時間或剩余壽命滿足線性相關性，本文還需要在利用MC-LP算法進行壽命預測之前，對電纜檢測數據做如下所示的預處理。

3 電纜檢測實驗數據的預處理方法

本文分別討論了對于加速熱老化拉伸斷裂實驗[4]、加速熱延伸實驗[5]、差示掃描量熱實驗[9]、分步加壓擊穿實驗[10]及直流泄漏電流實驗[11]等 5種電纜檢測實驗所測得的檢測數據的預處理方法。通過對電纜檢測實驗所測得的檢測數據進行相應的預處理，可使得若目標試樣的電纜檢測指標能被N1個訓練樣本的電纜檢測指標，(i=1,2,…,N1)線性表示為

時，目標試樣的相對老化時間sR能被N1個訓練樣本的相對老化時間(i=1,2,…,N1)線性表示為，即保證了絕緣狀態檢測指標與相對老化時間滿足線性相關性。由于在MC-LP算法中可通過添加全1行向量的方式來保證，因而只需相對老化時間與電纜檢測數據xij之間滿足即可。

3.1 加速熱老化拉伸斷裂實驗

電纜的溫度場與電場之間存在近似的線性關系[19]，影響著電纜的老化速率與其相對老化壽命。因而，在通過絕緣材料加速熱老化的方式對電纜壽命進行評估時，常會采用在 Arrhenius公式基礎上的熱壽命方程進行分析[4]。熱壽命方程式（5）為

式中，tT為電纜絕緣材料在老化溫度T下的使用壽命；E為絕緣材料的活化能，kJ/mol；R為摩爾氣體常數，數值為8.314J/(mol·K)；B為與絕緣材料性能相關的常數。可將式（5）記為

式中，a、b分別為與目標電纜類型絕緣材料及該類型電纜絕緣材料失效標準有關的常系數，a=E/R，b=B。因而，在固定的老化溫度T下，電纜絕緣材料的使用壽命為。通過呈等差級數的熱老化周期對同類型新電纜絕緣材料進行熱老化，并測得不同老化時間下電纜試樣的斷裂伸長率信息。根據最小二乘原理及電纜試樣的斷裂伸長率信息，也可求得式（6）中a與b的值，記為與。則在老化溫度T下電纜絕緣材料的使用壽命的值為。

若實驗中以斷裂伸長率作為壽命評估特征，將XLPE電力電纜絕緣材料的啞鈴試件放置在不同的溫度下加速熱老化，并對不同老化時間下取出的試樣進行機械拉伸實驗。在固定的老化溫度T下，依據文獻[4]的數據結果，設斷裂伸長率p與老化時間sT之間呈線性關系

式中，kT、cT為與老化溫度T相關的系數。若令老化溫度T下電纜絕緣材料的老化時間sT與使用壽命tT做比較，則可得到與老化溫度T無關的相對老化時間為

式中，k'、c'為與老化溫度T無關的常系數，因而，斷裂伸長率p與相對老化時間sR滿足線性相關性。

3.2 加速熱延伸實驗

XLPE電纜絕緣材料的交聯程度一般均以熱延伸這一技術參數來間接衡量，因而，XLPE電纜絕緣材料的熱延伸率可在很大程度上反映出電纜的使用壽命，尤其是當電纜在高溫下使用時就顯得更加重要。若實驗中以熱延伸率作為壽命評估特征，則需對比新電纜試件和老化電纜試件的負載伸長率及冷卻后的永久伸長率，以判斷XLPE電纜的老化程度。

將XLPE電纜絕緣材料的啞鈴試件放置在烘箱中加速熱老化，并對不同老化時間下取出的試樣進行負載伸長率及冷卻后永久伸長率的測量。試件應懸掛在烘箱中，試件下端添加重物以提供 20N/cm2的拉力。當烘箱溫度迅速回升至規定溫度200℃時，令試件在烘箱中保持加熱狀態15min后，測量啞鈴試件中部標記線間的距離并計算負載伸長率ηh。從試件上解除拉力并將試件留在烘箱中恢復5min，并從烘箱中取出試件使之慢慢冷卻至室溫，再次測量啞鈴試件中部標記線間的距離并計算永久伸長率ηc。在固定的老化溫度T下，本文使用山東某電纜有限公司的出廠電纜測試數據，見表1。

