一道人教A版教材習題的變式拓展

周鴻高

題目（選擇性必修第一冊P89習題2.4·題8）長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．

此題的求解過程很簡單.設中點Px，y，坐標原點為O，由題可得|OP|=|AB|2=a，則x2+y2=a2，即為線段AB的中點的軌跡方程，表示圓心為原點O，半徑為a的一個圓．

事實上，此題說明了產生圓的另一種方法，即定長線段的兩個端點分別在夾角為直角的相交直線上滑動，線段中點的軌跡是一個圓．據此，若改變一些條件，其軌跡又是什么呢？筆者進行了一些變式拓展，得到如下一般性結論．

1．變式一 改變中點為定比分點

問題1 長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，線段AB上的點P滿足APPB=λ（λ>0），求點P的軌跡方程．

由此可知，當λ=1時，點P的軌跡方程為x2+y2=a2，表示一個圓；當0<λ<1時，點P的軌跡為焦點在x軸上一個橢圓；當λ>1時，點P的軌跡為焦點在y軸上一個橢圓．

2．變式二 改變直角為定夾角

問題2 長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在夾角為θ（0°<θ≤90°）的相交直線l1與l2上滑動，求線段AB的中點P的軌跡方程．

解析：由于問題1得到的軌跡方程是標準方程，容易討論軌跡，本題如何建系很關鍵．

參考文獻

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心．普通高中教科書A版·數學（選擇性必修第一冊）［M］．北京：人民教育出版社，2020．

［2］朱清波．回歸教材習題，反思問題本質——一道軌跡問題的溯源和拓展［J］．中學數學研究（華南師大），2021（9）：29-31．