單純形算法在高速公路深挖路塹邊坡設(shè)計中的運用

周 娟

(海南省公路勘察設(shè)計院，海南海口 570206)

邊坡極限平衡分析非常重要的一步是尋找最小安全系數(shù)所對應(yīng)的臨界滑裂面。搜索臨界滑裂面的方法主要包括三大類:枚舉法，數(shù)值分析法(模式搜索法和牛頓法)以及諸如模擬退火、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等非數(shù)值算法。

W.Fellenius及D.W.Talor的研究成果指出:均質(zhì)簡單土坡，其滑裂面為規(guī)則的圓弧，且該圓弧通過坡腳［1］。對于這樣的滑裂面，尋找最危險滑面，實際就是尋找安全系數(shù)函數(shù)的最小值:

其中，F(xiàn)(Xi)為潛在的滑面安全系數(shù);Xi為關(guān)于圓弧圓心坐標的二維向量，即 Xi=(xi，yi)T。

采用單純形法構(gòu)造一個三角形便可快速尋找到臨界滑面。本文首先推導了以圓心坐標為參數(shù)的均質(zhì)簡單邊坡的Bishop計算式，并編寫了基于單純性法的臨界滑面搜索程序，將其運用于海南橫線萬寧—儋州—洋浦高速公路某深挖路塹邊坡設(shè)計中。

1 以滑面圓心坐標為參數(shù)的安全系數(shù)求解

1.1 邊坡計算模型

以坡腳處為原點，建立如圖1所示直角坐標系。邊坡幾何物理力學條件如下:圓弧滑面圓心坐標為(X0，Y0);高度為H，坡角為β;均布荷載為q，距坡頂起點距離為B1，作用寬度為B2;假設(shè)浸潤線由幾條直線連接而成，各條浸潤線端點坐標為(XJi，YJi)，其中第一條浸潤線第一個端點為(0，0)。

圖1 邊坡穩(wěn)定性計算模型

采用Bishop法計算滑面安全系數(shù)，需要將上述已知條件轉(zhuǎn)化為式(2)所需參數(shù)。

其中，下標i表示任一土條;下標j為土層;γj為土層重度;H(i，j)為土條每一土層的高度;Bi為土條寬度;αi為土條重力與圓弧法線夾角;Ui為土條底部水壓力;ci，φi分別為滑面粘聚力、內(nèi)摩擦角;F為安全系數(shù)。

1.2 參數(shù)轉(zhuǎn)換

在直角坐標系中求出圓弧、坡面線、坡頂線以及各條浸潤線的方程。

圓弧方程:

坡面線方程:

坡頂線方程:

浸潤線方程:

得到方程后，按下述方法進行參數(shù)轉(zhuǎn)換。

1)將圓弧方程與坡頂線方程聯(lián)立求解滑面與坡頂交點坐標(XD，H)，并求出坡面起點坐標(Xs，H)。2)根據(jù)劃分的土條數(shù) n將各土條設(shè)置為同一寬度Bi=XD/n，并計算各分界線橫坐標XFi=XFi－1+Bi，將XFi代入圓弧方程取較小值求得 YFi。3)計算土條中線與滑面交點坐標(XHi，YHi)。XHi=(XFi+XFi－1)/2，將XHi代入圓弧方程取較小值求得YHi。4)計算土條中線與坡面交點坐標(XPi，YPi)。XPi=XHi;當 XPi＜ Xs時，將 XPi代入坡面線方程求得 YPi，當 XPi≥Xs時，YPi=H。5)計算土條高度 Hi。Hi=YPi－YHi。6)計算土條分界線與浸潤線交點縱坐標 YJFi。根據(jù)土條分界線橫坐標XFi與浸潤線端點橫坐標XJi+1，XJi的大小關(guān)系，判斷分界線與哪條浸潤線相交，然后將XFi代入該浸潤線方程求得YJFi。7)計算重力與圓弧法線夾角αi。根據(jù)土條中線橫坐標與圓心橫坐標的關(guān)系有三種情況:XHi＜X0，αi=arctan［(Y0－ YHi)/(X0－ XHi)］－ π/2。XHi=X0，αi=0。XHi＞ X0，αi=π/2－arctan［(Y0－YHi)/(X0－XHi)］。8)計算土條底部水壓力Ui。分界線上水面到滑面的高度 Hwi=YJFi－YFi，水壓力Ui=(Hwi+Hwi－1)·Bi/(2cosαi)。9)計算外荷載 Qi。根據(jù)分界線坐標與荷載左右邊界的關(guān)系求得各土條上的外荷載Qi。

2 單純形法搜索臨界滑面的基本原理

2.1 單純形法的基本思想

單純形是指在n維向量空間具有n+1個頂點的多面體。對于本文所討論的問題，初始向量為關(guān)于圓心坐標的二維向量x0=(X0，Y0)T，則以下述3個向量構(gòu)成二維空間的三角形:x1=x0=(X0，Y0)T。x2=(X0+pl，Y0+ql)T。x3=(X0+ql，Y0+pl)T。其為邊長，取值 n+1=3。首先求出3個頂點的目標函數(shù)值 F(xi)，找出其中的最大值F(xh)，最小值 F(xl)和中間值 F(xm)，對應(yīng)頂點為 xh，xl和 xm。從這一個單純形出發(fā)，每次迭代都設(shè)法構(gòu)造新的單純形，用新單純形的一個頂點替換掉原單純形具有最大安全系數(shù)F(xh)的頂點，以此逐步逼近目標函數(shù)的極小點。