表1 110kV XLPE電力電纜熱延伸檢測指標Tab.1 Hot set test indicators of 110kV XLPE power cable

設負載伸長率ηh及永久伸長率ηc分別與老化時間sT之間呈線性關系

式中，kh、vh、kc、vc均為與老化溫度T無關的常系數，，。因而，負載伸長率ηh及永久伸長率ηc分別與相對老化時間滿足線性相關性。

3.3 差示掃描量熱實驗

差示掃描量熱法（Differential Scanning Calorimetry，DSC）是在程序控制溫度下，測量輸給目標樣本和參比物的功率差與溫度關系的一種技術。DSC試驗中，在目標試樣和參比物試樣容器下裝有兩組補償加熱絲，當試樣在加熱過程中由于熱效應與參比物之間出現溫差ΔT時，通過差熱放大電路和差動熱量補償放大器，使流入補償電熱絲的電流發生變化。當目標試樣吸熱時，補償放大器使試樣一邊的電流立即增大；反之，當目標試樣放熱時則使參比物試樣一邊的電流增大，直到兩邊熱量平衡，溫差ΔT消失為止。換而言之，目標試樣在熱效應時產生的熱量變化因及時輸入電功率而得到了補償，因而，實驗記錄的應是目標試樣和參比物試樣下面兩只電熱補償的熱功率之差的峰值出現時間。若升溫速率恒定，實驗就僅需考慮出峰溫度T*與老化時間s之間的對應關系即可。同樣地，對XLPE電力電纜絕緣材料的試樣放置在不同的溫度下加速熱老化，并對不同老化時間下取出的試樣進行DSC測量。

在固定的老化溫度T下，依據文獻[9]的數據結果，設出峰溫度T*與老化時間sT之間呈線性關系

式中，kT、cT為與老化溫度T相關的系數。若令老化溫度T下電纜絕緣材料的老化時間sT與使用壽命tT做比，則可得到與老化溫度T無關的相對老化時間sR∈[0,1]為

式中，k'、c'為與老化溫度T無關的常系數，。因而，出峰溫度T*與相對老化時間sR滿足線性相關性。

3.4 分步加壓擊穿實驗

分步加壓擊穿法進行電纜的壽命評估是指針對XLPE電力電纜壽命指數的研究，從經驗壽命方程出發，通過采用近似簡化法等獲取壽命指數的數值，進而獲得電纜的壽命。XLPE電纜的壽命方程[10]為

式中，U為電纜上所施加的電壓等級；n為生命時間指數；t為電纜絕緣材料的使用壽命；c為常系數。實驗采用分步加壓法，相鄰電壓等級的比值為q=1.1。將試樣分為兩個實驗組，分別在每個電壓等級持續t1=1min和t2=20min，則有

式中，P1、P2分別為兩組達到擊穿電壓等級所需的級數；、分別為兩組在最后一級達到擊穿電壓等級的加壓時間。若設==0，經過一系列的數學推導可得出n值的計算公式為

依照以上實驗方法，首先，對新出廠的 XLPE電纜樣本進行分步加壓擊穿實驗，測得新電纜樣本的生命時間指數n0，進而根據電纜在額定電壓等級U0下的設計使用壽命，計算得出。其次，對目標XLPE電纜樣本進行分步加壓擊穿實驗，測得老化電纜樣本的生命時間指數，則可根據電纜的真實工作電壓等級計算得出電纜的相對老化時間sR∈[0,1]為

