高速公路收費(fèi)站車輛到達(dá)分布的擬合檢驗(yàn)

彭真

何麗紅

（蘭州大學(xué)管理學(xué)院，蘭州730000）

0 引言

高速公路是社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的必然產(chǎn)物。上世紀(jì)80年代，我國高速公路實(shí)現(xiàn)了零的突破以后進(jìn)入快速發(fā)展階段；2003年年末我國高速公路突破3萬公里，高速公路通車?yán)锍虄H次于美國，居于世界第二位；2011年年末，我國高速公路突破8.49萬公里，超過美國的7.544萬公里，居于世界首位。毋庸置疑的是高速公路的建設(shè)對(duì)改善我國公路運(yùn)行狀況、提高我國公路運(yùn)輸能力及運(yùn)輸效率、滿足人民出行需求都起到了巨大的作用。但不容忽視的是人們經(jīng)常見到的一些不盡如人意的現(xiàn)象：一方面很多時(shí)候高速公路上的車流量并不大，但高速公路收費(fèi)站的服務(wù)臺(tái)卻是滿負(fù)荷運(yùn)作，這無疑是對(duì)資源的一種浪費(fèi)；另一方面，還有很多時(shí)候高速公路上車流量過大而高速公路服務(wù)站根本忙不過來，這樣就造成了高速公路收費(fèi)站“排長龍”和“車輛爬行”的現(xiàn)象。

為了解決上述問題，實(shí)現(xiàn)在最大限度上節(jié)約高速公路收費(fèi)站的運(yùn)營成本并提高其運(yùn)行效率的目的，專家學(xué)者運(yùn)用 M/G/K、M/M/C、M/M/1 以及 M/D/1 等模型[1-4]，對(duì)不同時(shí)段、不同車輛到達(dá)率的情況下收費(fèi)站最優(yōu)的服務(wù)臺(tái)開放數(shù)量進(jìn)行了研究。盡管這些研究從理論上給出了解決方案，但是這些解決方案都有一個(gè)共同的理論假設(shè)前提，即高速公路收費(fèi)站的車輛到達(dá)過程服從泊松分布。因此，上述研究給出的理論方案是否具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值在很大程度上取決于這些研究所依賴的理論假設(shè)是否成立。

目前國內(nèi)關(guān)于高速公路收費(fèi)站車輛到達(dá)過程的研究相對(duì)較少。其中，文獻(xiàn)5通過對(duì)20分鐘內(nèi)高速公路收費(fèi)站上游的車頭時(shí)距分布進(jìn)行卡方檢驗(yàn)，指出高速公路收費(fèi)站的來車分布服從負(fù)指數(shù)分布。文獻(xiàn)6根據(jù)交通流理論直接指出在交通量小的高速公路路段，到達(dá)高速公路收費(fèi)站的車輛分布符合泊松分布；在交通流比較大的高速公路路段，到達(dá)高速公路收費(fèi)站的車輛分布符合二項(xiàng)分布。文獻(xiàn)7針對(duì)車輛到達(dá)高速公路收費(fèi)站的隨機(jī)性，詳細(xì)介紹了如何運(yùn)用概率論中離散型分布工具和連續(xù)性分布工具對(duì)這種隨機(jī)性的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行描述。然而，上述研究中關(guān)于高速公路收費(fèi)站車輛到達(dá)過程分布的檢驗(yàn)方法過于籠統(tǒng)，或停留在對(duì)檢驗(yàn)方法的理論陳述，缺乏實(shí)際的算例分析及數(shù)據(jù)支撐；或直接給出檢驗(yàn)的結(jié)果，缺乏對(duì)檢驗(yàn)方法具體步驟的詳細(xì)介紹。

鑒于此，本文通過對(duì)蘭州柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站的車輛到達(dá)過程進(jìn)行實(shí)地調(diào)查，以1分鐘為單位時(shí)間間隔，以1小時(shí)為1個(gè)樣本觀測時(shí)段，獲取了該收費(fèi)站車輛到達(dá)的實(shí)際數(shù)據(jù)，并運(yùn)用χ2檢驗(yàn)法對(duì)高速公路收費(fèi)站車輛到達(dá)過程分布進(jìn)行了擬合檢驗(yàn)。

1 擬合檢驗(yàn)方法

為了對(duì)在時(shí)間間隔t內(nèi)出現(xiàn)的事件流X（t）是否服從泊松分布進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，這里首先對(duì)χ2檢驗(yàn)法的具體檢驗(yàn)步驟介紹如下：

第一步：觀測長為t的時(shí)間間隔內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)，并記為 X（t）。

第二步：將上述觀測重復(fù)進(jìn)行m次，記Ai={X（t）=i}（i=0，1，2，…n）為一個(gè)樣本觀測時(shí)段中事件A發(fā)生i次這個(gè)事件，A0，A1，A2，…，An在 m 次觀測中出現(xiàn)的頻數(shù)分別為

第三步：將事件流X（t）服從泊松分布P（λ）的假設(shè)轉(zhuǎn)化為如下原假設(shè)：

第四步：對(duì)未知參數(shù)λ采用極大似然估計(jì)，得到：

第五步：將λ*帶入（1）式估計(jì)出，進(jìn)而計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

