動畫美術與數學化歸方法

■ 曾定凡 曾 旭

(作者曾定凡系中國傳媒大學藝術學部動畫與數字藝術學院教授;曾旭系Texas A＆M University Texas碩士研究生)

動畫美術完全依賴漫畫、國畫、油畫、雕塑等來表現自己。“有多少種美術形式，就有多少種動畫形式”，實際上，是動畫沒有自己的特定形式。從這個意義上說，動畫美術是對全部美術形式的一種綜合研究。而化歸方法則是數學最廣泛的解題手段和數學家最顯著的思維特征。

長期以來，美術的發展很少與數學交融，普遍認為邏輯思維是形象思維的桎梏，數學盲是美術家沉重的歷史包袱。而我們堅持認為，動畫美術不僅是一門人文藝術，在很大的范圍內還是一門嚴謹的科學。眾所周知，只要是科學，就必然需要數學去提供認知手段。不同質的矛盾要用不同質的方法才能解決，一般地說，藝術問題要用藝術的規律去對待，科學問題要用科學的方法去詮釋。正是因為我們在動畫美術創作與教學中忽視了科學性，導致了許多問題長期得不到解決，動畫美術基礎訓練的效率低就是其中之一。

問題可能還不止如此。哥德爾不完備定理警示我們:對一個形式系統而言，一個公理系統內部總存在它自己無法判明的問題。從這個特殊的角度來看，即使藝術問題也未必完全能夠用藝術規律來說明，它需要包括數學在內的不同系統的支持。跳出系統看系統，是我們完善對于客觀世界認識的必由之路。

縱然動畫美術與數學方法都能解釋同一個問題，但數學所提供的案例有許多別的學科無法替代的內容。恩格斯說過，從不同觀點觀察同一對象，已成為馬克思的習慣。用數學精神把傳統美術中的信息重新梳理，交叉理念的相互碰撞能促進新思想的產生;這里我們可以從解析幾何中獲得某種啟示:假如沒有代數與幾何之間的相得益彰，數學家就會被限制在狹窄和繁重的思維負擔之中。

只要美術家的知識結構發生改變，就會發現，動畫美術方法的許多原理原來存在于數學之中。有時美術家好不容易找到一點新的思想與方法，然而卻發現數學家早就已經解決了，有的甚至是數學中的基本常識。

我們需要認知定式的歷史性重構。

一

圓面積的計算如果從正面強攻是非常困難的，且看數學家的智慧:以圓內接多邊形面積去近似圓的面積，兩者之差是一個小量，當取極限時這種小量趨于零，這樣，數學家通過直與曲的轉換，得到了圓面積計算的數學模型S=πR2。

找到這樣的方法是天才，但更為重要的是要超越這些個別零散的事實去找到其背后的科學規律。否定之否定規律告訴我們，舊的實踐與具有新質的實踐之間是不能直接聯系的，必須經過理論的否定，才能實現躍遷。數學家沒有停留在一個一個原始的事實層面，而是通過歸納升華，獲得了一種理論，這就是“化歸”。所謂“化歸”是指將問題A進行變形，轉化為若干簡單的問題B，既然問題B是簡單的，那么問題A就好解決了。它的基本原則是在保證本質特征不變的前提下“變陌生為熟悉，變高維為低維，變復雜為簡單，變抽象為直觀，變困難為容易，變隱蔽為明朗”，這是一個從特殊到一般的過程。如同辯證法的誕生才使許多原始的辯證思維現象產生認識上的飛躍一樣，化歸思想的提出也能使不同領域的相關實踐由自發變為自覺。

這是數學給美術家送來的一份大禮!它為動畫美術方法的開疆拓域提供了一個銳利的思想武器。動畫美術中造型與色彩難以控制，原因恐怕就在太復雜。化歸方法使我們獲得了這種事物運動發展的共同本質，但它并不能代替各種具體問題中的特殊本質;這里還需要一個從一般到特殊的過程，而這個過程卻不是可以通過推理一蹴而就的，因為“一切運動形式的每一個實在的非臆造的發展過程內，都是不同質的。”①只有“具體問題具體分析”才能找到這種不同質的特殊性。