式中，P1、P2分別為兩組新電纜樣本達到擊穿電壓等級所需的級數；、分別為兩組老化電纜樣本達到擊穿電壓等級所需的級數。因而，與相對老化時間sR滿足線性相關性。

3.5 直流泄漏電流實驗

直流泄漏電流實驗是通過在長度為l的電纜導體內芯上施加直流電壓Ui，測試經過絕緣層到電纜外部包覆的金屬屏蔽層的泄漏電流IG，從而計算電纜的單位長度絕緣電阻值R=RXl=Ui(IG·l)。實驗中，從目標電纜上截取一段長度為l的電纜作為試樣，并在試樣的中央部分包覆屏蔽層。屏蔽層可由金屬編織或金屬帶構成，其包覆的有效長度至少為1m，在有效長度的兩端留出1mm的間隙，再綁扎5mm寬的金屬絲作為保護環。之后，將試樣彎成直徑約為15d，（d為絕緣線芯的外徑）但至少為0.2m的圓圈。試樣應先置于試驗溫度T的空氣烘箱中持續加溫2h，再利用電壓-電流法測電纜導體內芯和屏蔽層之間的絕緣電阻，原理如圖2所示。此外，為使測量所得的絕緣電阻值基本穩定，進行電壓-電流法測試時的充電時間應不少于1min。

圖2 電壓-電流法測試原理圖AD—高阻抗直流放大器E—直流電源 G—檢流計或微安表Rj—直流放大器輸入電阻Rx—試樣絕緣電阻Us—交流輸入電源電壓Ur—直流輸出電壓Uo—放大器輸入電阻壓降 V—直流電壓表Fig.2 Schematic diagram of current-voltage test

在固定的老化溫度T下，依據文獻[11]的數據結果，設單位長度絕緣電阻R與老化時間sT之間呈線性關系

式中，kT、cT為與老化溫度T相關的系數。若令老化溫度T下的電纜絕緣材料的老化時間sT與使用壽命tT做比，則可得到與老化溫度T無關的相對老化時間sR∈[0,1]為

式中，k'、c'為與老化溫度T無關的常系數，。因而，單位長度絕緣電阻R也與相對老化時間sR滿足線性相關性。

4 仿真實驗與結果分析

本文所有仿真實驗均使用Core-TM i3-M330@2.13GHz處理器在Matlab 2012a環境下進行。MC-LP算法的懲罰因子取λ=0.15，不可行點懲罰因子取μ=0.85，收縮步長為ρ=0.995，收斂閾值為ε=0.05。本文實驗所采用的22kV XLPE電力電纜樣本的真實工作電壓等級為22kV，工作環境溫度T為90℃，設計使用壽命tT為30年。式（6）所示的熱壽命方程中常系數a與b的值分別為=1424.50，=-9.98。仿真實驗使用了22kV XLPE電力電纜樣本在加速熱老化拉伸斷裂實驗、加速熱延伸實驗、差示掃描量熱實驗、分步加壓擊穿實驗及直流泄漏電流實驗等5種電纜檢測實驗中測得的實驗數據，并以山東某電纜有限公司的真實測試數據（見表2）為中心點，依照高斯分布生成45個訓練集樣本、15個測試集樣本進行試驗。

將單個訓練樣本與測試樣本的斷裂伸長率、負載伸長率、永久伸長率、DSC出峰溫度、擊穿實驗折算指標及單位長度絕緣電阻等6個絕緣狀態檢測指標的數值均作為一個列向量形成一個矩陣，并隨機對其中的50個元素強制賦值為0，且使每列上的零元素的數量不超過2，則可得到一個部分檢測指標缺失的電纜絕緣狀態檢測指標信息矩陣(Xtr,Xte)∈R6×60。將訓練樣本的相對老化時間寫為一個行向量Ytr∈R1×45，并生成一個全零的行向量Ote∈R1×15來對測試樣本的相對老化時間進行評估。對原始信息矩陣D添加全1行向量1T∈R1×60來保證絕緣狀態檢測指標與相對老化時間滿足線性相關，則可得到原始信息矩陣。應用MC-LP算法對原始信息矩陣D進行求解，可得測試集電纜樣本的相對老化時間。依據測試集中第i個電纜樣本的真實投運時間，易知其壽命應為。

