峰值折射率對正弦型函數光子晶體帶隙的影響

熊翠秀，鄧楊保，鄧曙光

(湖南城市學院通信與電子工程學院，湖南益陽413000)

1 引言

光子晶體是折射率或介電常數按周期性變化的人工微結構材料，其概念最早于1987年分別由 S.John 和 E.Yablonovitch 提出［1－2］，光子禁帶和光子局域是光子晶體的基本特性。早些年的研究主要集中在常規光子晶體上。為了適合各個不同應用場合的需求，近年陸陸續續提出了不同結構的非常規光子晶體［3－16］，折射率與空間坐標有關的函數型光子晶體［12－16］就是其中的一類非常規光子晶體。文獻［12］～［16］根據費馬原理，推導了函數型光子晶體中的傳輸矩陣和色散方程，研究了一維正弦型函數光子晶體的透射譜和色散關系。其中文獻［12］和［14］在折射率函數的系數一定情況下，詳細研究了入射角和介質層的厚度對一維正弦型函數光子晶體帶隙結構的影響，文獻［15］研究了周期數和入射角對一維正弦型函數光子晶體帶隙結構的影響，這些文獻報道，通過選擇不同的折射率空間分布函數，可以得到比常規光子晶體更寬或更窄的禁帶。但都沒有涉及正弦型函數的折射率系數對帶隙結構的影響，雖然文獻［16］給出了不同系數下的透射譜和色散關系，但系數變化的同時入射角也在變化，故沒有給出各個系數對帶隙結構的影響。為了探討正弦函數的折射率系數對一維光子晶體帶隙結構的影響，筆者先把正弦型函數折射率介質層離散化［17］，用平均折射率等效為每一小層的折射率，再用傳輸矩陣法［18］計算光子晶體的透射率和色散關系，分析各個系數對透射譜帶隙結構的影響。結果表明，各個系數對帶隙結構的影響有所不同，且各自呈現一定的規律。這為光子晶體的設計提供一定的理論依據。

2 理論模型和計算方法

2.1 理論模型

折射率與空間坐標z按正弦規律變化的高折射率介質A和低折射率介質B交替排列，組成(AB)N形一維光子晶體，N表示周期數。令光波沿著z方向傳播，介質A和B的折射率分別由式(1)和式(2)式表示:

式中，la和lb分別是A和B介質的幾何厚度;而na(0)和nb(0)分別是A和B介質起始端的折射率。

2.2 計算方法

對于常規一維光子晶體，可以直接采用傳輸矩陣法［18］計算透射率;對于一維函數光子晶體，由于折射率隨空間坐標z變化，不能直接采用傳輸矩陣法。當把折射率按空間坐標z變化的介質層離散化，即把每半個周期分成J小層，每小層的幾何厚度為(或)，當J趨于無窮大時，每小層的折射率變化很小，每一小層都可以近似為常規折射率介質，故進行離散化后，每小層的光學傳輸特性可以用傳輸矩陣表示［17］。文獻［17］在離散化介質層時，把每小層起始端的折射率作為該小層的折射率，而筆者在計算過程中用每小層的平均折射率等效為該小層的折射率。

3 結果與討論

參數選取參照文獻［13］，即取la=114.985 nm和lb=250.972nm，na(0)=3.37 和nb(0)=1.544，N=16。在Matlab7.0環境下編程計算。上述參數對應的常規一維光子晶體的帶隙結構如圖1所示，其中圖1(a)和圖1(b)分別為透射譜和色散關系。由圖知，主禁帶在1246～2047 nm之間。

圖1 常規一維光子晶體的帶隙結構

3.1 高折射率介質層為正弦型函數介質

考慮高折射率介質A的折射率隨空間坐標z按正弦函數規律變化，介質B為常規介質，即A2=0。每個A層離散化為J=20層。令垂直入射，則TE和TM波的透射譜一樣。圖2給出了介質A的折射率系數分別取 A1=0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.9，1.0，1.2 時的帶隙結構，其中圖 2(a)和圖2(b)分別對應于透射譜和色散關系。由圖2知，隨著A1的增大，主禁帶上下帶邊都向長波方向移動，且下帶邊移動的速度比上帶邊快，故主禁帶發生紅移，且主禁帶寬度增寬。