2.2 單純形的基本算法

單純形主要包括反射、擴大、收縮和縮邊四種操作。在操作前先求出除xh外兩個頂點的中心xc，以及中心的函數(shù)值F(xc)。

1)反射。將最大函數(shù)值頂點通過中心xc反射到對面xr，并計算反射點的函數(shù)值F(xr)。

其中，通常取反射系數(shù)α=1。

2)擴大。若F(xr)＜F(xl)，反射成功，并表明沿著xcxr方向函數(shù)值有可能進一步下降，因此將xr擴大到xe，計算擴大點的函數(shù)值F(xe)。

其中，通常取擴大系數(shù)γ=2。

若F(xe)＜F(xl)，表明擴大成功，用xe替換xh構(gòu)成新的單純形。若F(xe)≥F(xl)，表明擴大失敗，用xr替換xh構(gòu)成新的單純形，進行收斂判定，如圖2所示。

圖2 單純形反射、擴大操作

3)收縮。若F(xm)≥F(xr)≥F(xl)，用xr替換xh，構(gòu)成新的單純形，進行收斂判定。若F(xh)＞F(xr)＞F(xm)，用xr替換xh，構(gòu)成新的單純形，進行收斂判定。若F(xr)≥F(xh)，必須進行收縮操作，將反射點收縮至xt，并計算反射點的函數(shù)值F(xt)。

其中，通常取收縮系數(shù)β=0.5。

若F(xh)＞F(xt)，用xt替換xh，構(gòu)成新的單純形，進行收斂判定，否則進行縮邊操作。單純形收縮操作見圖3。

圖3 單純形收縮操作

4)縮邊。當F(xt)≥F(xh)時進行縮邊，保持xl不變，對其他頂點進行縮邊操作，得到新的單純形，進行收斂判定。單純形縮邊操作見圖4。

5)收斂準則。

其中，ε為足夠小的數(shù)。

圖4 單純形縮邊操作

3 工程運用

3.1 工程及工點概況

海南橫線萬寧—儋州—洋浦高速公路，路線全長164.1 km，是《國務(wù)院關(guān)于推進海南國際旅游島建設(shè)發(fā)展的若干意見》確定的交通基礎(chǔ)設(shè)施項目，是列入《海南國際旅游島建設(shè)發(fā)展規(guī)劃綱要》及《海南省公路交通“十二五”發(fā)展規(guī)劃》的重點項目，在完善海南島路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮博鰲亞洲論壇及洋浦國家級經(jīng)濟開發(fā)區(qū)的區(qū)位優(yōu)勢，以及促進中部市縣快速發(fā)展等方面具有如下重要功能和作用。其主要技術(shù)標準為:四車道高速公路，設(shè)計速度100 km/h，路基寬26 m。

K130+180～K130+560段，路線翻越埡口，其中心挖深最大為12 m，路塹邊坡高度最高為28 m，為深挖路塹，需進行單獨設(shè)計。

3.2 工點工程地質(zhì)條件

埡口地形標高在131 m～169 m之間，地貌單元屬花崗巖殘丘，由印支期花崗巖及其殘積土組成。覆蓋層砂質(zhì)粘土較厚，基巖埋藏較深，邊坡屬于均質(zhì)土坡。其地下水埋深在路面以下3 m～4 m，對邊坡穩(wěn)定性影響較小。與邊坡穩(wěn)定性計算相關(guān)的物理力學性質(zhì)指標如表1所示。

表1 土體主要物理、力學指標

3.3 穩(wěn)定性分析

采用編制的單純性臨界滑面搜索程序?qū)ψ畲筮吰赂叨鹊腒130+500斷面進行穩(wěn)定性計算，根據(jù)規(guī)范要求，分別進行三種工況下的計算:正常工況Ⅰ，暴雨或連續(xù)降雨工況Ⅱ，地震作用工況Ⅲ。經(jīng)過對邊坡坡率的多次修改，邊坡穩(wěn)定性計算結(jié)果符合規(guī)范要求，如表2及圖5所示，表2對應(yīng)的該橫斷面布置如表3所示。

圖5 K130+500斷面邊坡橫斷面及臨界滑面搜索結(jié)果

表3 邊坡橫斷面布置

3.4 防護工程設(shè)計

兩側(cè)路塹均為穩(wěn)定邊坡，因此，只采用一般的防護措施，即拱形骨架和噴草植灌防護。

4 結(jié)語

均質(zhì)簡單邊坡滑裂面為規(guī)則圓弧，但其最危險滑面很難通過經(jīng)驗判斷，搜索最小安全系數(shù)臨界滑面是正確評價邊坡安全的關(guān)鍵。本文將單純性算法搜索最危險滑面用于高速公路深挖路塹邊坡，通過該方法快速準確的對邊坡穩(wěn)定性進行評價，從而合理的對邊坡進行設(shè)計。

［1］高大釗.土力學與基礎(chǔ)工程［M］.北京:中國建筑工業(yè)出版社，1999.

［2］陳祖煜.土質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析——原理·方法·程序［M］.北京:中國水利水電出版社，2003.

［3］黃潤秋，張悼元，王士天.高邊坡穩(wěn)定性的系統(tǒng)工程地質(zhì)研究［M］.成都:成都科技大學出版社，1991.