如何落實“經歷長方形面積公式的推導過程”？

謝樹樣

一、問題緣起

人教版五上《小數乘法》單元形成性評價中有一道和書本例題一模一樣的試題：學校圖書館的面積是85平方米，用邊長為0.9米的正方形瓷磚鋪地，100塊夠嗎？這個題目全班43人，竟然有16人錯誤，錯誤率高達37.2%。錯誤基本三類：1、0.9×100=90（平方米） 85<90 答：夠。（11人出錯，占錯誤總量的68.75%）2、0.9×4×100=360（平方米） 360>85 答：夠。（3人出錯，占錯誤總量的18.75%）3、其他（2人出錯，占錯誤總量的12.5%）。

錯誤率高的真正原因是什么呢？我對任教的兩個平行班進行了問卷調查。

二、錯例原因調查和分析

為了找到現象背后的真正原因，我就下面5 個問題對任教五年級的兩個平行班學生進行問卷調查。

1.什么是面積？（可以畫圖、舉例或用文字表達）

2.什么是周長？（可以畫圖、舉例或用文字表達）

3.比較下面的圖形，給你認為面積比較大的圖形打“√”，并說說理由？

4.長方形的面積計算公式是長×寬，為什么用這個公式就能得出長方形的面積？

5.小明家有一幅長60 厘米、寬30 厘米的畫。做畫框至少需要準備多長的木條？框里的這幅畫有多大？

關于什么是面積和周長，從本次調查收集的數據來看，學生已經能夠清楚表達、扎實掌握這部分內容，幾乎沒有學生不會表述。第3題比較兩個圖形面積的大小正好驗證了我上面的說法。

關于長方形面積公式的由來錯誤率相當高，兩個平行班只有10 人（約占11.6%）能較為清楚、準確地說明長方形面積計算公式的來歷。說明教學的低效，甚至無效。反觀第5題，幾乎所有的學生都是正確的。這說明我們的教學還停留在技能訓練的層面上，學生只知其然，不知所以然。大部分學生對長方形的面積計算公式僅停留在機械套用的層面。

通過以上調研，我們認為：主要原因不是學生對面積本質意義的理解存在問題，而是不能在面積本質意義上來理解長方形面積公式的問題。那如何補救呢？要解決這個問題，還得從三下《長方形、正方形面積計算》一課開始思考。

三、以往教學回顧和反思

《長方形、正方形面積計算》教學設計片段：

（一）創設情境，引入新課。呈現學校操場的圖片并問：要想知道操場的面積有多大，該怎么辦呢？這節課我們就來研究“長方形、正方形面積的計算”。（板書課題）

（二）動手操作，提出猜想。師：請同學們拿出學具袋中的藍色長方形紙及若干個小正方形，思考怎樣測量出這張藍色長方形紙的面積？

1.小組討論測量方法 2.動手測量3.全班匯報，交流

（明確：用乘法計算比一一計數更簡便）。

4.引導發現：長方形長與每行正方形個數，長方形寬與每列正方形個數之間的關系。

5.猜測：長方形的面積與什么有關系呢？（長方形的面積=長×寬）

（三）合作探究，驗證猜想。師：是不是所有長方形的面積都等于長×寬呢？我們來驗證一下。

1.合作拼擺，完成表格。利用學具袋中的正方形，任意拼成三個長方形，填表格：

長/厘米

寬/厘米

面積/平方厘米

2.認真觀察，發現規律。板書：長方形的面積=長×寬

……

四、補救教學設計和反思

活動一、數格子

1.格子圖中圖形的面積分別是多少？（每小格表示1 平方厘米）

A、學生獨立練習并個別匯報。B、追問面積是怎樣數出來的？

活動二、在格子紙上畫面積是24 平方厘米長方形，你能畫幾個？（每小格表示1 平方厘米）

A、學生在格子紙上操作后，交流出不同畫法。B、師生評價，引導得出每行個數×行數。

活動三：在白紙上面積是24 平方厘米的長方形。

A、學生獨立練習B、反饋學不同的畫法，組織質疑，使學生明白：直接畫出長方形的長和寬比較方便。C、追問：為什么直接畫長和寬是幾厘米，就能知道它的面積呢？D、歸納：長方形的面積可以怎樣計算呢？