圖2 高折射率介質的折射率按正弦規律變化時一維光子晶體的帶隙結構

3.2 低折射率介質層為正弦型函數折射率介質

考慮低折射率介質B的折射率隨空間坐標z 按正弦函數規律變化，介質A為常規介質，即A1=0。每個B層離散化為J=20層，令垂直入射。分別取A2=0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.9，1.0，1.2，圖 3 給出了相應的帶隙結構，其中圖3(a)和圖3(b)分別對應于透射譜和色散關系。由圖3知，隨著系數A2的增大，主禁帶的上下帶邊都向長波方向移動，但上帶邊移動的速度比下帶邊移動的速度快，從而導致主禁帶波長中心發生紅移，且帶寬變窄；除此之外，由圖3還可知，隨著A2的增大，光子禁帶數目增多，但每個禁帶隨A2的變化規律不一樣，圖中除主禁帶外，向短波方向的第一個、第二個禁帶帶寬隨A2的變化規律正好相反，第一個隨A2的增大而增寬，而第二個則相反。

圖3 低折射率介質的折射率按正弦規律變化時一維光子晶體的帶隙結構

3.3 高低折射率介質均為正弦型函數折射率介質

考慮介質A和B的折射率都隨空間坐標z按正弦函數規律變化。每個介質層都離散化為2 0層，令垂直入射。圖4給出了系數A1和A2取一系列不同值對應的透射譜。圖4（a）從上到下，（A1，A2）的值分別為（0.2，0.1）、（0.4，0.2）、（0.6，0.3）、（0.8，0.4）、（1，0.5）、（1.2，0.6）、（1.4，0.7）和（1.6，0.8），滿足 A1＞A2；圖4（b）從上到下，（A1，A2）的值分別為（0.1，0.2）、（0.2，0.4）、（0.3，0.6）、（0.4，0.8）、（0.5，1）、（0.6，1.2）、（0.7，1.4）和（0.8，1.6），滿足 A1＜A2。由圖4知，當 A1和 A2都增大時，帶隙紅移，且禁帶個數增多。由圖4（a）知，當A1＞A2時，主禁帶帶寬比相同結構參數下的常規光子晶體的主禁帶寬，且A1與A2的差值越大，主禁帶越寬。除主禁帶外，向短波方向有一系列次禁帶，隨著A1與A2差值的增大每個次禁帶都略微增寬，但只有靠近主禁帶的次禁帶增寬現象明顯；由圖4（b）知，當A1＜A2時，主禁帶帶寬比相同結構參數下的常規光子晶體窄，且A1與A2的差值越大主禁帶越窄，除主禁帶以外短波方向也有一系列的次禁帶，這些次禁帶表現出一定的規律性，具體為：除主禁帶外，向短波方向數的第奇數個次禁帶隨A1與A2差值的增大而變寬，而第偶數次禁帶則隨A1與A2差值的增大而變窄，其中靠近主禁帶的次禁帶變化最明顯。

圖4 高低折射率介質的折射率均按正弦規律變化時的透射譜

4 結 論

首先對折射率隨空間坐標按正弦規律變化的介質層離散化，再采用傳輸矩陣法，計算了正弦型函數一維光子晶體的透射率，著重分析了高低折射率介質層的峰值折射率變化對透射譜主禁帶的影響。研究表明，當正弦函數的系數發生變化，即介質的峰值折射率發生變化，從而使平均折射率發生變化時，與常規一維光子晶體相比，無論是高折射率介質還是低折射率介質的峰值折射率增大，或是二者的峰值折射率都增大，其透射譜的禁帶都發生紅移;如果高低折射率介質的平均折射率之差增大，則主禁帶的寬度增寬，當高低折射率介質的平均折射率之差減小，則主禁帶寬度變窄;次禁帶也表現出一定的規律，但次禁帶的規律與主禁帶的變化規律不盡相同。這些結論對光子晶體的設計具有一定的指導意義。

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