最優控制經典方法

邊疆

摘 要：最優控制理論是現代控制理論中的經典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨有的特性，優點缺點和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優控制理論已經廣泛地融入到了現代社會中，在將來仍有廣闊的發展前景。

關鍵詞：最優控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀50年代初，就開始了對最短時間控制問題的研究，形成了時間最優控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術的發展，導彈、衛星等復雜系統提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運行可靠性要高等嚴格的要求，在工程上刺激了最優控制理論的發展，逐步形成了一套較為完整的最優控制理論體系。

該文將介紹最優控制理論中的經典方法。

1 變分法

一個經典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B[1]。任務是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時間達到最小。

這是一個求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續可微，在點達到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對于端點不固定的問題采用橫截條件進行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應有連續的二階導數，則至少應是二次連續可微的。如果想得到是極大還是極小的結論還必須有充分條件進行泛函二階變分的求解與分析。

若對于泛函極值問題在上述情況下存在端點不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對于有等式約束的問題，一般為含有狀態空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉變為無條件約束的問題。并利用歐拉方程推導出協態方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當采用變分法求解最優控制問題時，存在一個約束即認為控制向量是不受限制的。但是在實際的系統中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優控制問題，其中著名和經典的例子就是時間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態調節器，輸出調節器，跟蹤調節器等。同樣極小值原理還可以應用于離散系統，解決離散系統中的二次型調節器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統的狀態方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點約束和目標泛函如下，

定義Hamilton函數為：

當初始狀態不固定的時候，我們需要引入式（31）；當終端時刻不固定的時候，我們需要引入式（26）；當終端狀態不固定的時候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對與更加一般化的實際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當控制函數不受約束或只受開集性約束條件下，與實際上是等價的。

極小值原理很好地擴大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數U（t）不受約束或只受開集性約束的最優控制問題，而且也可以用來求解控制函數U（t）受到閉集性約束條件的最優控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對控制函數U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優控制問題，如最短的時間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優控制問題中時，變分法，極小值原理是等價等效的。

4 結語

最優控制理論已經潛移默化地深深融入到了現代社會的發展中，在不久的將來仍然有廣闊的發展前景。

參考文獻

[1] 符曦.系統最優化及控制[M].1北京：機械工業出版社，1995：55.endprint

摘 要：最優控制理論是現代控制理論中的經典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨有的特性，優點缺點和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優控制理論已經廣泛地融入到了現代社會中，在將來仍有廣闊的發展前景。

關鍵詞：最優控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀50年代初，就開始了對最短時間控制問題的研究，形成了時間最優控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術的發展，導彈、衛星等復雜系統提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運行可靠性要高等嚴格的要求，在工程上刺激了最優控制理論的發展，逐步形成了一套較為完整的最優控制理論體系。

該文將介紹最優控制理論中的經典方法。

1 變分法

一個經典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B[1]。任務是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時間達到最小。

這是一個求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續可微，在點達到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對于端點不固定的問題采用橫截條件進行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應有連續的二階導數，則至少應是二次連續可微的。如果想得到是極大還是極小的結論還必須有充分條件進行泛函二階變分的求解與分析。

若對于泛函極值問題在上述情況下存在端點不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對于有等式約束的問題，一般為含有狀態空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉變為無條件約束的問題。并利用歐拉方程推導出協態方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當采用變分法求解最優控制問題時，存在一個約束即認為控制向量是不受限制的。但是在實際的系統中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優控制問題，其中著名和經典的例子就是時間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態調節器，輸出調節器，跟蹤調節器等。同樣極小值原理還可以應用于離散系統，解決離散系統中的二次型調節器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統的狀態方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點約束和目標泛函如下，

定義Hamilton函數為：

當初始狀態不固定的時候，我們需要引入式（31）；當終端時刻不固定的時候，我們需要引入式（26）；當終端狀態不固定的時候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對與更加一般化的實際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當控制函數不受約束或只受開集性約束條件下，與實際上是等價的。

極小值原理很好地擴大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數U（t）不受約束或只受開集性約束的最優控制問題，而且也可以用來求解控制函數U（t）受到閉集性約束條件的最優控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對控制函數U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優控制問題，如最短的時間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優控制問題中時，變分法，極小值原理是等價等效的。