美術家要想在自己的領域很好地運用化歸方法，對于化歸方法在數學中如何處理矛盾的普遍性與特殊性之間的關系進行深入研究是一件很有價值的工作。

同樣是化歸方法，球體積就不是圓面積計算方式的演繹，球體是旋轉體，可以通過微分法先求得體積元素，進而通過積分求得體積;而在實驗方法中，則是將底面半徑為R，高為2R的圓柱容器中放滿水，將半徑為R的球放入圓柱內，水溢出，將球取出，圓柱中剩下的水正好倒滿底面半徑為R，高為2R的圓錐容器，再將圓柱體減去圓錐體體積得公式V球體積=πR2×2R －1/3πR2×2R=4/3πR3;分數、復數、分式運算的復雜過程無非都是在化歸成低一級的整數、實數、整式的運算;求導數和不定積分要歸結為基本初等函數的求導公式與積分公式，常微分方程則通過將非線性變為線性，多變量換成單變量等方式使復雜方程變為簡易方程;由于方程有一套自己完善的求解辦法，而只要找出等量關系就能建立起方程，所以很多難題都會利用方程來解決。同時，數學不僅不同問題有不同的解，還追求同一問題中的最優解，例如怎樣把一個十進制數寫成二進制數，我們可以按原始辦法順序改寫;但若采用“除2取余，逆序排列”法就非常輕松。這里體現了一種對完美境界的渴望。

需要提醒的是，在各種形式的轉換中，必須注意其深層的不變性;多年來，由于種種原因，我們把對于運動、過渡和聯系，比較對于什么東西在運動注意得更多，有時不知不覺演變成了對不變性的漠視，從一個極端跳到了另一個極端;而真實世界應是雙方都不能跨越各自的規定，無論運動與聯系的觀點怎樣正確，它們所遵循的普遍規律是不變的，深刻的哲學家永遠在尋找世界的統一性;數學為了適應自身發展的特點，它比任何學科都更加意識到了不變性的價值，運算中的交換率、分配律、結合律給了我們深刻的示例;歐幾里得三角形形狀雖然千差萬別，但內角和180度是確定的，凸多邊形外角千姿百態，但其外角和360度不變;圓周率π與自然對數底e，都是無窮變化中的永恒。化歸原則是變與不變的統一。

上述種種特殊方法，互相之間真可謂風馬牛不相及，但它們又在“變復雜為簡單”這個化歸的一般意義上聯系起來。這些一般與特殊的表現啟迪美術家的創新之路。它告訴我們，從化歸思想到獲得不同科學問題的具體方法，其間對困難的征服不但不亞于“化歸”方法的發現，而且還要更偉大、更壯觀。同時化歸方法也依賴這些新的特殊發現以發展自己，使自身不致變成“純粹抽象的公式”。

化歸智慧在解決具體問題中所表現出來的摧枯拉朽般的震撼，足以讓美術家對數學時刻保持著敬畏，足以激發起數學與動畫美術關系的無限想象力。

二

造型藝術辭典中沒有化歸這個詞匯，但卻不是沒有化歸思想，繪畫的一套方法受到了歷史的檢驗，一大批名作表明其中必有鐵的邏輯;將其推置到包括化歸方法在內的現代科學范式條件下，用新的視野與理論高度進行追問，是我們承繼這份傳統繞不開的課題。

例如，素描中純粹的明暗在自然世界是不存在的，它是前輩大師從各種復雜的色彩屬性中剝離出來的一個劃時代的發現，它不但揭示出明暗、冷暖、濃灰等幾大色彩性質中，明暗具有更加獨立、重要的地位，揭示出造型藝術的美丑得失永遠受控于明度，更為重要的是通過抓住明暗能使美術家研究造型更加容易。這是一種將高維變成低維的化歸方法。

國畫家對于線條的審美趣味已入微到了一種近乎神秘的境界，為了獲得這種形式美感，需要在書法、篆刻方面下功夫。“直從書法演畫法，平生得力之處是能以作書之筆作畫” (吳昌碩)，它通過某種等價的形式轉移，最大限度地減少了人物造型對畫家的束縛，使精力集中到純粹的線條研究上去。是一種變元構造的化歸方法。

面對太難表現的人物形象，美術學生會化簡成各種基本幾何形體，然后逐步推進到復雜的造型;曲線透視不好畫，美術家會借助直線透視去解決;是一種變復雜為簡單的化歸方法。

油畫家的調色板需要精心安排成與畫面一致的色彩關系，這樣就可以將畫面的色彩關系放到調色板上去處理，而上畫布時主要看造型。是一種分而治之化歸方法。

中國畫論中有“十八描”;素描有“三大面五大調”等，如果運用得法，這些程式化很強的形式可以和數學中的公式、方程一樣避免許多原始分析;是一種模型式化歸方法。

繪畫中線條的勾勒不能像自行車下坡，一沖而下，而應該像拉車上坡那樣一步一步踏石留印，綿里藏針，屋漏痕，錐劃沙。是一種化陌生為熟悉的化歸方法。

張璪主張的“外師造化，中得心源”，謝赫提出的“氣韻生動”，齊白石強調的“妙在似與不似之間”，徐悲鴻總結的“寧過勿及，寧方勿圓”等，則是對手段與結果的一種放大與鎖定，顯而易見化歸成大目標比小目標容易命中，清晰固定的目標比模糊游離的目標容易捕捉。