五、長方形面積公式推導教學的啟示

1.關注數方格經驗的積累。長方形面積公式推導中需要“算面積就是算圖形所包含的面積單位的個數”這一思想的支撐，且能否運用數方格的方法求面積是公式推導是否成功的前提。所以，只有關注數方格經驗的積累，才有可能調度出這些經驗來解決這一問題。2.關注多元學習方式的開展。“面積公式推導”是落實過程性目標的教學，它的落實需要引導學生采用獨立思考、動手操作、小組交流等多元學習方式進行學習，從而完成長方形面積公式推導的建構。一維層面的“長度”與二維層面的“面積單位的個數”的對應性；看算式想圖形，看圖形用算式表示的數形結合，都需要通過動手操作或空間想象等方式來實現。只有當學生對平面圖形外在形式的變與面積公式內在本質的不變之間的關系有了清晰理解和把握之后，其對面積公式推導這一過程性目標的理解才是整體的、內在的。3.關注數學思想方法的滲透。面積公式作為一種高度抽象的數學模型，它的建構過程是非常復雜的，當中蘊含著豐富的數學思想方法。“長×寬”需要通過對“長度”與“面積單位的個數”之間的對應關系，來理解面積公式的推導過程；其他平面圖形的面積公式推導時，轉化思想成為探究過程的主導思想。正是這一系列的數學思想方法在探究公式中的應用，使數學模型的建構變得充分而扎實。因此，在落實長方形的面積計算推導這一過程性目標時，對學生滲透相應的數學思想方法是十分重要的。endprint

一、問題緣起

人教版五上《小數乘法》單元形成性評價中有一道和書本例題一模一樣的試題：學校圖書館的面積是85平方米，用邊長為0.9米的正方形瓷磚鋪地，100塊夠嗎？這個題目全班43人，竟然有16人錯誤，錯誤率高達37.2%。錯誤基本三類：1、0.9×100=90（平方米） 85<90 答：夠。（11人出錯，占錯誤總量的68.75%）2、0.9×4×100=360（平方米） 360>85 答：夠。（3人出錯，占錯誤總量的18.75%）3、其他（2人出錯，占錯誤總量的12.5%）。

錯誤率高的真正原因是什么呢？我對任教的兩個平行班進行了問卷調查。

二、錯例原因調查和分析

為了找到現象背后的真正原因，我就下面5 個問題對任教五年級的兩個平行班學生進行問卷調查。

1.什么是面積？（可以畫圖、舉例或用文字表達）

2.什么是周長？（可以畫圖、舉例或用文字表達）

3.比較下面的圖形，給你認為面積比較大的圖形打“√”，并說說理由？

4.長方形的面積計算公式是長×寬，為什么用這個公式就能得出長方形的面積？

5.小明家有一幅長60 厘米、寬30 厘米的畫。做畫框至少需要準備多長的木條？框里的這幅畫有多大？

關于什么是面積和周長，從本次調查收集的數據來看，學生已經能夠清楚表達、扎實掌握這部分內容，幾乎沒有學生不會表述。第3題比較兩個圖形面積的大小正好驗證了我上面的說法。

關于長方形面積公式的由來錯誤率相當高，兩個平行班只有10 人（約占11.6%）能較為清楚、準確地說明長方形面積計算公式的來歷。說明教學的低效，甚至無效。反觀第5題，幾乎所有的學生都是正確的。這說明我們的教學還停留在技能訓練的層面上，學生只知其然，不知所以然。大部分學生對長方形的面積計算公式僅停留在機械套用的層面。

通過以上調研，我們認為：主要原因不是學生對面積本質意義的理解存在問題，而是不能在面積本質意義上來理解長方形面積公式的問題。那如何補救呢？要解決這個問題，還得從三下《長方形、正方形面積計算》一課開始思考。