表2 22kV XLPE電力電纜絕緣狀態檢測指標Tab.2 Insulating state test indicators of 22kV XLPE power cable

為避免實驗結果的隨機性，本文應用 MC-LP算法及神經網絡誤差反向傳播（Error Back Propagation，BP）算法重復進行了10次電纜壽命評估對照實驗。實驗共設立了 3個對照組，分別為應用 BP算法、MC-LP算法對帶有數據缺失的原始信息進行壽命評估（BP/MC-LP with original data）及應用BP算法對完整信息進行壽命評估（BP with fixed data），并計算了測試集樣本的相對老化時間誤差百分比的平均值，如圖3所示。

由圖3可知，3個對照組（BP/MC-LP with original data，BP with fixed data）的平均相對老化時間誤差分別在15.300%、2.255%及2.865%左右波動。易知，應用 MC-LP算法對帶有數據缺失的原始信息進行壽命評估的評估效果遠勝于 BP算法，同時也優于應用BP算法對完整信息進行壽命評估的評估效果。由于實驗所采用的 22kV XLPE電力電纜樣本的設計使用壽命tT為 30a，因而電纜樣本真實壽命的預測誤差在0.68a左右，相比 30a的設計壽命而言是可以接受的。

圖3 測試集樣本的平均相對老化時間誤差Fig.3 Test error of average relative aging time

同時，本文考慮了3個對照組（BP/MC-LP with original data，BP with fixed data）的電纜壽命評估實驗所得的相對老化時間的方差。3個對照組的10次電纜壽命評估對照實驗的相對老化時間方差分別為15.300 0、5.369 3及8.250 8。這表明，在對絕緣狀態檢測指標有不同缺失情況的樣本進行壽命評估的過程中，MC-LP算法能保持較之于BP算法更高的算法穩定性。

此外，本文還討論了測試集誤差與樣本數量的關系，以討論本文所提出的MC-LP算法對不同樣本數量的算法穩定性。采用MC-LP with original data及BP with fixed data兩個對照組，保持訓練集樣本與測試集樣本的數量比為 3:1不變，增大總樣本數量，可得測試集樣本的相對老化時間誤差百分比的平均值，如圖4所示。

圖4 測試集誤差與樣本數量的關系Fig.4 Relationship between test error and sample number

由圖4可知，當樣本數量非常小以至于不足以體現電纜絕緣狀態檢測數據的內在規律時，MC-LP with original data及BP with fixed data兩個對照組的實驗結果均不理想，且本文提出的MC-LP算法的評估效果明顯優于BP算法。而當樣本數量充分大時，兩個對照組的計算所得誤差百分比的平均值逐漸下降并趨于穩定。此時，樣本數量對兩個對照組的實驗結果不再造成顯著影響。因而，本文提出的MC-LP算法不僅適用于小樣本評估問題，在樣本較多時也能保證令人滿意的評估效果。

綜上所述，本文所提出的MC-LP算法作為一種XLPE電纜壽命的綜合評估方法，其電纜壽命的評估結果是精確且穩定的，且評估效果勝于傳統的神經網絡BP算法。

5 結論

本文所提出的基于低秩矩陣填充的XLPE電力電纜壽命評估方法通過對斷裂伸長率、負載伸長率、永久伸長率、DSC出峰溫度、擊穿實驗折算指標及單位長度絕緣電阻等6個絕緣狀態檢測指標進行相應預處理，保證了其與相對老化時間之間的線性相關性。進而，對帶有缺失的電纜信息矩陣進行低秩矩陣填充，實現對目標電纜準確且穩定的壽命評估。實驗結果表明，該方法可有效克服樣本少、信息缺失等困難，在評估精度上勝于傳統的基于神經網絡的電纜壽命綜合評估方法，為電力電纜壽命評估提供了一種新思路。

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