李志娟

河北省圍場縣職教中心

數(shù)學概括淺議

李志娟

河北省圍場縣職教中心

我國著名數(shù)學家、數(shù)學教育家華羅庚先生生前十分重視中學數(shù)學教育事業(yè)。他提出的讀書公式:“薄厚”讀書法在中學數(shù)學界乃至整個教育界廣為流傳和稱頌。學生學習數(shù)學知識、技能和方法的過程是一個從不知到知，從知之不多到知之甚多的不斷積聚的過程。這就是公式的第一步:“從薄到厚”。公式的第二步:“從厚到薄是數(shù)學知識、技能的總結(jié)概括，思想方法的提煉升華的過程。而培養(yǎng)學生的數(shù)學概括能力，對學生正確認識數(shù)學，發(fā)展數(shù)學學習能力，優(yōu)化學習效果都有相當重要的作用。

數(shù)學作為一門學科，它的本質(zhì)特征之一是高度的抽象性和高度的概括性，數(shù)學本身就是客觀世界的數(shù)量關系和空間形式的最抽象、最概括的反映。就數(shù)學教育而言，培養(yǎng)學生概括能力無疑是提高學生數(shù)學思維水平的一項重要內(nèi)容。

什么是數(shù)學概括?曹才翰教授在《中學數(shù)學教學概論》中指出了它的意義:“其一，指在思想上把具有相同本質(zhì)特性的事物聯(lián)系起來；其二，是把被研究對象的本質(zhì)特性推廣為范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質(zhì)特性。”

本文擬從中學數(shù)學教育的角度淺議數(shù)學概括，著重討論中學數(shù)學教材涉及的數(shù)學通則通法的概括和數(shù)學遷移概括。

一、數(shù)學通則通法的概括

1.概括和再概括數(shù)學通則通法是數(shù)學教學研究的重要素材，包括定理、性質(zhì)、公式和法則在內(nèi)的數(shù)學教學內(nèi)容是前人研究和總結(jié)出來的數(shù)學成果，是真知。數(shù)學教學的一個任務就是要把這些數(shù)學成果用科學的教學方法傳授給學生，使之能理解、掌握和應用。

2.建模和擴模不論是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，還是單純解數(shù)學題，都離不開把問題和解決問題的方法進行比較分類，抽象概括出一種數(shù)學結(jié)構形式，然后利用這種結(jié)構形式來熟練地解決同類型的實際問題和數(shù)學問題。這就是從狹義的角度來認識建構數(shù)學模型。從這個意義上講，數(shù)學模型是數(shù)學抽象概括的結(jié)果。數(shù)學中每一個計算公式、每一類方程、每一種函數(shù)都可以看作一個數(shù)學模型。在建模用模的同時，不應把模型看成僵化的、一成不變的東西，而應考慮模型及其功能的變化發(fā)展。

二、數(shù)學遷移概括

在學習過程中，先行學習和后續(xù)學習總是互相影響、互相干擾的，我們把這兩者之間的影響、干擾稱為“遷移”。學習甲時獲得的一般數(shù)學原理方法如能適用于學習乙時，若能從學習甲、乙過程中概括出它們的共同的數(shù)學原理和方法，我們稱之為數(shù)學遷移概括。求解二次方程，無論是分解因式還是開平方，都是為了降為一次方程，引導學生把降次法遷移到解特殊的高次方程上來，這就是一種數(shù)學遷移概括。許多學生對“x＞1 x≥1”這一推理的正確性持懷疑態(tài)度，認為結(jié)論中的“x=1”在前提中不存在，是無論如何推導不出的。可見把這一類問題提到集合思想觀念的高度來認識處理，這實際上就是把子集概念的數(shù)學結(jié)構遷移概括到一些特殊數(shù)學事實的認識和處理上了。對中學數(shù)學教材結(jié)構體系，學生一般了解不深，但能粗淺地認識到數(shù)學教材總是從建立公理、定義概念開始，一步步演繹出一系列的數(shù)學知識和方法，有的同學還能注意到教材中定理、公式出現(xiàn)的邏輯順序，并從自己的學習經(jīng)驗中意識到用前一個定理的結(jié)果去推證后一定理（或推論），比用定義、概念出發(fā)去推證更為簡易。所有這些實質(zhì)上是對數(shù)學公理化思想的點滴意會。

三、數(shù)學概括能力的培養(yǎng)

1.必須重視數(shù)學知識發(fā)展過程的教學數(shù)學具有邏輯嚴謹?shù)奶攸c，新概念（新知識）往往是在原有概念（舊知識）的基礎上引進和建立的。合理組織教學活動，加強新舊知識的聯(lián)系是把新知識納入學生原有認知結(jié)構實現(xiàn)知識遷移的重要途經(jīng)。重視新知識（包括概念、定理、公式、法則等）的發(fā)生、發(fā)展、鞏固和系統(tǒng)化（小結(jié)）的教學，從教材中發(fā)掘培養(yǎng)學生概括能力的因素，并利用它來提高學生數(shù)學知識的概括水平，這是讓學生學習數(shù)學的一個關鍵。

當前數(shù)學教學中不同程度的存在“概念知識一帶而過，練習課代替復習課”的傾向，無論對學生數(shù)學知識技能的掌握還是數(shù)學能力的培養(yǎng)都是有百弊而無一利的。

2.必須摒棄“題海戰(zhàn)”的教學模式當前考試指揮教學的功能仍有增無已。為應付考試，教師企圖窮盡考試要求范圍內(nèi)的所有題型（及各種變形），將其全部塞給學生訓練。這種題型加題量的訓練模式（俗稱“題海戰(zhàn)”）是一種就題論題式的、缺乏概括的模式。花時多，收效少，學生負擔重。這種只知改變題目的外在形式，不顧學生內(nèi)在的思維活動的教學方式，是不能達到知識、能力廣泛遷移的目的的。因為一方面訓練題量的多少和培養(yǎng)能力的大小并非成正比例，題量題型過多并不能提高學生區(qū)分事物的現(xiàn)象和本質(zhì)、聯(lián)系事物共同的本質(zhì)屬性的思維水平；另一方面，過重的學習負擔產(chǎn)生過重的心理負擔，使學生不能以愉悅的、有興趣的心情和積極、主動的態(tài)度對待數(shù)學學習，而產(chǎn)生學習態(tài)度的負遷移，這是最為令人擔憂的教學后果。

3.必須重視解題思路的概括解題是學習數(shù)學的必要途經(jīng)。對解法典型概括內(nèi)容較多的數(shù)學題，教師幫助學生建立題型模式，使學生能識模、用模，熟練同類題目的解法思路。在這過程中教師要自己暴露（或讓學生經(jīng)歷）從直覺思維到理性思維的過程，進行有層次的數(shù)學概括。同時教師不能滿足于這種題型歸類的淺層次概括，還應當從數(shù)學思想方法的高度對解題思路進行較高層次的概括。高考第一輪復習，在回顧各章節(jié)內(nèi)容之前，先系統(tǒng)介紹數(shù)學思想方法，實踐證明是有益的。非畢業(yè)年級的數(shù)學教學，以知識內(nèi)容為載體，有條件地逐步滲透各種數(shù)學思想方法，對學生各種思維能力（包括數(shù)學概括能力）的提高也同樣是有益的。