三、以往教學回顧和反思

《長方形、正方形面積計算》教學設計片段：

（一）創設情境，引入新課。呈現學校操場的圖片并問：要想知道操場的面積有多大，該怎么辦呢？這節課我們就來研究“長方形、正方形面積的計算”。（板書課題）

（二）動手操作，提出猜想。師：請同學們拿出學具袋中的藍色長方形紙及若干個小正方形，思考怎樣測量出這張藍色長方形紙的面積？

1.小組討論測量方法 2.動手測量3.全班匯報，交流

（明確：用乘法計算比一一計數更簡便）。

4.引導發現：長方形長與每行正方形個數，長方形寬與每列正方形個數之間的關系。

5.猜測：長方形的面積與什么有關系呢？（長方形的面積=長×寬）

（三）合作探究，驗證猜想。師：是不是所有長方形的面積都等于長×寬呢？我們來驗證一下。

1.合作拼擺，完成表格。利用學具袋中的正方形，任意拼成三個長方形，填表格：

長/厘米

寬/厘米

面積/平方厘米

2.認真觀察，發現規律。板書：長方形的面積=長×寬

……

四、補救教學設計和反思

活動一、數格子

1.格子圖中圖形的面積分別是多少？（每小格表示1 平方厘米）

A、學生獨立練習并個別匯報。B、追問面積是怎樣數出來的？

活動二、在格子紙上畫面積是24 平方厘米長方形，你能畫幾個？（每小格表示1 平方厘米）

A、學生在格子紙上操作后，交流出不同畫法。B、師生評價，引導得出每行個數×行數。

活動三：在白紙上面積是24 平方厘米的長方形。

A、學生獨立練習B、反饋學不同的畫法，組織質疑，使學生明白：直接畫出長方形的長和寬比較方便。C、追問：為什么直接畫長和寬是幾厘米，就能知道它的面積呢？D、歸納：長方形的面積可以怎樣計算呢？

五、長方形面積公式推導教學的啟示

1.關注數方格經驗的積累。長方形面積公式推導中需要“算面積就是算圖形所包含的面積單位的個數”這一思想的支撐，且能否運用數方格的方法求面積是公式推導是否成功的前提。所以，只有關注數方格經驗的積累，才有可能調度出這些經驗來解決這一問題。2.關注多元學習方式的開展。“面積公式推導”是落實過程性目標的教學，它的落實需要引導學生采用獨立思考、動手操作、小組交流等多元學習方式進行學習，從而完成長方形面積公式推導的建構。一維層面的“長度”與二維層面的“面積單位的個數”的對應性；看算式想圖形，看圖形用算式表示的數形結合，都需要通過動手操作或空間想象等方式來實現。只有當學生對平面圖形外在形式的變與面積公式內在本質的不變之間的關系有了清晰理解和把握之后，其對面積公式推導這一過程性目標的理解才是整體的、內在的。3.關注數學思想方法的滲透。面積公式作為一種高度抽象的數學模型，它的建構過程是非常復雜的，當中蘊含著豐富的數學思想方法。“長×寬”需要通過對“長度”與“面積單位的個數”之間的對應關系，來理解面積公式的推導過程；其他平面圖形的面積公式推導時，轉化思想成為探究過程的主導思想。正是這一系列的數學思想方法在探究公式中的應用，使數學模型的建構變得充分而扎實。因此，在落實長方形的面積計算推導這一過程性目標時，對學生滲透相應的數學思想方法是十分重要的。endprint

一、問題緣起

人教版五上《小數乘法》單元形成性評價中有一道和書本例題一模一樣的試題：學校圖書館的面積是85平方米，用邊長為0.9米的正方形瓷磚鋪地，100塊夠嗎？這個題目全班43人，竟然有16人錯誤，錯誤率高達37.2%。錯誤基本三類：1、0.9×100=90（平方米） 85<90 答：夠。（11人出錯，占錯誤總量的68.75%）2、0.9×4×100=360（平方米） 360>85 答：夠。（3人出錯，占錯誤總量的18.75%）3、其他（2人出錯，占錯誤總量的12.5%）。

錯誤率高的真正原因是什么呢？我對任教的兩個平行班進行了問卷調查。

二、錯例原因調查和分析

為了找到現象背后的真正原因，我就下面5 個問題對任教五年級的兩個平行班學生進行問卷調查。

1.什么是面積？（可以畫圖、舉例或用文字表達）

2.什么是周長？（可以畫圖、舉例或用文字表達）

3.比較下面的圖形，給你認為面積比較大的圖形打“√”，并說說理由？

4.長方形的面積計算公式是長×寬，為什么用這個公式就能得出長方形的面積？

5.小明家有一幅長60 厘米、寬30 厘米的畫。做畫框至少需要準備多長的木條？框里的這幅畫有多大？

關于什么是面積和周長，從本次調查收集的數據來看，學生已經能夠清楚表達、扎實掌握這部分內容，幾乎沒有學生不會表述。第3題比較兩個圖形面積的大小正好驗證了我上面的說法。