4 結語

最優控制理論已經潛移默化地深深融入到了現代社會的發展中，在不久的將來仍然有廣闊的發展前景。

參考文獻

[1] 符曦.系統最優化及控制[M].1北京：機械工業出版社，1995：55.endprint

摘 要：最優控制理論是現代控制理論中的經典。該文論述了其中的基本支柱方法變分法和極小值原理。兩種方法都有自己獨有的特性，優點缺點和適用范圍，可分別用于求解不同種類的問題。最優控制理論已經廣泛地融入到了現代社會中，在將來仍有廣闊的發展前景。

關鍵詞：最優控制理論 變分法 極小值原理。

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）07（b）-0255-02

早在20世紀50年代初，就開始了對最短時間控制問題的研究，形成了時間最優控制理論，其中包含著名的Bang-Bang控制理論；隨后，由于空間技術的發展，導彈、衛星等復雜系統提出了消耗燃料要少，飛行速度要快，運行可靠性要高等嚴格的要求，在工程上刺激了最優控制理論的發展，逐步形成了一套較為完整的最優控制理論體系。

該文將介紹最優控制理論中的經典方法。

1 變分法

一個經典的例子是，曲線上的最速降線問題，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B[1]。任務是在所有可能的曲線中確定一條，使得下降的時間達到最小。

這是一個求取泛函極值的問題。泛函取極值的必要條件是泛函的變分為零。若連續可微，在點達到極值，則泛函在處的變分等于零。

泛函極值問題可以分解為有約束和無約束問題，其中對于端點不固定的問題采用橫截條件進行處理。

無約束問題中，歐拉-拉格朗日方程是變分法的關鍵定理。如果已知一條

曲線，始端末端，則泛函

取到極值必要條件是曲線滿足歐拉方程。

其中應有連續的二階導數，則至少應是二次連續可微的。如果想得到是極大還是極小的結論還必須有充分條件進行泛函二階變分的求解與分析。

若對于泛函極值問題在上述情況下存在端點不固定的情況需要列出額外的橫截條件來求解。

對于有等式約束的問題，一般為含有狀態空間（1-8）的等式約束。變分法

利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密頓函數，見式（1-9）。

這樣就可以將有條件約束的問題轉變為無條件約束的問題。并利用歐拉方程推導出協態方程（1-10）和控制方程（1-11），與狀態方程和橫截條件一起求解泛函極值問題。

2 極小值原理

當采用變分法求解最優控制問題時，存在一個約束即認為控制向量是不受限制的。但是在實際的系統中，不受限制的控制是比較少存在的。因此我們給定。

極小值原理可以用來求解很多最優控制問題，其中著名和經典的例子就是時間控制理論中的Bang-Bang控制，還有如線性二次型問題中的狀態調節器，輸出調節器，跟蹤調節器等。同樣極小值原理還可以應用于離散系統，解決離散系統中的二次型調節器問題。

極小值原理中，一般求解的問題可以給定系統的狀態方程如下所示。

其中是歐幾里得空間的子集，端點約束和目標泛函如下，

定義Hamilton函數為：

當初始狀態不固定的時候，我們需要引入式（31）；當終端時刻不固定的時候，我們需要引入式（26）；當終端狀態不固定的時候我們需要引入式（25）。

3 變分法與極小值原理的比較

變分法比較擅長于求解微分方程或者差分方程所表示的問題，而對與更加一般化的實際問題則更多地用極小值原理的方法來求解。

可以從中觀察出來，當控制函數不受約束或只受開集性約束條件下，與實際上是等價的。

極小值原理很好地擴大了變分法的適用范圍。不僅可以用來求解函數U（t）不受約束或只受開集性約束的最優控制問題，而且也可以用來求解控制函數U（t）受到閉集性約束條件的最優控制問題。這就意味著極小值原理放寬了對控制函數U（t）的要求。

極小值原理可以求解帶有閉域約束的更加一般的最優控制問題，如最短的時間，最快的速度，最佳的利用，最短的路徑等等。

在沒有閉域約束的最優控制問題中時，變分法，極小值原理是等價等效的。

4 結語

最優控制理論已經潛移默化地深深融入到了現代社會的發展中，在不久的將來仍然有廣闊的發展前景。

參考文獻

[1] 符曦.系統最優化及控制[M].1北京：機械工業出版社，1995：55.endprint