例談解決數學問題的化歸策略

王全友

【摘 要】 化歸是解決數學問題的基本方法。在解決某些數學問題時，常將待解決的問題歸結為其他相對較易解決的問題，因此，選擇恰當的轉化手段和進行正確有效的化歸是解決問題的關鍵。本文就簡單介紹了幾種化歸策略。

【關 鍵 詞】 化歸問題；數學；策略

化歸是轉化和歸結的簡稱，是解決數學問題的基本方法. 在解決某些數學問題時，常采用轉化手段，將待解決的問題歸結為相對容易解決或已有固定解決程式的另一問題，通過對這一問題的解決，得到原問題的解答. 選擇恰當的轉化手段和進行正確有效的化歸是解決問題的關鍵. 下面，本文介紹幾種常用的化歸策略.

一、尋找恰當的對應關系實現化歸

數學內部之間的許多聯系，有許多是通過對應關系來實現的，利用對應關系，可將待解決的問題轉化為另一問題.

（一）平面上的點與有序實數對集合的對應關系

通過建立坐標系，確立平面上的點與有序實數對的一一對應關系，把幾何問題化歸為代數問題. 如判斷點P（4，13）是否在拋物線y=■x2-3x+17上，變成判斷x=4，y=13是否是方程y=■x2-3x+17的解；求直線y=-■x+3與y=■x的交點問題，變成解聯立方程組問題.

（二）變量轉換、換元、增量替換等代換都是特殊的對應關系

例1 已知a是方程x2-3x+1=0的根，則2a2-6a+■的值是多少？

解析 由已知可得a2-3a+1=0，若求出a的值再代入求值，顯然計算量很大. 由所求代數式的特點可考慮把a2-3a+1=0轉化為a2-3a=-1與■=1，把所求代數式變形，整體代換，即，2a2-6a+■=2（a2-3a）+3·■=2×（-1）+3=1.

例2 已知x，y，z為實數，且x+y=6，z2=xy-9. 求x+2y+3z的值.

解析 用均值換元法，可以設x=3+t，y=3-t，則

z2=（3+t）（3-t）-9=-t2，即z2+t2■=0.

∴z=t=0，∴x=y=3.

∴x+2y+3z=3+6+0=9.

利用換元法解題，關鍵在于根據問題的結構特征，適當選取能夠化繁為簡、化難為易的變換，實現問題的轉換. 因此，要注意分析問題的結構特征，對已知條件適當變形，同時要善于發現題目中的特殊結構，挖掘題目中隱含的特殊關系，利用這些特殊條件進行代換.

二、通過語義轉換實現化歸

形式化是數學的顯著特點. 代數學起始于以字母形式地表示數，隨后，代數運算、運算律、運算法則等都被形式地表示. 因此從某種意義上說，學習數學就是學習一種有特定涵義的形式化的語言，以及用這種形式化的語言去表述、解釋、解決各種問題. 數學符號化、形式化后，每一種數學語義（概念、關系等），一般都有一種確立的數學符號（式）表示，但不同的數學語義可能是由同一種數學符號（式）表示的，也就是說，一種數學符號（式）可作不同的語義解釋. 如■表示a2+b2的算術平方根；在平面直角坐標系內，表示點（a，b）到原點（0，0）的距離. 同一種數學語義的內容可以用文字語言、符號語言、圖形語言等不同的數學語言形式表示. 因此通過語義轉換，能使一個問題轉化為另一簡單明了的問題.

（一）等價轉化

等價轉化后的新對象與原對象的形式不同，實質一樣. 如兩圓外切？圳d=R+r（d為圓心距，R，r分別為兩圓半徑），原命題等價于逆否命題.

（二）數形轉化

數和形反映了事物的兩個方面. 數缺形，少直觀；形缺數，難入微. 因此，在解決問題時，常要把同一數學對象進行代數釋義與幾何釋義，實現“形”與“數”的數學語義轉換，將“形”解釋為“數”，利用“數”的知識解決“形”的問題；將“數”解釋為“形”，利用“形”的知識解決“數”的問題. 這種數形結合的思想方法是解決問題的突破口.

例3 關于x的二次方程x2-（2m+1）x+m-8=0的兩個實數根，一根大于-1，另一根小于-1，求m取值范圍.

解析 本題既可用根與系數的關系來解，也可巧用數形結合的思想. 借助二次函數圖像，可構造函數y=x2-（2m+1）x+m-8，它的圖像是一條開口向上的拋物線，該拋物線與x軸的交點一個在-1的左側，另一個在 -1的右側，根據題意畫出函數圖像的草圖，如圖1所示，由圖像可知，當時，其函數值為負值，于是得（-1）2-（2m+1）×（-1）+m-8<0，即m<2.

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三、一般化與特殊化策略

從“特殊到一般”和從“一般到特殊”是認識問題的普遍規律.

（一）一般化

將待解、待證問題看成特殊問題，通過對它的一般形式問題的解法而得到原問題解的化歸策略就是一般化策略，借助一般化的結論或方法，使問題順利解決.

例4 計算■.

解析 數字較大，運算繁瑣，不易發現隱含的一般性質，設12346=a，則原式=■=■=24690.

（二）特殊化

一般化與特殊化是相反的兩個過程. 對于待解或待證問題，先解決它的特殊情況，然后把解決特殊情況的方法或結果應用到一般情況，使原問題獲解的策略就是特殊化策略. 特殊化策略不僅是解題、檢驗問題的重要方法，而且還是探索規律是進行創造性思維的有效工具，歷來被數學家所推崇. 著名數學家華羅庚先生就告訴我們，要學會使用先退后進，以退為進的策略，就是指的特殊化策略，華先生常說，要善于退，足夠的退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.

例5 如圖2，正方形ABCD與A′B′C′D′的邊長為a，O是AC與BD的交點.

求證：S=■a2.

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解析 在解這道題時，學生感到不好入手證明，主要是確定不了M、N的位置，考慮利用動態去分析問題，轉化為特殊情況，如圖3，在旋轉的過程中，總有∠MOB=∠NOC，故有S△OMB=S△ONC， 從而得知四邊形OMBN的面積等于△OBC的面積，即正方形ABCD面積的四分之一. ■

【參考文獻】

[1] 趙小云，葉立軍. 數學化歸思維論[M]. 北京：科學出版社，2005.

[2] 周成. 數學化歸思想運用的研究[J]. 數理化解題研究（初中版），2013（4）.

[3] 蘇永春. 數學化歸思想和方法的應用[J]. 課程教材教學研究（教育研究），2013（2）.