如果深入分析下去，我們會驚奇地發現，幾乎所有的美術方法都可以集合到化歸的旗下;華羅庚的“退到最原始而不失去重要性的地方，把相對簡單的問題搞清楚了，從而獲得全部問題解決”的思想成了這些方法的最好注解。這樣一來，這些沒有用到數學知識的傳統美術方法，思維方式卻變成了數學的。

對于化歸方法，不能說美術家沒有一定的意識，但數學家與我們的區別在于我們即使運用這個方法，也仍在不經意間執拗地拒絕理解它的本性，化歸方法的真正的力量不在我們的自覺認識之內。而數學家則看清了問題轉化后所涌現的新的系統功能，使其完全服從自己的意志，并且作為一種十分重要的思維策略上升到了方法論的層面。

三

對美術家來說化歸的意義在于化解橫梗在動畫美術中的難題。

和傳統美術的認知語境不同，下面我們要將許多美術問題化歸到數學方法上去。我們試圖通過案例分析使人們相信，數學作為理解、把握世界最簡潔有力的工具，它在動畫美術中被需求的程度與它在其他科學領域中的應用是一致的;大體說來只要不越過科學的邊界，不陷入復雜性范疇，數學都能做出深刻的類比與刻畫，這里既有直覺的經驗，又有邏輯的批判，既有指南又有坐標。當然這種新的路徑將注定是一個艱難的求索過程。但有理由相信，隨著對數學的了解越多，我們對新舊動畫美術方法的領悟將越多。與某些領域典型案例難以收集形成對比，數學中各種具有驚人創造力的化歸方法天天在進行，大浪淘沙留下的歷史經典可謂汗牛充棟，這些為我們思維空間的拓展與思維品質的優化提供了得天獨厚的條件。

造型藝術表現的不是絕對的對象而是相互關系。例如高樓大廈并不需要等大的紙來表現，但要求在方寸內仍能感覺其雄偉;任何一塊色彩都不能脫離具體的色彩關系，否則將此色彩關系中的土黃放進彼色彩關系中，它可能變成土綠;畫畫就是畫關系，它們每一個都能引起其他東西的改變而本身又被其他東西所改變。傳統美術常借用音樂中“定調可高可低，但七個音符的遞階關系要保持好”來進行類比，但光有這種解釋其實是單薄的。而數學正是一種能夠研究關系結構模式的科學:上述具有確定性聯系的相互關系如果換成數學語言，就是一個量決定另一個量的相似變換，可以用一個簡單的一元線性函數y=ax表示 (其中a≠0，如果縮小，a是一個小于1的非負小數，如果放大，a是一個大于1的值)，科學性、簡潔性與可操作性兼備;如果引入非線性函數，其應用力度將會在非對稱非協同等多種形態中獲得有效的擴張。它們與傳統方法構成互補互動，使“畫關系”問題厚實起來。

對于繪畫中整體與局部關系的理解與處理，恐怕沒有美術家不為之苦惱過。忽視整體只鉆局部是初學者難以避免的通病，應該告誡，和對于運動中任意曲線的認識，只有在與切線的關系中通過微積分才能表現出來一樣，繪畫中每一個局部都必須放到恰當的整體中才能維系。造型系統相互關系中的線性函數現象在理論上是成立的，但由于觀察與表現上的誤差，在很多情況下，“自變量”難于將“因變量”限制在一個點上;局部單線聯系過多因果鏈條拉得太長，系統中信息的傳輸會伴隨偶然性出現隨機干擾，這種干擾形成漲落，可能隨著初始誤差倍數甚至指數式地放大。這里可以用“折紙登天”的數學題來演示這種效應:將一張厚度為0.1mm且足夠長的紙對折100次，其厚度將是0.1mm*2100=126，765，060，022，822，940，149，670公里，而太陽離地球的距離僅約149，597，870公里。由于與直覺相距太遠所帶來的刺激，它對于改變學生頑固性的過多的局部觀察，有著一種奇妙的力量。

為了把握好造型的整體關系，我們會借助許多水平線、垂直線。面對紛繁的色彩，怎么能迅速地找到它在整體中的位置，我們也會從大會堂找座的感受來領悟:先進行紅、黃、白票區劃分，然后再對號入座。這兩個辦法非常好，好就好在它已經接近了數學的邊緣。如果我們催化一下，使它升華到數學中的坐標系，這就找到了一個更科學的工具。在平面坐標系中，通過X、Y兩個坐標值就能確定一個物體的準確位置，這也啟示我們，比較既不能只看到一根線而忽視另一根線，同時也無必要漫無邊際的亂比，比較要抓住要害。