第六步：計(jì)算給定顯著性水平α下H0的拒絕域上限

因?yàn)樵贖0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2近似服從自由度為n*-k-1的 χ2分布，其中 n*是對(duì) i在[0，+∞）上進(jìn)行分組時(shí)的組數(shù)，由文獻(xiàn)8可知：運(yùn)用χ2檢驗(yàn)法檢驗(yàn)?zāi)阁w分布時(shí)，要求各組的理論頻數(shù)不得小于5；k為未知變量的個(gè)數(shù)。由于泊松分布中的未知變量只有λ，即此處k為1，所以在H0成立時(shí)χ2近似服從自由度為n*-2的χ2分布。

第七步：比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2與原假設(shè)的拒絕域上限，可得到如下統(tǒng)計(jì)決策：

2 數(shù)據(jù)采集與處理

通過實(shí)地調(diào)查，本文獲取了柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站2013年10月18日早8點(diǎn)到晚21點(diǎn)連續(xù)13小時(shí)車輛到達(dá)的實(shí)際數(shù)據(jù)。

考慮到檢驗(yàn)時(shí)間間隔t內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)是否服從泊松分布需要t很小，以及高速公路收費(fèi)站對(duì)出入口車輛的數(shù)量統(tǒng)計(jì)最小只能精確到分鐘的實(shí)際情況，本文采用的時(shí)間間隔t為1分鐘。若以1分鐘為單位時(shí)間間隔，用i表示單位時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)高速公路收費(fèi)站的車輛數(shù)（單位：輛）；以每小時(shí)為1個(gè)樣本觀測時(shí)段，用mi表示事件Ai（此處Ai表示1分鐘內(nèi)到達(dá)高速公路收費(fèi)站的車輛數(shù)為i這個(gè)事件）在60次觀測中出現(xiàn)的次數(shù)，則本文采集到的原始數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站車輛到達(dá)實(shí)際頻數(shù)統(tǒng)計(jì)

表1不僅給出了柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站各觀測時(shí)段車輛到達(dá)的實(shí)際頻數(shù)分布，而且由表1可知柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站各觀測時(shí)段車輛到達(dá)總數(shù)是不一樣的，且存在比較明顯的高峰期和低谷期。車輛到達(dá)總數(shù)的最大值出現(xiàn)在9點(diǎn)-10點(diǎn)時(shí)段，車輛總數(shù)為938輛/小時(shí)，車輛到達(dá)總數(shù)的最小值出現(xiàn)在20點(diǎn)-21點(diǎn)時(shí)段，車輛總數(shù)為371輛/小時(shí)。

3 結(jié)果分析

這里按照χ2檢驗(yàn)步驟對(duì)蘭州柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站2013年10月18日早9點(diǎn)-10點(diǎn)1小時(shí)內(nèi)車輛到達(dá)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。由文獻(xiàn)[8]可知在運(yùn)用擬合檢驗(yàn)之前，待驗(yàn)證的樣本容量應(yīng)滿足大于等于50的條件，本文以每小時(shí)為1個(gè)樣本觀測時(shí)段，樣本容量是60，顯然滿足此條件。

首先，根據(jù)表1中所給出的9點(diǎn)-10點(diǎn)這個(gè)樣本觀測時(shí)段車輛到達(dá)實(shí)際頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，由（2）式計(jì)算得到λ*=15.6333。其次，將λ*帶入（1）式估計(jì)出。然后，基于理論頻數(shù)不得小5的要求對(duì)i進(jìn)行分組，具體分組情況如表2所示。最后，由（3）式計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=9.2647，具體計(jì)算過程見表2。

表2 柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站9點(diǎn)-10點(diǎn)原始觀測數(shù)據(jù)的分組及計(jì)算結(jié)果

由表2可知，分組數(shù)為7，所以，在H0成立時(shí)χ2近似服從自由度為5的χ2分布。若給定顯著性水平為α=0.05，則可計(jì)算得到原假設(shè)的拒絕域上限為11.0705。最后，通過比較檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2與原假設(shè)的拒絕域上限因?yàn)榇颂幱校圆痪芙^原假設(shè)，即認(rèn)為高速公路收費(fèi)站9點(diǎn)-10點(diǎn)的車輛到達(dá)過程服從均值為15.6333的泊松分布。

同樣地，若分別對(duì)柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站2013年10月18日其他12個(gè)時(shí)段的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合檢驗(yàn)，所得檢驗(yàn)結(jié)果如表3所示，可以看出：在不同顯著性水平下，各觀測時(shí)段高速公路收費(fèi)站的車輛到達(dá)過程均服從泊松分布。

表3 柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站不同觀測時(shí)段車輛到達(dá)分布的檢驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

為了檢驗(yàn)“高速公路收費(fèi)站的車輛到達(dá)過程服從泊松分布”這一假設(shè)，對(duì)蘭州市柳忠高速公路天水北路收費(fèi)站2013年10月18日早8點(diǎn)到晚21點(diǎn)車輛到達(dá)的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，并以此為基礎(chǔ)，進(jìn)行了擬合檢驗(yàn)。擬合檢驗(yàn)結(jié)果表明：若以1分鐘為單位時(shí)間間隔，1小時(shí)為樣本觀測時(shí)段，則檢驗(yàn)結(jié)果顯示“高速公路收費(fèi)站的車輛到達(dá)過程服從泊松分布”的假設(shè)是成立的。

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