關于長方形面積公式的由來錯誤率相當高，兩個平行班只有10 人（約占11.6%）能較為清楚、準確地說明長方形面積計算公式的來歷。說明教學的低效，甚至無效。反觀第5題，幾乎所有的學生都是正確的。這說明我們的教學還停留在技能訓練的層面上，學生只知其然，不知所以然。大部分學生對長方形的面積計算公式僅停留在機械套用的層面。

通過以上調研，我們認為：主要原因不是學生對面積本質意義的理解存在問題，而是不能在面積本質意義上來理解長方形面積公式的問題。那如何補救呢？要解決這個問題，還得從三下《長方形、正方形面積計算》一課開始思考。

三、以往教學回顧和反思

《長方形、正方形面積計算》教學設計片段：

（一）創設情境，引入新課。呈現學校操場的圖片并問：要想知道操場的面積有多大，該怎么辦呢？這節課我們就來研究“長方形、正方形面積的計算”。（板書課題）

（二）動手操作，提出猜想。師：請同學們拿出學具袋中的藍色長方形紙及若干個小正方形，思考怎樣測量出這張藍色長方形紙的面積？

1.小組討論測量方法 2.動手測量3.全班匯報，交流

（明確：用乘法計算比一一計數更簡便）。

4.引導發現：長方形長與每行正方形個數，長方形寬與每列正方形個數之間的關系。

5.猜測：長方形的面積與什么有關系呢？（長方形的面積=長×寬）

（三）合作探究，驗證猜想。師：是不是所有長方形的面積都等于長×寬呢？我們來驗證一下。

1.合作拼擺，完成表格。利用學具袋中的正方形，任意拼成三個長方形，填表格：

長/厘米

寬/厘米

面積/平方厘米

2.認真觀察，發現規律。板書：長方形的面積=長×寬

……

四、補救教學設計和反思

活動一、數格子

1.格子圖中圖形的面積分別是多少？（每小格表示1 平方厘米）

A、學生獨立練習并個別匯報。B、追問面積是怎樣數出來的？

活動二、在格子紙上畫面積是24 平方厘米長方形，你能畫幾個？（每小格表示1 平方厘米）

A、學生在格子紙上操作后，交流出不同畫法。B、師生評價，引導得出每行個數×行數。

活動三：在白紙上面積是24 平方厘米的長方形。

A、學生獨立練習B、反饋學不同的畫法，組織質疑，使學生明白：直接畫出長方形的長和寬比較方便。C、追問：為什么直接畫長和寬是幾厘米，就能知道它的面積呢？D、歸納：長方形的面積可以怎樣計算呢？

五、長方形面積公式推導教學的啟示

1.關注數方格經驗的積累。長方形面積公式推導中需要“算面積就是算圖形所包含的面積單位的個數”這一思想的支撐，且能否運用數方格的方法求面積是公式推導是否成功的前提。所以，只有關注數方格經驗的積累，才有可能調度出這些經驗來解決這一問題。2.關注多元學習方式的開展。“面積公式推導”是落實過程性目標的教學，它的落實需要引導學生采用獨立思考、動手操作、小組交流等多元學習方式進行學習，從而完成長方形面積公式推導的建構。一維層面的“長度”與二維層面的“面積單位的個數”的對應性；看算式想圖形，看圖形用算式表示的數形結合，都需要通過動手操作或空間想象等方式來實現。只有當學生對平面圖形外在形式的變與面積公式內在本質的不變之間的關系有了清晰理解和把握之后，其對面積公式推導這一過程性目標的理解才是整體的、內在的。3.關注數學思想方法的滲透。面積公式作為一種高度抽象的數學模型，它的建構過程是非常復雜的，當中蘊含著豐富的數學思想方法。“長×寬”需要通過對“長度”與“面積單位的個數”之間的對應關系，來理解面積公式的推導過程；其他平面圖形的面積公式推導時，轉化思想成為探究過程的主導思想。正是這一系列的數學思想方法在探究公式中的應用，使數學模型的建構變得充分而扎實。因此，在落實長方形的面積計算推導這一過程性目標時，對學生滲透相應的數學思想方法是十分重要的。endprint