這里的要害就是繪畫中強調的“大關系”，它是控制整體關系的核心環節，但繪畫中的“大關系”理論過于籠統，缺少具體分析。而“大關系”在數學方法中就是通過某一組參數來控制整個系統。例如，要畫一個球的體積，只需控制球的半徑R一個參數就夠了，若是加上球心的位置——在空間直角坐標系中，球心的位置由X、Y、Z三個坐標值來決定——那么四個參數就能確定一個空間中任意指定位置的球體。在數學物理方程中，對控制參數有“雙曲型方程、橢圓型方程和拋物型方程”②等歸納并有詳盡的分析，雖然未必可以直接應用于動畫美術，但對我們深化“大關系”的研究很有啟發;而在哈肯的協同學中，這種參數叫做系統的序參量。由于序參量決定了系統的演化進程，這樣消去大量具有自由度的分子，建立與求解序參量方程，就能使系統控制變得科學簡易。這些通過“引參求控”的化歸方法深化了我們對繪畫中“大關系”的理解。

動畫美術教師年復一年聲嘶力竭的“整體”、“比較”方法，實在需要滲透一些不同的思維，給學生帶來一種新的刺激，以避免落入“單純用重復方法是學不到什么的”這個現代心理學揭示的怪圈中去。下面的4次方程同樣能給我們帶來這種啟示:m(ax2+bx+c)2+n(ax2+bx+c)+p=0，如果用y去代替括號中的二次式，變成my2+ny+p=0，一個復雜的四次方程因此成了解兩回二次方程，這種整體代入使解題過程簡捷明快而富有創造性的威力。雖然這種“塊操作”甚至“集裝箱”式的控制辦法在傳統的美術方法中經常被提到，但我們在經歷數學刺激的緊張狀態之后思考這個問題卻是第一次。不同質的例題將催生完全不同質的感悟，這里有高低甚至文野之分。

孫子兵法上有“治眾如治寡”的原則，這對應于數學中的加和現象，如狄利克萊抽屜原理、微分法、集合概念等等。但由于系統不僅有加和現象更有非加和規律，因此，“治眾如治寡”是有條件的。整體與局部分屬不同層次，很多情況下二者必然在具有共同狀態的同時還將出現不同性質，它需要各種不同的控制方法，這樣如何把“眾”化解成“寡”將拷打著美術家的智慧。我們常常有這種困惑，局部已經畫得很到位了，但整體感受卻怎么也出不來，深層的原因其實就是適用局部的方法卻不能解決整體問題;一般來說綜合比分析更高級也更困難，這也是初學者容易掉入局部的原因之一。治理一個國家與治理一個村莊豈可同日而語。借助一些數學方法會使我們看得更清楚:例如根據“環面上任何點的鄰域能用一小塊平面去近似”的原理，可以用直角平面坐標制作局部地圖，但作為整個地球的地圖卻要用球坐標;歐氏幾何能描述人們日常生活中的空間，但對于宇宙尺度的空間則需要承認空間彎曲的非歐幾何;處理有限集的方法難以搬用到無限集中。這些類比雖然未必盡善盡美，但它確實對如何處理動畫美術整體關系中的復雜性，構成了思考的切入點。

一張畫的制作過程就是一個解題過程，數學化歸運算在已知與未知、目的與手段之間的巧妙轉換精心擇優，它所需要的思維深度、廣度、批判性、獨創與靈活性，無一不是動畫美術創作的必備條件。

化歸思想把我們帶到了一個風光無限的境地，創新正未有窮期。

數學方法能夠作為動畫美術有力武器的原因，在于宇宙世界物質運動規律的統一性和科學的統一性。科學與藝術的進步，說到底是思維方式的進步。而這種思維方式，相當多的內容是用數學語言寫成的，這是一種從量的角度對世界進行研究、為人們提供方法論的哲學，是人類偉大精神的重要表征。“沒有數學就沒有真正的智慧”是柏拉圖的名言。冷落甚至蔑視數學的后果，只能使自己陷入“思維方式存有缺陷”的觀照中去。這不僅是懲罰更是數學對世界無微不至的關懷。

美術家數學知識結構的深刻變化，必然引起其思維方式的根本性改變。可以預言，數學化歸方法不僅能改變美術家許多現有的行為習慣，而且還將長久滋養其心智。

注釋:

① 《毛澤東選集》，人民出版社1991年版，第310頁。

② 谷超豪等:《數學物理方程 (第2版)》，上海科學技術出社1961年版，第97、145、207頁。